6. PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING)

Pencocokan kurva didefinisikan sebagai proses membuat suatu kurva atau fungsi matematika yang bersesuaian dengan suatu data tertentu. Seperti diketahui, data menyajikan besaran-besaran yang bersifat diskrit. Sering dalam kehidupan sehari-hari kita ingin mengetahui nilai suatu besaran yang terletak diantara dua besaran pada data tersebut. Biasanya hal ini dilakukan dengan cara melakukan pencocokan kurva pada data yang tersedia. Pencocokan kurva mencakup interpolasi dan regresi. Jika data diplot, kita dapat mengamati apakah data tersebut mengikuti pola tertentu, misal polinomial, deret trigonometri, atau deret eksponensial. Jika “ya” maka pencocokan kurva dilakukan dengan interpolasi. Jika “tidak” maka proses pencocokan kurva dilakukan dengan regresi.

Fungsi pencocokan pada interpolasi biasanya menggunakan fungsi polinomial, karena relatif lebih mudah untuk dievaluasi, differensiasi, atau integrasi dibandingkan dengan deret trigonometri atau deret eksponensial. Gambar 6.1 adalah grafik yang menunjukkan data dengan tingkat akurasi yang tinggi. Cirinya adalah setiap titik-titik pada data tersebut tepat terletak pada kurva. Proses pencocokan kurva untuk data jenis ini dilakukan secara interpolasi. Sedangkan Gambar 6.2 adalah grafik yang menunjukkan data yang mempunyai tingkat akurasi yang rendah. Ciri data jenis ini adalah titik-titik data akan menyebar, sehingga tidak tepat terletak pada kurva. Proses pencocokan kurva untuk data jenis ini dilakukan secara interpolasi.

x y O x y O        (a) (b) Gambar 6.1

y y x x O O (a) (b) Gambar 6.2                    

Jika terdapat (n+1) titik, maka bentuk umum polinomial 6.1 Interpolasi Interpolasi adalah salah satu metode pencocokan kurva yang digunakan pada data yang mempunyai akurasi yang tinggi, untuk memperkirakan nilai data yang terletak pada rentang (x0, x1). Jika nilai yang diperkirakan terletak di luar rentang (x0,x1), maka proses yang dilakukan adalah ekstrapolasi. Metode yang paling banyak digunakan adalah metode interpolasi polinomial. Jika terdapat (n+1) titik, maka bentuk umum polinomial orde ke-n yang melewati seluruh (n+1) titik tersebut adalah f (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn (6.1)

6.1.1 Metode Langsung Interpolasi metode langsung mencakup interpolasi yang menggunakan polinom derajad 1 (linier), derajad 2 (kuadrat), atau polinom dengan derajad yang lebih tinggi, sesuai dengan jumlah titik data. Interpolasi Linier Interpolasi linier adalah metode untuk mencocokkan kurva pada dua buah titik, yaitu (x0, f (x0)) dan (x1, f (x1)) sehingga dapat memperkirakan nilai f (x) untuk nilai x yang terletak antara x0 dan x1. Interpolasi linier menggunakan persamaan p1(x) = a0 + a1x (6.2)

Substitusi (iii) ke (i) atau (ii) didapat p1(x) = a0 + a1x x = x0  f1(x) = f (x0) f (x0) = a0 + a1x0 (i) x = x1  p1(x) = f (x1) f (x1) = a0 + a1x1 (ii) x0 f (x0) x ? x1 f (x1) x f (x) O  f (x0) f (x1) x1 x0 p1(x) (ii) – (i) didapat (iii) Substitusi (iii) ke (i) atau (ii) didapat (iv)

Substitusi (iv) ke (6.2) didapat Contoh 6.1 Jumlah penduduk Provinsi Sumatera Selatan tahun 2000, dan 2010 ditunjukkan pada tabel berikut. Tentukan perkiraan jumlah penduduk Sumatera Selatan tahun 2002 dengan menggunakan interpolasi linier. 2000 2010  6899675  7450394

Penyelesaian

Interpolasi Kuadrat Interpolasi kuadrat adalah metode untuk mencocokkan kurva pada tiga buah titik, yaitu (x0, f (x0)), (x1, f (x1)), dan (x2, f (x2)), sehingga dapat memperkirakan nilai f (x) untuk nilai x yang terletak antara x0, x1, dan x2. Interpolasi kuadrat menggunakan persamaan p2(x) = a0 + a1x + a2x2 (6.4) Substitusi titik-titik (x0, f (x0)), (x1, f (x1)), dan (x2, f (x2)) ke persamaan (6.5) didapat f (x0) = a0 + a1 x0 + a2 x02 f (x1) = a0 + a1 x1 + a2 x12 f (x2) = a0 + a1 x2 + a2 x22

Untuk menentukan nilai-nilai a0, a1, dan a2 dapat dilakukan beberapa cara, misalnya eliminasi Gauss, Gauss-Jordan atau metode inverse matriks. Berikut akan digunakan metode inverse matriks. f (x0) = a0 + a1 x0 + a2 x02 f (x1) = a0 + a1 x1 + a2 x12 f (x2) = a0 + a1 x2 + a2 x22 Nilai-nilai a0, a1, dan a2 yang didapat disubstitusikan ke dalam persamaan (6.4)

Jumlah penduduk Provinsi Sumatera Selatan tahun 1995, Contoh 6.2 Jumlah penduduk Provinsi Sumatera Selatan tahun 1995, 2000, dan 2010 ditunjukkan pada tabel berikut. Tentukan perkiraan jumlah penduduk Sumatera Selatan tahun 2002 dengan menggunakan interpolasi kuadrat. x0 = 1995 f (x0) = 7207545  x1 = 2000 f (x1) = 6899675 x2 = 2010 f (x2) = 7450394 Dari persamaan (6.4) p2(x) = a0 + a1x + a2x2

p2(x) = a0 + a1x + a2x2 = 31157857075 – 31128265,37 x + 7776,4 x2 p2(2002) = a0 + a1(2002) + a2 (2002)2 = 31157857075 – 31128265,37 (2002) + 7776,4 (2002)2 = 31157857075 – 62318787270,74 + 31167842305,6 = 6912110