Relasi dan Fungsi

SELAMAT BELAJAR SEMOGA BERHASIL DAN SUKSES 4/10/2017

Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 } . Jika A. RELASI 1. Pengertian Relasi Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari , kurang dari , setengah dari , faktor dari , dan sebagainya . Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 } . Jika himpunan A ke himpunan B dinyatakan relasi “ kurang dari “ , maka lebih jelasnya dapat ditunjukkan pada gambar di bawah : 4/10/2017

1 . 2 . 3 . 4 . .1 .2 .3 B A Kurang dari Diagram disamping dinamakan diagram panah . Arah relasi ditunjukkan dengan anak panah dan nama relasinya adalah “ kurang dari “ 4/10/2017

2. Menyatakan Relasi Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara , yaitu : Diagram Panah , Diagram Cartesius , dan Himpunan pasangan berurutan . a. Diagram Panah Contoh : 1. Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka basket dan sepakbola . Buatlah Diagram Panah keadaan tersebut apabila A adalah himpunan anak dan B adalah himpunan olahraga . 4/10/2017

. Voli . Basket . Bulutangkis . Sepakbola Anto . Andi . Budi . Badri . Suka akan 4/10/2017

2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan Q = { 2, 4, 6, 8 } 2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah diagram panah yang menyatakan relasi dari P dan Q dengan hubungan : a. Setengah dari b. Faktor dari Jawab : a. . 2 . 4 . 6 . 8 1 . 2 . 3 . 4 . Q P Setengah dari 1 4/10/2017

b. . 2 . 4 . 6 . 8 . Q P Faktor dari 4/10/2017

Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B dengan b. Diagram Cartesius Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B = { 1, 2, 3, …, 10 }. Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : a. Satu lebihnya dari b. Akar kuadrat dari 4/10/2017

Jawab : a . Satu lebihnya dari 1 2 3 4 5 6 7 9 8 10 Himpunan B Himpunan A 4/10/2017

Jawab : b. Akar kuadrat dari 1 2 3 4 5 6 7 9 8 10 Himpunan B Himpunan A 4/10/2017

C. Himpunan pasangan berurutan Contoh : Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan B = { 1, 2, 3, … , 10 } . Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : a. kuadrat dari b. dua kali dari c. Satu kurangnya dari 4/10/2017

Jawab : a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) } b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), (14,7),(16,8), (18,9),(20,10) } c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10) } 4/10/2017

B. FUNGSI Pengertian Fungsi Sebuah fungsi f : x  y adalah suatu aturan yang memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan (daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil / range fungsi tersebut . Untuk lebih memahami pengertian diatas perhatikan contoh berikut : 4/10/2017

Perhatikan diagram panah dibawah ini : Contoh : Perhatikan diagram panah dibawah ini : . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 0 . 2 . 4 . 6 . B A Daerah kawan/ kodomain Daerah asal/ Domain Daerah hasil/ Range 4/10/2017

Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa : 1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. 2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 } disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan { 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ). 4/10/2017

Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan dengan huruf kecil f , g , h , dan 2. Notasi Fungsi Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan dengan huruf kecil f , g , h , dan sebagainya. Misal : f : x  y dibaca f memetakkan x ke y , maka y = f(x) dibaca sama dengan f dari x digunakan untuk menunjukkan bahwa y adalah fungsi dari x . 4/10/2017

Suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan diagram panah , diagram cartesius , dan himpunan pasangan berurutan . Contoh : Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 } a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan oleh : a  1 , i  2 , u  1 , e  4 , o  2 . b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius c . Nyatakan pula f sebagai himpunan pasangan berurutan . 4/10/2017

B A . 1 . 2 . 3 . 4 a . i . u . e . o . Jawab : a . Diagram panah 4/10/2017

b. Diagram cartesius 1 a i u e o 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4/10/2017

c. Himpunan pasangan berurutan { (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) } 4/10/2017

himpunan A ke B adalah ba dan himpunan B ke A adalah ab 3. Banyaknya pemetaan dari dua himpunan Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari himpunan A ke B adalah ba dan himpunan B ke A adalah ab Contoh : Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi untuk pemetaan berikut : a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1} b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a , b } 4/10/2017

c. Dari himpunan E = {a,b} dan F = {1} d. Dari himpunan G = {1} dan H = { a,b,c } e. Dari himpunan I = {1,2} dan J = { a,b} f. Dari himpunan K = {a,i,u,e,o} dan L = {1,2,3} g. Dari himpunan M = {a,b,c,d} dan N = {1,2,3,4,5} Jawab : a. n(A) = 1 , n(B) = 1 Banyak pemetaan 11 = 1 b. n(C) = 1 , n(D) = 2 Banyak pemetaan 21 = 2 4/10/2017

c. n(E) = 2 , n(F) = 1 Banyak pemetaan 12 = 1 d. n(G) = 1 , n(H) = 3 e. n(I) = 2 , n(J) = 2 Banyak pemetaan 22 = 4 f. n(K) = 5 , n(L) = 3 Banyak pemetaan 35 = 243 g. n(M) = 4 , n(N) = 5 Banyak pemetaan 54 = 625 4/10/2017

