V. DISTRIBUSI NORMAL Dipelajari pertama kali pd abad ke -18 Pencetus : De Moivre (1733) Laplace (1775) Gauss (1809)  Dist. Gauss. Suatu variabel random kontinu x dikatakan berdistribusi normal dgn mean  dan variansi 2 adalah jika mempunyai fungsi probabilitas yang berbentuk :

Untuk - < x <  - <  <  2 > 0 dan  = 3,14 dan e = 2,718 Sifat-sifat distribusi normal : Harga modus, yaitu harga pada sumbu x dengan kurva maksimum terletak pada x =  Kurva normal simetris terhadap sumbu vertikal melalui  Kurva normal mempunyai titik belok pada x =  Kurva normal memotong sumbu mendatar secara asimtotis Luas daerah dibawah kurva normal dan diatas sumbu mendatar sama dengan 1.

Kurva normal :  Luas bagian kurva normal antara x=a dan x=b dapat ditulis menjadi P(a≤x≤b) Nilai ini untuk distribusi normal standar telah ditabelkan  Tabel III X Distribusi normal standar adalah distribusi normal yang mempunyai mean =0 dan standar deviasi =1 Untuk distribusi normal yang bukan distribusi normal standar maka diubah dengan rumus transformasi Z :

Tabel III. Distribusi Normal Nilai pada tabel III adalah luas dibawah kurva normal dari 0 sampai bilangan positif b atau P(0≤Z≤b). Contoh : Luas kurva normal dari 0 hingga 1,9 P(0 ≤ Z ≤ 1,9)=0,3621 Karena Kurva normal simetris di =0 maka P(-1,9 ≤ Z ≤0)= 0,321 Karena kurva normal simetris di =0 dan luas dibawah kurva normal = 1 maka : P(0 ≤ Z ≤ +) = 0,5 dan P(-≤Z≤0)= 0,5 P(2,5 ≤ Z ≤ +) = 0,5 – P(0≤Z≤2,5)= 0,5 – 0,4798=0,0202 P(0,5 ≤ Z ≤ 2,5) = P(0 ≤ Z ≤ 2,5)- P(0 ≤ Z ≤ 0,5) = 0,4798 – 0,1915 =0,2883

2. Suatu distribusi normal mempunyai mean 60 dan standar deviasi 12 2. Suatu distribusi normal mempunyai mean 60 dan standar deviasi 12. Hitunglah : Luas kurva normal antara =60 dan x= 76 adalah : P(60 ≤ x ≤ 76) = …….. Dicari dulu nilai Z-nya Jadi P(60 ≤ x ≤ 76)= P(0 ≤ Z ≤ 1,33) = 0,4082 Luas kurva normal antara x1=68 dan x2=84. P(68 ≤ x ≤ 84)= P(0,67 ≤ Z ≤ 2,00)= 0,4772-0,2486 = 0,2284

Luas kurva normal antara x3=37 dan x4=72. P(37 ≤ x ≤ 72)= P(-1,92 ≤ Z ≤ 1,00) = P(-1,92 ≤ Z ≤ 0,00) + P(0,00 ≤ Z ≤ 1,00) = 0,4726 + 0,3412 = 0,8136 d. Luas kurva normal antara x4=72 sampai positif takterhingga P(72≤ x ≤ +)= 0,5 – P(0 ≤ Z ≤ 1,00) = 0,5 – 0,3412 = 0,1588

Contoh aplikasi dalam bidang TP Sebuah perusahaan memproduksi susu bubuk rendah lemak. Diasumsikan kadar lemak susu bubuk merk A berdistribusi normal dengan mean 3,5 % dan standar deviasi 0,3 %. Berapakah probabilitas kadar lemak susu bubuk yang diambil secara acak berkisar antara 2,9 hingga 3,8 %? Jika standar pabrik menentukan bahwa maksimal kadar lemak susu bubuknya adalah 4,0 %, hitunglah berapa persentase produk yang tidak memenuhi syarat tersebut?

Jawaban soal nomor 3. Diketahui :  = 3,5 dan = 0,3 a. P( 2,9 ≤ x ≤ 3,8) = Sehingga : P( 2,9 ≤ x ≤ 3,8) = P( -2,0 ≤ x ≤ 1) = P( -2,0 ≤ x ≤ 0) +P( 0 ≤ x ≤ 1,0) = 0,4772 + 0,3412 = 0,8184 P(X 4,0) = 0,5 – P(0≤ x ≤ 4,0) = 0,5 – P(0≤ Z ≤ 1,67) = 0,5 – 0,4525 = 0,0475

Pendekatan normal untuk binomial Distribusi normal akan memberikan pendekatan yang sangat baik jika n besar dan p mendekati 0,5. dalam hal ini :  = np dan 2=np(1-p) sehingga : Contoh 4. Suatu proses produksi mempunyai kemungkinan 10% cacat, jika sampel sebanyak 100 buah diambil secara acak dari proses tersebut maka berapakah probabilitas : a. Delapan produk cacat b. Paling banyak lima produk cacat c. Paling sedikit lima belas produk cacat INGAT : Distribusi Normal : Kontinu VS Distribusi Binoamial : Diskrit

Jawab : Kejadian binomial tetapi n besar shg didekati dengan distribusi normal, sehingga :  = np = 100 X 10% = 10 2 = np(1-p) = 100. 10% X 0,9 = 9   = 3 Maka : P(x = 8) = P (7,5≤ x ≤ 8,5) = P(-0,83 ≤ Z ≤ -0,5) = P (-0,83 ≤ Z ≤ 0) - (-0,5 ≤ Z ≤ 0) = 0,2967 – 0,1915 = 0,1052 b. P(x ≤ 5) = P(x ≤ 5,5) = P(Z ≤ -1,5) = 0,5 – P(-1,5 ≤ Z ≤ 0) = 0,5 – 0,4332 = 0,0668 c. P(x  15) = P(x  14,5) = 0,5 – P(0 ≤ x ≤ 14,5) = 0,5 – P(0≤ Z ≤ 1,5) = 0,5 - 0,4332 = 0,0668