Graf Isomorfik (Isomorphic graph) Definisi Dua buah graf G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul dan sisi-sisi kedua graf tersebut sedemikian sehingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1, maka sisi e’ yang berkoresponden di G2 juga harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ di G2. Dari definisi diatas kita dapat menyederhanakan bahwa dua buah yang isomorfik adalah dua buah graf yang sama; hanya tampilan secara geometrik kedua graf tersebut kelihatan berbeda.

Contoh 12.10 d e c b a d a e c b y x v w z

e c b a d z y x w v  a b e c d  w y z x v

Untuk memastikan bahwa dua buah graf isomorfik, kita dapat memeriksa matriks ketetanggaannya. Jika matriks ketetanggaanya sama, maka dipastikan bahwa kedua graf isomorfik. Sebelum menyusun matriks ketetanggaan, terlebih dahulu harus kita urutkan simpul-simpul pada G2 mengikuti urutan simpul pada G1 sesuai korespondensinya. a b e c d  w y z x v

d e c b a z y x w v

Graf G1 (V1 , E1) dan G2 (V2 , E2) dikatakan isomorfik jika: - Jumlah simpul dan sisi pada kedua harus sama. - Jumlah simpul yang mempunyai derajad tertentu harus sama. - Jika pada G1, u1 bertetangga v1 dan w1, sedangkan pada G2, u2 bertetangga v2 dan w2, maka derajad v1 harus sama dengan v2 dan derajad w1 harus sama dengan dan w2. - Terdapat korespondensi satu-satu V1 ke V2.

Tentukan apakah graf berikut isomorfik. Contoh 12.11 Tentukan apakah graf berikut isomorfik. c b d e f a s t x w v u  a b e c d f  s t w u v x Karena kedua graf tidak berkorespondensi satu-satu, maka dikatakan bahwa kedua graf tidak isomorfik

 Contoh 12.12 Tentukan apakah graf berikut isomorfik. a c h f g e d b w u v t s q Gambar 1 Gambar 2

Pada Gambar 1, simpul a mempunyai derajad 2. Tetangganya b dan d mempunyai derajad masing- masing 3. Pada Gambar 2, simpul yang berkemungkinan berkorespondensi dengan simpul a pada Gambar 1 hanya q, r, u, atau v, karena masing-masing mempunyai derajad 2 (sama seperti simpul a). Akan tetapi tetangga dari q, r, u, dan v mempunyai derajad 3 dan 2, sehingga tidak mungkin simpul a pada Gambar 1 berkorespondensi dengan salah satu dari q, r, u, atau v pada Gambar 2.

Karena simpul a tidak berkoresponden dengan salah satu simpul pada Gambar 2, maka tidak ada korespondensi satu ke satu dari kedua graf tersebut. Selanjutnya disimpulkan bahwa Gambar 1 dan Gambar 2 tidak isomorfik

 Contoh 12.13 Tentukan apakah graf berikut isomorfik. Gambar 1 d b r u s t q

 a p f e c d b r u s t q a  b  c  d  e  f   p  q  r  s  t Kemungkinan korespondensi: a ke u atau r c ke u atau r b ke q atau s d ke q atau s e ke p atau t f ke p atau t

MG1 = MG2 =

 Karena MG1 = MG2, graf pada Gambar 1 isomorfik dengan graf pada Gambar 2. Gambar 2 p r u s t q Gambar 1  a f e c d b

17. Graf Planar dan Graf Bidang Graf yang dapat digambar tanpa terjadinya perpotongan antar sisi disebut graf planar. Graf planar yang digambarkan tanpa ada perpotongan antar sisi disebut graf bidang. Graf bidang pasti merupakan graf planar. Graf planar belum tentu graf bidang.

