Analisa Numerik Integrasi Numerik 2

Aturan Gabungan (Composite Rules) [a, b] dibagi-bagi menjadi N interval (tidak perlu sama). a = x0 < x1 < x2 < ... <xn = b Misal : Pi, k(x) (i = 1, ..., N) adalah polinom interpolasi utk. f(x) pd. interval (xi-1, xi). Catatan : Utk. kemudahan pembahasan, dimisalkan xi–xi-1 sama atau ∀i, xi = a + ih, i = 0, ..., N, h = (b-a)/N Notasi fs = f(a + sh), mk. fi = f(xi), i = 0, ..., N

Aturan Gabungan (Composite Rules) Aturan segiempat

Aturan Gabungan (Composite Rules) Aturan Simpson

Aturan Gabungan (Composite Rules) Aturan Trapesium Dng. cara yg. sama diperoleh Aturan Titik Tengah

Aturan Gabungan (Composite Rules) Aturan Trapesium Terkoreksi

Contoh Dng. memakai aturan trapesium gabungan, tentukan N sehingga teliti sampai 6 digits Jwb. : Errornya adalah –f’’()N-2/12 ,  ∈ (a, b) Batas atas errornya adalah :  max |f’’(x)| pd. [0, 1] terjadi pada x = 0 atau x = 0, 1

Metoda Adaptif Quadrature Adaptif  lebar sub interval ditentukan oleh perilaku lokal integralnya (fungsinya). Besar interval keseluruhan tidak harus sama. Cocok utk. menghitung I(f) dlm. ketelitian tertentu dng. penghitungan fungsi lebih sedikit jika subinterval ditentukan dengan baik. Perhatikan aturan trapesium gabungan di mana a = x0 < x1 < ... < xN = b tidak perlu berjarak sama. Besar error tergantung Jd. jika f’’(x) ‘kecil’, maka pakai interval ‘besar’. jika f’’(x) ‘besar’, maka pakai interval ‘kecil’.

Adaptive Quadrature Berdasarkan Aturan Simpson Diberikan f(x) pada [a, b] dan bilangan kecil  > 0. Cari p (aproksimasi) terhadap di mana |P – I| ≤  dng. memakai penghitungan fungsi sesedikit mungkin. Misal : xi+1 – xi = h Dng. subinterval ini hitung Si pendekatan dari Ii Si = h/6 {f(xi) + 4f(xi + h/2) + f(xi+1)} xi xi + h/2 xi+1 h

Adaptive Quadrature Berdasarkan Aturan Simpson h xi xi + h/4 xi+1 xi + 3h/4 xi + h/2 Hitung pendekatan dari Ii Dng. memakai Error Simpson diperoleh :

Adaptive Quadrature Berdasarkan Aturan Simpson Jk. [a, b] ada N interval maka errornya memenuhi lalu :

Contoh Contoh (7-8). Dng. memakai adaptive quadrature yg. berdasarkan aturan Simpson, cari aproksimasi (pendekatan) thd. integral : dng. ketelitian kesalahan  = 0.0005 (harga sebenarnya I = 2/3). Jawab : [0, 1]  [0, ½] dan [½, 1] pada [½, 1], h = ½ ok

Contoh pada [0, ½] [0, ½]  [0, ¼] dan [¼, ½]