Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 PEMROGRAMAN LINIER Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Pengertian Umum Program Linier yang diterjemahkan dari linier programming (LP) adalah Model matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langkah untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimalkan keuntungan ataua meinimummkan biaya. sebagai suatu model mtematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dan sistem kendala linier

MODEL PROGRAM LINEAR Model Program Linear tersusun oleh 2 (dua) macam fungsi : 1. Fungsi Tujuan (Objective Function) Fungsi yg menggambarkan tujuan atau sasaran di dlm permasalahan program linear yg berkaitan dgn pengaturan secara optimum SD utk mencapai laba maks/biaya min.

2. Fungsi Kendala/Pembatas Btk penyajian secara matematika batasan-batasan atau kendala- kendala kapasitas yang tersedia, dialokasikan secara optimal ke- berbagai kegiata.

Model Matematika Maksimumkan/Minimumkan Z = C1X1+C2X2+ . . . . +CnXn 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan/Minimumkan Z = C1X1+C2X2+ . . . . +CnXn 2. Fungsi Pembatas : a11X11 + a12X12+ . . . +a1nXn ≤ atau ≥ b1 a21X21 + a22X22+ . . . +a2nXn ≤ atau ≥ b2 . . . . am1X21 + am2X22+ . . . +amnXn ≤ atau ≥ bm Syarat Non Negatif : X1,X2, . . . , Xn ≥ 0

Penggunaan Sumberdaya Tabel Model Standar Program Linear. Sumberdaya Penggunaan Sumberdaya Kapasitas Sumberdaya 1 2 3 .…… n 1 a11 a12 a13 …… a1n b1 2 a21 a22 a23 a2n b2 .. m am1 am2 am3 bm Penambahan Per unit C1 C2 C3 ….. Cn Maksimumkan/ Var. Kegiatan X1 X2 X3 Xn Minimumkan

Asumsi-asumsi Dasar 1. Linearitas Fungsi tujuan dan semua fungsi pembatas harus linear, artinya per- bandingan antara input yang satu dgn input lainnya atau input dgn output besarnya tetap dan terlepas tidak tergantung pada tingkat pro- duksi.

2. Proporsionalitas Jika peubah pengambil keputusan Xij berubah maka dampak perubah- an akan menyebar dalam proporsi yg sama terhadap fungsi tujuan CjXij dan juga pd fungsi pembatas aijXij. Misal : jika Xij naik 2 kali lipat maka secara proporsi aijXij nya juga akan naik dua kali lipat.

3. Aditivitas Nilai parameter (koefisien peubah pengambil keputusan dalam fungsi tujuan) merupakan jumlah nilai- nilai individu-individu Cj dlm model program linear. 4. Divisibilitas Peubah-peubah pengambil keputus- an Xij jika diperlukan dapat berupa

bilangan pecahan (tidak perlu bil 5. Deterministik Semua parameter yg terdapat dlm model program linear (Cj, aij, dan bj) tetap dan diketahui dgn pasti.

Pemecahan Persoalan PL 1. Metode Aljabar : substitusi antar persamaan linear pada fungsi. 2. Metode Grafik : dengan menggam- bar garis masing-masing fungsi pembatas dan fungsi tujuan pada grafik dua dimensi.

3. Metode Simpleks : metode peme- cahan (analisis) persoalan program linear dengan algoritma simpleks. Untuk persoalan program linear dengan variabel lebih dari 2 (dua) akan lebih baik dan tepat dengan menggunakan metode simpleks.

Contoh Persoalan Program Linear. 1. Perusahan konveksi “Maju” membuat dua produk, yaitu celana dan baju. Produk tersebut harus diproses me- lalui dua unit pemrosesan, yaitu pe- motongan bahan dan penjahitan ba- han. Pemotongan bahan memper- syaratkan kapasitas waktu 60 jam kerja.