Contoh Graf K4 adalah Graf Planar p r s q p r s q

Contoh Graf K6 bukan Graf Planar 

Contoh Graf K3,3 bukan Graf Planar

18. Rumus Euler Sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region atau face) Jumlah wilayah pada bidang datar termasuk wilayah luar. Jumlah wilayah pada graf planar sederhana dapat dihituyng dengan rumus, n – e + f = 2 atau f = e – n + 2 n = jumlah simpul e = jumlah sisi

 Contoh 12.14 Tentukan jumlah wilayah pada graf planar berikut R5 R2 f = e – n + 2 = 11 – 7 + 2 = 6 Jadi jumlah wilayah = 6

19. Ketidaksamaan Euler Pada graf sederhana terhubung dengan f wilayah, n buah simpul, dan e buah sisi (dengan e > 2) berlaku ketidaksamaan: 2e  3f atau 2e/3  f Dari rumus Euler, f = e – n + 2 Sehingga: 2e/3  e – n + 2 2e/3 – e  – n + 2  – 1/3 e  – n + 2 1/3 e  n – 2  e  3n – 6 (ketidaksamaan Euler) Suatu graf dikatakan planar jika memenuhi ketidaksamaan Euler. Jika tidak planar maka graf dikatakan tidak planar.

Contoh 12.15 Pada graf K4 berikut, n = 4, e = 6. Tentukan apakah graf tersebut memenuhi ketidaksamaan Euler? Penyelesian: 3n – 6 = 3(4) – 6 = 6 Karena e = 6, maka graf K4 dikatakan memenuhi Ketyidaksamaan Euler e  3n – 6.

Contoh 12.16 Pada graf K5 berikut, n = 5, e = 10. Tentukan apakah graf tersebut memenuhi Ketidaksamaan Euler? Penyelesian: 3n – 6 = 3(5) – 6 = 9 Karena e = 10 > 9, maka graf K4 dikatakan tidak memenuhi ketidaksamaan Euler e  3n – 6. Artinya graf K5 tidak planar

Perlu diketahui bahwa ketidaksaman Euler merupakan syarat perlu; bukan syarat cukup. Artinya jika suatu graf memenuhi ketidaksamaan Euler, belum tentu graf tersebut planar. Perhatikan contoh berikut!

Contoh 12.17 Pada graf bipartit K3,3 berikut, n = 6, e = 9. Tentukan apakah graf tersebut memenuhi ketidaksamaan Euler? Penyelesian: 3n – 6 = 3(6) – 6 = 12 Didapat e = 9 < 12. Walaupun memenuhi ketidaksamaan Euler, kita telah mengetahui bahwa graf K3,3 dbukan graf planar.

Graf G2 didapat dengan menghilangkan simpul v 20. Graf Homeomorfik Dua graf G1 dan G2 dikatakan homeomorfik jika salah satu dari kedua graf tersebut dapat diperoleh dari graf yang lain dengan cara menyisipkan dan/atau membuang secara berulang-ulang simpul yang berderajad 2. G1 G2 G3 v x y Ketiga graf diatas adalah Homeomorfik satu sama lain. Graf G2 didapat dengan menghilangkan simpul v pada G1 . Sedangkan G3 didapat dari G2 dengan Menambahkan simpul x dan y.

21. Teorema Kuratowski Menurut Kuratowski terdapat 2 jenis graf tidak planar, yaitu: Graf Kuratowski pertama, yaitu graf lengkap yang mempunyai 5 buah simpul (K5) adalah graf tidak planar. 2. Graf Kuratowski kedua, yaitu graf terhubung teratur dengan 6 buah simpul dan 9 buah sisi (K3,3) adalah graf tidak planar.

Sifat graf Kuratowski: Kedua jenis graf Kuratowski adalah graf teratur Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak planar Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski menyebabkan menjadi graf planar Graf Kuratowski pertama adalah graf tidak planar dengan jumlah simpul minimum. Sedangkan graf Kuratowski kedua adalah graf tidak planar dengan jumlah sisi minimum. Keduanya adalah graf tidak planar paling sederhana.

Teorema Kuratowski: Graf G adalah tidak planar jika dan hanya jika mengandung upagraf yang isomorfik dengan K5 atau K3,3 atau homeomorfik dengan salah satu dari keduanya.

