GRUP FAKTOR ( LANJUTAN)

Teorema IX.4 Untuk sebarang integer positif n berlaku (aS)n = an S. Bukti : Akan dibuktikan dengan prinsip induksi. Untuk n = 1 , berlaku (aS)1 = a1S. Berarti teorema benar untuk n = 1. Dianggap bahwa teorema benar untuk n = k. Berarti (aS)k = ak S. Untuk n = k + 1, berlaku (aS)k+1 = (aS) (aS)k = (aS) (akS) = (a . ak)S = ak+1 S. Terbukti bahwa teorema benar untuk semua bilangan bulat positif n.■

Teorema IX.5 Misalkan G/S sebarang grup faktor. Jika G berhingga maka orde G/S sama dengan |G| / |S|. Jika G siklik maka G/S siklik. Jika a mempunyai orde berhingga maka orde dari aS dalam G/S membagi orde dari a. Jika G Abelian maka G/S Abelian.

Teorema IX.6 Misalkan G/S sebarang grup faktor. Fungsi f : G  G/S yang didefinisikan dengan aturan f(x) = xS merupakan homomorfisma surjektif dari G ke G/S dengan intinya S. Pemetaan S yang didefinisikan dalam teorema di atas sering dikenal dengan nama homomorfisma alam (natural homorphism) atau homomorfisma kannonik (canonical homomorphism).

Teorema IX.7 Jika G/S siklik dan setiap anggota S komutatif dengan semua anggota G maka G Abelian.

Teorema IX.8 (Teorema Fundamental dari Homomorfisma Grup). Jika f : G  H homomorfisma grup dengan inti K dan peta f(G) maka G/S isomorfis dengan f(G). Bukti : Definisikan fungsi g : G/K  f(G) dengan g(aK) = f(a). Telah dibuktikan bahwa g bijektif sehingga tinggal membuktikan bahwa g homomorfisma. Pada satu sisi, g(aK bK) = g(abK) = f (ab) = f(a) f(b) dan pada sisi lain, g(aK) g(bK) = f(a) . f(b) sehingga g(aK bK) = g(aK) g(bK) untuk semua koset aK dan bK. ■

Contoh IX.6 : Misalkan T = { x dalam C* | Abs(x) = 1 }. Mudah dibuktikan bahwa fungsi Abs : C*  R* merupakan homomorfisma. Karena 1 identitas dalam R* dan T = Ker(Abs) maka dengan menggunakan teorema fundamental homorfisma diperoleh bahwa C*/T isomorfis dengan peta dari fungsi Abs yaitu R+. Oleh karena itu C*/T sehingga C*/T juga mempunyai sifat-sifat yang dimiliki R+. Jadi R+ grup abelian tidak siklik, ordenya tak hingga dan mempunyai anggota dengan orde 1 atau .■

Isomorfisma Suatu grup yang nampaknya berbeda secara esensi dapat sama. Secara intuisi ide bahwa dua grup secara esensi sama akan menuju pada pemikiran tentang konsep isomorfisma. Definisi IX.3 Misalkan < G, * > dan < H, . > grup. Grup G isomorfis dengan H jika terdapat fungsi f : G  H sehingga f injektif, f surjektif, f homomorfisma maka f dikatakan isomorfisma.

Teorema IX.9 Misalkan grup G dan H isomorfis. Sifat-sifat berikut ini berlaku : Grup G dan H mempunyai orde yang sama. Grup G dan H keduanya abelian atau tidak abelian. Grup G dan H keduanya siklik atau tidak siklik.

Contoh IX.7 : Diketahui Grup Z4 dan Z8*. Kedua grup mempunyai orde 4 dan abelian tetapi Z4 = (1) siklik sedangkan Z8* tidak siklik karena tidak ada anggotanya yang mempunyai orde 4. Oleh karena itu Z4 tidak isomorfis dengan Z8*.

Teorema IX.10 Sebarang grup siklik tak berhingga isomorfis dengan Z. Sebarang grup siklik berhingga orde n isomorfis dengan Zn.

LATIHAN Misalkan S = { (1), (2) } dan anggap bahwa semua koset aS untuk a dalam Z4. Berikan contoh khusus untuk menunjukkan bahwa pergandaan koset aS . bS = ab S tidak terdefinisikan dengan baik. Tunjukan bahwa tidak ada dua dari himpunan-himpunan ini yang isomorfis : R*, R+ dan C*. Bukti bahwa fungsi-fungsi berikut suatu isomorfisma. f : Z100  Z100 dengan f(x) = 3x. h : Z10*  Z10* dengan h(x) = x3.

Misalkan G sebarang grup dan b anggota G. Tunjukkan bahwa fungsi berikut mengawetkan operasi tetapi tidak surjektif maupun injektif. f : Z100  Z100 dengan f(x) = 2x. h : Z10*  Z10* dengan h(x) = x2. Didefinisikan f : R  R dengan f(x) = -3x. Buktikan bahwa f suatu automorfisma R yaitu isomorfisma dari R ke R. Misalkan G sebarang grup dan b anggota G. Didefinisikan fb : G  G dengan aturan fb(x) = b-1 x b. Tunjukkan bahwa fb suatu automorfisma dari G.

Diketahui grup faktor Z6/S dengan S = { 0,3 } Diketahui grup faktor Z6/S dengan S = { 0,3 }. Tentukan order dari grup faktor dan order dari elemen-elemen dalam Z6/S. Apakah Z6/S siklik ? Diketahui grup faktor f : Z7*  Z7* dengan f(x) = x2. Tentukan Im(f) dan K=Ker(f). Apakah Z7*/K isomorfis dengan f(Z7*) = Im(f) ? Misalkan S = { A  M22* | det(A) = 1 }. Buktikan bahwa S grup bagian normal dari M22*.

TERIMA KASIH