Sedangkan fungsi penjahitan hanya 48 jam kerja. Untuk menghasilkan satu celana dibutuhkan 4 jam kerja pemotongan bahan dan 2 jam kerja penjahitan. Sementara utk meng- hasilkan satu baju dibutuhkan 2 jam kerja pemotongan bahan dan 4 jam kerja penjahitan. Laba tiap celana Rp 8.000.- dan tiap baju Rp 6.000.-

Pertanyaan : Perusahaan yg bersangkutan ingin menentukan kombinasi terbaik dari celana dan baju yg hrs diproduksi dan dijual guna mencapai laba maksimum !

Merumuskan Model 1. Tabel Persoalan. Sumberdaya Celana (X1) Baju (X2) Kapasitas 1. Pemotongan Bahan 4 2 60 2. Penjahitan 48 Laba/unit 8.000 6.000 Maksimumkan

Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan Maksimumkan Z = 8 X1 + 6 X2 (Dlm Rp 1.000) 2. Fungsi Pembatas 2.1. P-Bahan : 4X1+2X2 ≤ 60 2.2. Penjahitan : 2X1+4X2 ≤ 48 X1,X2 ≥ 0

2. Sebuah perusahaan “X” ingin me- nentukan berapa banyak masing- masing dari 3 (tiga) produk yang berbeda yang akan dihasilkan dgn tersedianya sumberdaya yang ter- batas agar diperoleh keuntungan maksimum. Kebutuhan buruh, bahan mentah, dan sumbangan ke- untungan masing-masing produk

Buruh (Jam/unit) Bahan (kg/unit) adalah sebagai berikut : Tersedia 240 jam kerja buruh dan bhn mentah sebanyak 400 kg. Berapa masing-masing produk harus dihasilkan agar perusahaan “X” memperoleh keuntungan maksimum ? Jenis Produk Kebutuhan Sumberdaya Buruh (Jam/unit) Bahan (kg/unit) Keuntungan (Rp/unit) 1 5 4 3.000 2 2 6 5.000 3 4 3 2.000

Bahan Mentah (kg/unit) 1. Tabel Persoalan Sumberdaya Kebutuhan Sumberdaya Produk-1 Produk-2 Produk-3 Kapasitas Buruh (Jam/unit) 5 2 4 240 Bahan Mentah (kg/unit) 4 6 3 400 Keuntungan/unit 3.000 5.000 2.000 Maksimumkan

2. Model Program Linear. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 3000X1 + 5000X2 + 2000X3 Fungsi Pembatas : - Buruh : 5X1 + 2X2 + 4X3 ≤ 240 - Bahan : 4X1 + 6X2 + 3X3 ≤ 400 X1, X2, X3 ≥ 0

Contoh-3 Untuk menjaga kesehatan, seseorang harus memenuhi kebutuhan minimum per hari akan beberapa zat makanan. Misalkan hanya 3 (tiga) zat makanan yang dibutuhkan, yaitu : kalsium, protein, vitamin A. Makanan se-seorang hanya terdiri dari 3 (tiga) jenis, yaitu : I, II, III yang harga, zat yang terkandung, kebutuhan min per hari ditunjukkan pada Tabel berikut.

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 Tabel Kandungan zat pada jenis tiap makanan dan kebutuhan minimum. Kandungan Zat Makanan I II III Kebutuhan Minimum Kalsium 5 1 0 8 Protein 2 2 1 10 Vitamin A 1 5 4 22 Harga/unit 0,5 0,8 0,6 Minimumkan Peubah Kegiatan X1 X2 X3 Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Pertanyaan : Berapakah jumlah makanan I, II, III yang harus dihasilkan dengan total biaya yang dikeluarkan minimum ? Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Minimumkan Z = 0,5 X1 + 0,8 X2 + 0,6 X3

2. Fungsi Pembatas 2.1. Kalsium : 5X1 + X2 ≥ 8 2.2. Protein : 2X1 +2X2 + X3 ≥ 10 2.3. Vit. A : X1 +5X2 +4X3 ≥ 22 X1, X2, X3 ≥ 0