Perhatikan graf berikut Perhatikan graf berikut. Graf G mengandung upagraf G1 yang isomorfik dengan graf K3,3. Jadi G tidak planar a b c f e d a b c f e d G G1

Graf G tidak planar karena upagrafnya G1 isomorfik dengan K3,3. b a c g

22. Graf Dual (Dual Graph) Misal terdapat graf bidang G. Kita dapat membuat dual dari graf G atau G* dengan cara: 1. Pada setiap wilayah atau muka f di G, buat sebuah simpul v* yang merupakan simpul untuk G*. 2. Untuk setiap sisi e di G, tarik sisi e* yang menjadi sisi untuk G* dan memotong sisi e tersebut. Sisi e* menghubungkan dua buah simpul v1* dan v2* (simpul-simpul di G*) yang berada pada muka f1 dan f2 yang dipisahkan oleh sisi e di G. Untuk sisi e yang salah satu simpulnya merupakan simpul yang mempunyai derajad 1, maka sisi e* merupakan sisi gelang.

Contoh 12.18 Gambarkan dual dari graf berikut!   

Contoh 12.18 Gambarkan dual dari graf berikut!  

    e7* e7 e6 e5* e5 e4* e6* e1 e4 e3* e3 e1* e2 e2* Contoh 12.19 Gambarkan dual dari graf berikut! e7* e4 e1 e7 e2 e6 e5 e3 e6*  e5* e4*  e3* e1*  e2* 

     e7* e7 e6 e5* e5 e4* e6* e5* e7* e6* e1 e4* e4 e3* e3* e3 Contoh 12.19 Gambarkan dual dari graf berikut! e6* e5* e4* e7* e2* e1* e3* e4 e1 e7 e2 e6 e5 e3  e7* e4* e5* e6* e1* e2* e3*    

    e6 e5 e5* e7 e7* e3 e4 e3* e1 e4* e2 e2* e1* e6* Contoh 12.20 Gambarkan dual dari graf berikut! e4 e1 e2 e5 e3 e6 e7  e6* e5* e7*  e4* e3* e1* e2*  

     e4 e1 e2 e5 e3 e6 e7 e6* e5* e1* e2* e4* e3* e5* e6* e7* e7* Contoh 12.20 Gambarkan dual dari graf berikut! e4 e1 e2 e5 e3 e6 e7  e6* e5* e1* e2* e4* e3* e5* e6* e7*  e7*  e4* e3* e1* e2*  

        Khusus untuk graf yang merepresentasikan peta, bidang luar tidak dinyatakan sebagai sebuah simpul  2  1  7  3  6  8  4  5

23. Lintasan Euler dan Sirkuit Euler Lintasan Euler adalah: Lintasan yang melalui masing-masing sisi pada suatu graf tepat satu kali. Sirkuit Euler adalah: Lintasan yang melalui masing-masing sisi pada suatu graf tepat satu kali dan kembali ke simpul awal. Graf yang memiliki sirkuit Euler dinamakan graf Euler (Eulerian Graph). Graf yang hanya memiliki lintasan Euler disebut graf semi-Euler (semi-Eulerian Graph).

▸ ▸ Contoh 12.21 Lintasan Euler : 3 – 1 – 2 – 3 – 4 – 1 Sirkuir Euler: 7 6 5 Sirkuir Euler: 1 – 2 – 3 – 4 – 7 – 3 – 5 – 7 – 6 – 5 – 2 – 6 – 1

Teorema 23.1 Graf terhubung tak-berarah G adalah graf Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul di dalam graf tersebut berderajad genap. Contoh 12.22 a b e d c Sirkuit Euler: a, e, c, d, e, b, a

Teorema 23.2 Graf terhubung tak-berarah G adalah graf semi-Euler (memiliki lintasan Euler) jika dan hanya jika di dalam graf tsb. terdapat tepat dua simpul berderajad ganjil Contoh 12.23 a b e d c Lintasasn Euler : a, c, d, e, b, d, a, b

Teorema 23.3 Graf terhubung berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajad masuk dan derajad keluar yang sama. G memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajad masuk dan derajad keluar yang sama, kecuali dua buah simpul, yaitu simpul pertama memiliki derajad-keluar satu lebih besar dari derajad masuk, dan yang kedua memiliki derajad-masuk satu lebih besar dari derajad keluar.

