mendefinisikan error sistem Pendahuluan Pada pelajaran yang lalu, telah dibahas tentang kinerja steady-state dan bagaimana hubungannya dengan analisis dan disain sistem kontrol : mendefinisikan error sistem mengenali tiga test-input yang masing-masing digunakan untuk menentukan kinerja steady-state error mendefinisikan error sistem untuk sistem kontrol umpan-balik unity-gain melihat bahwa steady-state-step error untuk kontrol sistem bernilai nol hanya jika fungsi transfer open-loop memiliki integrator. Pada bagian ini akan digunakan "teorema nilai akhir" (final value theorem) untuk mendefinisikan steady-state error secara matematis untuk sistem kontrol umpan- balik unity-gain dalam konteks fungsi transfer open-loop. Hasilnya akan digunakan untuk menghitung steady-state error untuk input step, ramp, dan parabolic dan mendefinisikan istilah "static error constant" dan "system type number", yang akan digunakan untuk mengetahui kinerja steady-state. Bagian 14

Teorema Nilai-Akhir (final value theorem) menyatakan bahwa 7.3 Steady-State Error untuk sistem dengan umpan balik unity-gain Di sini digunakan kembali sistem kanonik seperti pada gambar 1 di bawah ini. Untuk sistem ini : Teorema Nilai-Akhir (final value theorem) menyatakan bahwa sehingga Bagian 14

Untuk input step satuan (unity step input) r(t) = u(t), dimana : u(t) = 1 untuk t > 0 = 0 di tempat lain transformasinya adalah sehingga Bagian 14

Jika tidak ada penyebut dengan faktor sn berarti n = 0 dan diperoleh Dari persamaan 3, lims  0G0(s) adalah steady-state gain dari fungsi transfer open-loop. Untuk mendapatkan steady-state step error sebesar nol, diperlukan lims  0G0(s) = . Dengan demikian G0(s) harus memiliki bentuk sbb.: dimana jika s  0, penyebut akan bernilai nol sehingga G0(s) = . Dengan demikian, untuk mendapatkan steady-state step error sebesar nol, paling tidak harus ada satu pole pada origin s = 0 (yaitu n > 1). Faktor s pada penyebut dari fungsi transfer open- loop merepresentasikan integrator pada arah maju. Dengan demikian, untuk menda- patkan steady-state step error sebesar nol, paling tidak kita harus memiliki satu inte- grator di dalam fungsi transfer open-loop. Jika tidak ada penyebut dengan faktor sn berarti n = 0 dan diperoleh yang bersifat terhingga (finite) dan menghasilkan steady-state step error terhingga. Bagian 14

Untuk input r(t) = tu(t) dengan tu(t) = t untuk t > 0 7.3.2 Input Ramp Untuk input r(t) = tu(t) dengan tu(t) = t untuk t > 0 = 0 di tempat lain sehingga Bagian 14

Jika hanya ada satu integrator, n = 1, maka Untuk mendapatkan steady-state ramp error bernilai nol, lims  0sG(s) = . Untuk itu, n > 2, sehingga paling tidak harus ada dua integrator di dalam fungsi transfer open-loop. Jika hanya ada satu integrator, n = 1, maka yang bersifat terhingga dan oleh karena itu akan terdapat steady-state ramp error yang terhingga. Jika tidak ada integrator, maka n = 0 dan akan diperoleh : Sehingga kita mendapatkan steady-state velocity error tak berhingga Bagian 14

Untuk input parabolik dimana 7.3.3 Input Parabolik di tempat lain dan Agar steady-state parabolic error bernilai nol, lims0s2G0(s) = . Untuk itu, n > 3. Berarti harus ada tiga integrator di dalam fungsi transfer open-loop. Jika hanya ada dua integrator, n = 2, terdapat steady-state parabolic error terhingga. Jika n < 2, terdapat steady-state parabolic error tak hingga. Bagian 14

7.4 Definisi Konstanta Galat Statik dan Jenis Sistem 7.4.1 Konstanta Galat Statik (Static Error Constants) Dari perhitungan-perhitungan di atas, kita dapatkan definisi steady-state error untuk galat step, ramp, dan parabolik, sbb. : Bagian 14

Konstanta galat posisi (position error constant) untuk input step Konstanta-konstanta di atas dapat bernilai nol, terhingga, atau tak terhingga, tergantung pada sifat G0(s). Dalam kenyataannya, mereka bergantung pada jumlah faktor s pada penyebut G0(s) atau jumlah integrator pada alur maju. Berikut ini adalah konstanta galat statis (static error constants) Konstanta galat posisi (position error constant) untuk input step Konstanta galat kecepatan (velocity error constant) untuk input ramp Konstanta galat akselerasi(acceleration error constant) untuk input ramp Bagian 14

Sistem dengan n = 0 dinamakan jenis 0 7.4.2 Nomor jenis sistem Perhatikan gambar di atas. Nomor jenis sistem didefinisikan berdasarkan nilai n, yang berarti menurut jumlah integrator di dalam G0(s). Sistem dengan n = 0 dinamakan jenis 0 Sistem dengan n = 1 dinamakan jenis 1 Sistem dengan n = 2 dinamakan jenis 2 dst. Jelas bahwa nilai konstanta galat statis berhubungan dengan nomor jenis sistem. Hubungan ini secara eksplisit digambarkan pada bagian berikut. Bagian 14

Nomor jenis sistem dan konstanta galat statisnya Jenis sistem dan steady-state error Bagian 14

7.5 Spesifikasi Steady-State Error Contoh 7.1 Tentukan spesifikasi Kv = 1000. Apa yang ditunjukkannya mengenai sistem kontrol ? Jawab : 1. Sistem stabil 2. Sistem tipe 1 3. Input sistem adalah ramp 4. Steady-state error-nya adalah 1/Kv per unit gradien ramp Bagian 14

Untuk sistem kontrol azimuth antena berikut ini Contoh 7.2 Untuk sistem kontrol azimuth antena berikut ini 1. Carilah steady-state error dalam K untuk input step, ramp, dan parabolik 2. Cari nilai K yang menghasilkan steady-state error 10%. Apakah sistem stabil ? Jawab : 1. Sistem tipe 1, berarti 2. Galat 10% berlaku untuk ramp. Jadi untuk galat 10% : K = 257,9. Nilai ini berada dalam rentangan 0<K<2623,9. Sistem stabil. Bagian 14

Penutup Pada bagian ini dibahas mengenai steady-state error untuk sistem kontrol umpan-balik unity-gain. Dengannya kita dapat menentukan kinerja lengkap dalam konteksi fungsi transfer open-loop. Ini dapat dilakukan karena jumlah integrator dalam fungsi transfer open-loop berhubungan dengan kinerja sistem. Selanjutnya dibuat Nomor Jenis Sistem yang besarnya sama dengan jumlah integrator, dimana sifatnya terlihat di tabel berikut. Dengan konstanta galat statis : konstanta galat posisi Kp = G0(s)|s=0; konstanta galat kecepatan Kv = sG0(s)|s=0; konstanta galat akselerasi Ka = s2G0(s)|s = 0. Bagian 14