f : x  y dibaca f memetakkan x ke y dan 4. Merumuskan suatu fungsi f : x  y dibaca f memetakkan x ke y dan dapat dinyatakan dengan f(x) . Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y . Contoh : Diketahui suatu fungsi f : x  x + 2 dengan daerah asal fungsi { x/ 1 < x < 6, x  A} a. Tentukan rumus fungsi ! b. Tentukan daerah asal fungsi ! c . Tentukan daerah hasil fungsi ! d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x ! 4/10/2017

c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2  f(x) = 2 + 2 = 4 Jawab : a. Rumus fungsi f(x) = x +2 b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 } c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2  f(x) = 2 + 2 = 4 x = 3  f(x) = 3 + 2 = 5 x = 4  f(x) = 4 + 2 = 6 x = 5  f(x) = 5 + 2 = 7 Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 } d. f(x) = 15 x + 2 = 15 x = 15 – 2 x = 13 Jadi nilai x = 13 4/10/2017

5. Dengan tanpa membuat diagram panahnya terlebih dahulu , tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari : a. A = {a, b, c} B = {1, 2} b. A = {1, 2} B = {a, b, c} c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3} d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4} e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d} 4/10/2017

C. Menghitung Nilai Fungsi Untuk menghitung nilai fungsi dapat digunakan rumus : f (x) = ax + b Contoh : 1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x  5x -3 Tentukan : a. Rumus funsi . b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 . 4/10/2017

a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3 b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3 Jawab : a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3 b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3 untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3 = 17 x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 = -8 Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17 dan x = -1 adalah -8 4/10/2017

Suatu fungsi dirumuskan g (x) = -4x + 3 Tentukan : a. g ( -2 ) 2. Suatu fungsi dirumuskan g (x) = -4x + 3 Tentukan : a. g ( -2 ) b. Nilai a jika g (a) = -5 4/10/2017

Jawab : a. g (x) = -4x + 3 g (- 2 ) = -4 . (- 2 ) + 3 = 8 + 3 = 11 b. g (a) = - 4a + 3 - 4a + 3 = - 5 - 4a = - 5 – 3 - 4a = - 8 a = 2 4/10/2017

D. MENENTUKAN BENTUK FUNGSI Suatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika data fungsi diketahui . Bentuk fungsi linier dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b . Contoh : Suatu fungsi ditentukan dengan rumus f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (-4) = -8 . Tentukan : a. Nilai a dan b b. Bentuk fungsinya c. Bayangan dari – 3 4/10/2017

Jawab : a. f (x) = ax + b f (2) = 2a + b = 10  2a + b = 10 untuk a = 3  2a + b = 10 2 . 3 + b = 10 6 + b = 10 b = 4 Jadi , nilai a = 3 dan b = 4 4/10/2017

Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x + 4 c. Bayangan dari – 3 b. f (x) = ax + b f (x) = 3x + 4 Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x + 4 c. Bayangan dari – 3 f (- 3) = 3 ( - 3 ) + 4 = - 9 + 4 = - 5 4/10/2017

E. Menggambar Grafik Fungsi Untuk menggambar grafik fungsi ada cara yang mudah yang dapat dilakukan terlebih dahulu yaitu membuat tabel dengan mendaftar semua daerah asalnya . 1. Grafik Fungsi Linier Contoh : 1. Gambarlah grafik fungsi f (x) = x +1 dengan domain {x/0 x 5 , x  C} 4/10/2017

Jawab : f (x) = x +1 daerah asal = { 0,1,2,3,4,5 } {x,f(x)} x+1 x (2,3) 1 2 3 4 5 6 (0,1) (1,2) (3,4) (4,5) (5,6) 4/10/2017

Grafiknya : f (x) = x + 1 , x  c (0,1,2,3,4,5) {(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)} 6 7 8 9 10 x + 1 x 4/10/2017

2. a. Buatlah tabel fungsi g : x  -2x + 1 dengan daerah asal { -4,-3,-2,-1,0,1,2,3 } ! b. Berdasarkan tabel tersebut tentukan : (i) bayangan dari -2 , 0 , dan 2 ! (ii) himpunan pasangan berurutan ! (iii) gambarlah grafik fungsi tersebut pada bidang cartesius , kemudian hubungkan titik-titik tersebut sehingga menjadi suatu garis lurus. 4/10/2017

Jawab : a. g (x) = - 2x + 1 1 x -4 -3 -2 -1 2 3 -2x g (x) 8 6 4 -6 9 7 2 3 -2x g (x) 8 6 4 -6 9 7 5 -5 4/10/2017

(ii) Himpunan pasangan berurutan : b. (i) Bayangan dari : -2 adalah 5 0 adalah 1 2 adalah -3 (ii) Himpunan pasangan berurutan : { (-4,9),(-3,7),(-2,5),(-1,3),(0,1),(1,-1), (2,-3),(3,-5) } 4/10/2017

g (x) = -2x + 1 9 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 (iii) Grafiknya : -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 4/10/2017

Terima Kasih ... Selamat Belajar 4/10/2017