▸  Contoh 12.24 Sirkuit Euler: a – g – c – b – g – e – d – f – a a b

23. Lintasan Hamilton dan Sirkuit Hamilton Lintasan Hamilton adalah: Lintasan yang melalui tiap simpul pada suatu graf tepat satu kali. Sirkuit Hamilton adalah: Lintasan yang melalui tiap simpul pada suatu graf tepat satu kali; kecuali simpul awal yang dilalui dua kali. Karena lintasan kembali ke simpul awal, maka simpul awal berfungsi juga sebagai simpul akhir. Graf yang memilki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton. Graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton.

Contoh 12.25 (a) 1 3 4 2 1 2 3 4 (b) 1 2 3 4 (c) Graf yang memiliki lintasan Hamilton : 3, 2, 1, 4 Graf yang memiliki sirkuit Hamilton : 1, 2, 3, 4, 1 Graf yang tidak memiliki lintasan dan sirkuit Hamilton

Teorema 23.4 (Teorema Dirac) Jika G adalah graf sederhana dengan n buah simpul (n  3) sedemikian sehingga derajat tiap simpul paling sedikit n/2 (yaitu d(v)  2 untuk setiap simpul v di G), maka G adalah graf Hamilton. Teorema 23.5 (Teorema Ore) Jika G adalah graf sederhana dengan n buah simpul (n  3) sedemikian sehingga d(v) + d(u)  n untuk setiap pasang simpul tidak bertetangga u dan v, maka G adalah graf Hamilton Teorema 23.6 (Teorema Ore) Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton

Teorema 23.7 Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n  3) terdapat sebanyak (n – 1)!/2 sirkuit Hamilton. Teorema 23.8 Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n  3 dan n ganjil) terdapat (n – 1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan). Jika n genap dan n  4 maka di dalam graf terdapat (n – 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas.

24. Lintasan Terpendek Persoalan lintasan terpendek Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul lainnya b. Lintasan terpendek antara dua buah simpul melalui simpul lainnya. Pembahasan dibatasi hanya pada persoalan a.

Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul lainnya Contoh 12.26 10 6 4 3 5 2 1 20 50 40 15 30 35 45

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 10 6 4 3 5 2 1 20 50 40 15 30 35 45

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 10 6 4 3 5 2 1 20 50 40 15 30 35 45

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 10 6 4 3 5 2 1 20 50 40 15 30 35 45

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 10 6 4 3 5 2 1 20 50 40 15 30 35 45 10 3 1 

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 10 6 4 3 5 2 1 20 50 40 15 30 35 45 10 3 1 

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 10 6 4 3 5 2 1 20 50 40 15 30 35 45 10 3 1 

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 10 6 4 3 5 2 1 20 50 40 15 30 35 45 10 3 1  4  15

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 10 6 4 3 5 2 1 20 50 40 15 30 35 45 10 3 1  4  15

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 10 6 4 3 5 2 1 20 50 40 15 30 35 45 2  10 3 1  20 4  15

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 10 6 4 3 5 2 1 20 50 40 15 30 35 45 2  10 3 1  20 4  15

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 10 6 4 3 5 2 1 20 50 40 15 30 35 45 2  10 3 1  5  20 4  15

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 10 6 4 3 5 2 1 20 50 40 15 30 35 45 45 2  10 3 1  5  20 4  15

atau dapat diselesaikan dengan cara:

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 L3 = 10 {1, 3}

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 L3 = 10 {1, 3}

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 L3 = 10 {1, 3} L4 = min (l1,4 , l1,3,4 ) = l1,3,4 = 25 {1, 3, 4}

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 L3 = 10 {1, 3} L4 = min (l1,4 , l1,3,4 ) = l1,3,4 = 25 {1, 3, 4}

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 L3 = 10 {1, 3} L4 = min (l1,4 , l1,3,4 ) = l1,3,4 = 25 {1, 3, 4} L2 = min (l1,3,4,2 , l1,3,2 , l1,2 ) = l1,3,4,2 = 45 {1, 3, 4, 2}

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 L3 = 10 {1, 3} L4 = min (l1,4 , l1,3,4 ) = l1,3,4 = 25 {1, 3, 4} L2 = min (l1,3,4,2 , l1,3,2 , l1,2 ) = l1,3,4,2 = 45 {1, 3, 4, 2}

