SISTEM PERSAMAAN KUADRAT

SILABI Fungsi kuadrat - Identifikasi persamaan kuadrat - Lingkaran - Elips - Hiperbola - Parabola

Fungsi Kuadrat dan Grafik Fungsi Kuadrat Fungsi dengan pangkat tertinggi variabelnya dua Bentuk garisnya melengkung dan hanya punya satu titik puncak

a = - Titik puncak (h,k) h = - b 2a k = b2 – 4ac = D -4a - 4a Bentuk Umum : f(x) = ax2 + bx + c atau Y = ax2 + bx + c a ≠ 0 Grafik a = Titik puncak (h,k) h = - b 2a k = b2 – 4ac = D -4a - 4a a = - + Y Y x x

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat 1.Titik potong dengan sumbu koordinat a.Memotong sumbu x y = 0 ax2 + bx + c = 0 D = b2- 4ac ≥ 0 b. Memotong sumbu y x = 0 y = c (0, c) 2.Nilai balik x = - b 2a Y = D -4 a 3. Koordinat titik balik -b , D 2a -4a 4. Jenis titik balik a > 0 kurva terbuka keatas minimum a < 0 kurva tebuka ke bawah maksimum

Mencari Grafik Fungsi Kuadrat Cara : Cari titik puncak Cari nilai x dan y lainnya dengtan cara memasukkan nilai x pada persamaan untuk memperoleh nilai y, atau dapat juga mencari titik potong sumbu x dan y Contoh : Y = x2 – 2x – 3 Titik puncak : h = - b = - (-2) = 1 2a 2.1 k = D = b2 – 4 ac - 4a - 4a = (-2)2 – (4.1.-3) - 4.1 = 16 = - 4 - 4 Jadi titik puncak p (h,k) = ( 1,-4) Titik potong sumbu x y = 0 X2 -2 x -3 = 0 (x-3) (x+1) = 0 x -3 = 0 x + 1 = 0 x1 = 3 x2 = -1 Jadi (3,0) Jadi ( -1,0)

Titik potong sumbu y x = 0 X2 - 2x - 3 = y 02 - 2.0 - 3 = y Y = - 3 jadi (0,- 3) x -2 0 1 2 4 y 5 -3 -4 -3 5 (4,5) (-2,5) (-1, 0) (1, - 4) (0,-3)

Contoh soal Cari titik puncak, titik potong sumbu x dan y serta gambar grafiknya Y = 2 + 3x + x2 y = 2 + 5x + 2x2 y = 2x2 + 8x + 1 Y = 3x2 + 2x -7 Y = x2 – 15 x -7 Y = 5x2 + 3x - 1 Y = X2 – 23 x -8

Gambar Potongan Kerucut Lingkaran Parabola Elips Hiperbola

Identifikasi Persamaan Kuadrat Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Jika B = 0 dan A = C ≠ 0  lingkaran Jika B2 – 4AC < 0  Elips Jika B2 – 4AC > 0  Hiperbola Jika B2 – 4AC = 0  Parabola Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Jika A = C ≠ 0  lingkaran Jika A ≠ C, tanda sama  elips Jika A dan C berlawanan tanda  Hiperbola Jika A=0 atau C=0, tapi tidak keduanya  parabola

Lingkaran Lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan atau lokus titik-titik P(x,y) yang jaraknya r sampai suatu titik M yang dinamakan pusat lingkaran adalah sama. Persamaan lingkaran menjadi sederhana bila pusat lingkaran berimpit dengan asal 0. Berlaku hukum Pythagoras x2 + y2 = r2

Lingkaran © y Bila pusat lingkaran dipindahkan dari 0 ke M(h,k) , maka juga dengan hukum pythagoras diperleh persamaan lingkaran : (x – h)2 + (y – k)2 = r2 x  (x – h), y  (y – k) Dapat ditulis x2 + y2 - 2hx - 2ky + (h2+k2+r2)=0 P(x,y) y r k M(h,k) P(x,y) y r x x x h h dan k bisa positif / negatif  persamaan lingkaran : Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0  A = C dan B = 0

Elips Elips didefinisikan sebagai lokus titik-titik yang jumlah jaraknya hingga dua titik tertentu, yang dinamakan fokus F dan F’ adalah tetap. Persamaan elips menjadi sederhana bila dipilih asal 0 di pertengahan FF’ dan sumbu y tegak lurus FF’. Misal 0F = 0F’ = c, PF + PF’ = 2a dan a2 – c2 = b2

Elips © Y b B P (x,y) r’ y r A’ F’ F A X -c x c a B

Elips © Adapun AA’ adalah sumbu mayor dan BB’ adalah sumbu minor elips. Bila elips dipindahkan sejajar sehingga pusatnya tidak lagi di 0.  titik M (h,k) maka : Bentuk umum persamaan elips : Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Parabola Parabola ialah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direkstris Persamaan parabola menjadi sederhana bila dipilih asal 0 di M dan FT = sumbu y. Dengan hukum pythagoras : x2 + (y – x)2 = (y + x)2 x2 – 2yp = 2yp x2 = 4py y = ¼ px2 = ax2

Parabola © Y Bila parabola dipindahan sejajar sehingga puncaknya tidak lagi 0 tetapi di M(h,k) maka: (x - h)2 = 4p(y - k) x2 - 2hx - 4py + (h2 + 4pk) = 0 Ax2 + Dx + Ey + F = 0 Cx2 + Dx + Ey + F = 0 M(h,k) P(x,y) y + p F y – p p X p d T

Hiperbola Hiperbola ialah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Sebuah hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus dan sepasang asimtot.

Hiperbola © y y asimtot (i,j) (i,j) asimtot Sumbu lintang x x Sumbu lintang Rumus Umum : Ax2 – Cy2 + Dx + Ey + F =0