1 2 3 4 5 6 50 10 40 45  15 20 35 30 L3 = 10 {1, 3} L4 = min (l1,4 , l1,3,4 ) = l1,3,4 = 25 {1, 3, 4} L2 = min (l1,3,4,2 , l1,3,2 , l1,2 ) = l1,3,4,2 = 45 {1, 3, 4, 2} L5 = min (l1,3,4,2, 5 , l1,3,4,5 , l1,3,5 , l1,5 ) = l1,5 = 45 {1, 5}

10 6 4 3 5 2 1 20 50 40 15 30 35 45 5 45  2 20  10 3 1  4 15 

25. Pewarnaan Graf (Graph Coloring) Pewarnaan graf mencakup pewarnaan simpul, sisi, dan wilayah (region). Materi kuliah hanya membahas pewarnaan simpul. Definisi 25.1 Pewarnaan simpul adalah memberi warna pada simpul-simpul pada graf, sedemikian sehingga setiap dua simpul bertetangga mempunyai warna yang berbeda. Persoalan pewarnaan graf bukan hanya memberi warna berbeda pada dua simpul yang bertetangga, Tapi diinginkan jumlah warna yang diperlukan sesedikit mungkin.

 Jumlah warna minimum yang dapat digunakan untuk mewarnai simpul disebut bilangan kromatik (chromatic number), disimbolkan dengan (G). Suatu graf yang mempunyai bilangan kromatik k dilambangkan dengan (G) = k. Graf berikut mempunyai bilangan kromatik (G) = 3  Merah Kuning Hijau

Bilangan kromatik beberapa jenis graf Graf kosong (G) = 1 Graf lengkap Kn (G) = n Graf bipartit Km, n (G) = 2 Graf lingkaran (simpul ganjil) (G) = 3 Graf lingkaran (simpul genap) (G) = 2 Bilangan kromatik graf planar: Teorema 24.1 Bilangan kromatik graf planar tidak lebih dari 6 Teorema 24.2 Bilangan kromatik graf planar tidak lebih dari 5 Teorema 24.3 Bilangan kromatik graf planar tidak lebih dari 4

 2  1  7  3  6  8  4  5

 2 8 1 3 4 7 6 5

 2  1  7   6 3   8 4  5

        Bilangan kromatik  (G) = 4 2 Hitam 1 Hijau 7 Merah 6 3  Hitam  Kuning 8 4  Hijau 5 Bilangan kromatik  (G) = 4

Misal terdapat 8 orang mahasiswa (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) Contoh 12.27 Misal terdapat 8 orang mahasiswa (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) dan lima buah mata kuliah yang dipilih (A, B, C, D, E). Matriks berikut menunjukkan mahasiswa i mengambil mata kuliah j. A B C D E 1 2 3 4 5 6 7 8

A B C D E 1 2 3 4 5 6 7 8  A  B  E  C  D

  Contoh 12.28 Tentukan jumlah warna minimum yang dibutuhkan untuk mewarnai simpul-simpul pada graf berikut!  

Contoh 12.28 Tentukan jumlah warna minimum yang dibutuhkan untuk mewarnai simpul-simpul pada graf berikut!         Jumlah warna yang dibutuhkan adalah 3

Latihan 1: Gambarkan dual graf dari peta berikut!

 A  F  B  E  D  C

D F A C E B  F A D B C E  F A D B C E

Di suatu negara terdapat 7 stasiun televisi. Latihan 2: Di suatu negara terdapat 7 stasiun televisi. Pemerintah menetapkan aturan bahwa dua stasiun televisi yang berjarak  150 km tidak boleh beroperasi pada saluran frekuensi yang sama. Tabel berikut adalah jarak antar stasiun televisi. 2 3 4 5 6 7 1 85 175 200 50 100 230 - 125 160 145 250 210 220 180 235 120

Pertanyaan: Gambarkan graf yang memodelkan persoalan ini, dan jelaskan arti simpul dan sisi pada graf tersebut! Berapa jumlah minimum frekuensi yang dibutuhkan oleh ke tujuh stasiun televisi tersebut? Penyelesaian: Simpul merepresentasikan stasiun televisi. Sisi merepresentasikan jarak dua stasiun  150 km Jumlah minimum frekuensi yang dibutuhkan =  (G) = 3 1  6 5 2 7 3 4