RELASI

Relasi(Definisi dan Notasi): Relasi R dari A ke B merupakan sub-himpunan dari A  B AxB = himpunan pasangan terurut dari A dan B R : A  B Representasi dari relasi R : A  B, bisa dilakukan dg 4 cara: 1) himpunan pasangan terurut, 2) pemetaan, 3) matriks, 4) Notasi Digunakan matriks dengan : baris merepresentasikan elemen-elemen A kolom merepresentasikan elemen-elemen B entri (ai, bj) = 1 jika (ai, bj)  R, i,j menunjukkan indeks entri (ai, bj) = 0 jika (ai, bj)  R

R = { (a, b), (p, q), (x, y), (x, z) } Contoh: A = { a, p, x }; B = { b, q, y, z }, AxB={(a,b), (a,y), (a,q), (a,z), (p,b), (p,q),(p,y),(p,z),(x,b),(x,q), (x,y),(x,z)} , jila R1={(a,z), (p,y),(p,b)}, R1 relasi karena semua unsur pd R1 subset dari AxB R = { (a, b), (p, q), (x, y), (x, z) } Relasi R dlm bentuk matriks Relasi R dlm bentuk pemetaan b q y z b q y z a p x a p x 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1

R = { (a, b), (p, q), (x, y), (x, z) } AxB={(a,b), (a,y), (a,q), (a,z), (p,b), (p,q),(p,y),(p,z),(x,b),(x,q), (x,y),(x,z)} R = { (a, b), (p, q), (x, y), (x, z) } Invers dari relasi R (R–1), R–1 : B  A R–1 = { (b,a) | (a, b)  R} = { (b, a), (q, p), (y, x), (z, x) } Komplemen dari relasi R, R : A  B R = { (a, b | (a, b)  R , tapi (a,b)  AXB} = { (a, q), (a, y), (a, z), (p, b), (p, y), (p, z), (x, b), (x, q)} Tentukan himp relasi yang unsur absisnya huruf vokal dan ordinatnya huruf konsonan dari A dan B di atas!

R={(a,b), (a,q), (a,y), (a,z)} Dalam suatu pemilihan direktur, akan dipilih direktur dan Wa Direktur. Calon terdiri dari 2 kelompok yang beranggotakan {Asep, Beni, Cahyo} dan {Shinta, Selvi} Buat Relasi yang mungkin?

Relasi pada sebuah himpunan (relation on a set) R : A  A adalah sub-himpunan dari A  A Contoh (Example 5): R : Bil Bulat  Bil Bulat R1 = { (a, b) | a  b} R2 = { (a, b) | a  b} R3 = { (a, b) | a = b or a = – b } R4 = { (a, b) | a = b} R5 = { (a, b) | a = b + 1 } R6 = { (a, b) | a + b  3}

Relasi pada sebuah himpunan (relation on a set) R : A  A adalah sub-himpunan dari A  A Representasi dari R : A  A Menggunakan Matriks Relasi (banyaknya baris = banyaknya kolom) Menggunakan Directed Graph (disingkat Digraph=Graph berarah) Contoh : A = { 1, 2, 3 }; R = { (1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 1) } 2 1 3 1 1 0 0 0 1 1 0 0

Sifat-sifat relasi R : A  A Refleksif : a [ (a, a)  R ] Irefleksif : a [ (a, a)  R ] Sifat-sifat relasi R : A  B Simetrik : a,b [ (a, b)  R  (b, a)  R ] Antisimetrik : a,b [ ((a, b)  R  (b, a)  R)  (a = b) ] atau a ,b [ (a  b)  ((a, b)  R  (b, a)  R) ] 3. Transitif: a,b,c [((a, b)  R  (b, c)  R)  (a, c)  R ] 4. Asimetrik : a, b [ (a, b)  R  (b, a)  R ]

Cek sifat-sifat relasi R : A  A , di mana A = { 1, 2, 3, 4 } Contoh (Example 5): Cek sifat-sifat relasi R : A  A , di mana A = { 1, 2, 3, 4 } R1 = { (a, b) | a  b} R4 = { (a, b) | a = b} R2 = { (a, b) | a  b} R5 = { (a, b) | a = b + 1 } R3 = { (a, b) | a = b or a = – b } R6 = { (a, b) | a + b  3} R1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)} Refleksif : ya, karena(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)  R1 Irefleksif : tidak, karena (1,1)  R1 Simetrik : tidak, karena (1, 3)  R1  (3, 1)  R1 Asimetrik : ya, karena (4a, 4b)  R1  (4b, 4a)  R1 Antisimetrik : ya, karena [(4a, 4b)  R1  (4b, 4a)  R1]  ( 4a = 4b ) memenuhi untuk (1,1), (2,2), (3,3) juga

Periksa sifat relasi utk relasi tsb Kerjakan per kelompok maks 3 org Contoh (Example 5): Cek sifat-sifat relasi R : A  A , di mana A = { 1, 2, 3 } R2 = { (a, b) | a  b} R5 = { (a, b) | a = b + 1 } R6 = { (a, b) | a + b  3} Periksa sifat relasi utk relasi tsb Kerjakan per kelompok maks 3 org Sekarang!

Transitif : (a, b)  R1 dan (b, c)  R1  (a, c)  R1 R1 : { 1, 2, 3, 4 }  { 1, 2, 3, 4 }, A di mana R1 = { (a, b) | a  b} R1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)} Transitif : (a, b)  R1 dan (b, c)  R1  (a, c)  R1 (1,1)  R1 dan (1,1)  R1  (1,1)  R1 ; (1,1)  R1 dan (1,2)  R1  (1,2)  R1 (1,1)  R1 dan (1,3)  R1  (1,3)  R1 ; (1,1)  R1 dan (1,4)  R1  (1,4)  R1 (1,2)  R1 dan (2,2)  R1  (1,2)  R1 ; (1,2)  R1 dan (2,3)  R1  (1,3)  R1 (1,2)  R1 dan (2,4)  R1  (1,4)  R1 ; (1,3)  R1 dan (3,3)  R1  (1,3)  R1 (1,3)  R1 dan (3,4)  R1  (1,4)  R1 ; (1,4)  R1 dan (4,4)  R1  (1,4)  R1 (2,2)  R1 dan (2,2)  R1  (2,2)  R1 ; (2,2)  R1 dan (2,3)  R1  (2,3)  R1 (2,2)  R1 dan (2,4)  R1  (2,4)  R1; (2,3)  R1 dan (3,3)  R1  (2,3)  R1 (2,3)  R1 dan (3,4)  R1  (2,4)  R1; (2,4)  R1 dan (4,4)  R1  (2,4)  R1 (3,3)  R1 dan (3,3)  R1  (3,3)  R1 ; (3,3)  R1 dan (3,4)  R1  (3,4)  R1 (4,4)  R1 dan (4,4)  R1  (4,4)  R1

Refleksif : a [ (a, a)  R ] R : integer  integer R1 = { (a, b) | a  b} ya R2 = { (a, b) | a  b} tidak R3 = { (a, b) | a = b or a = – b } ya R4 = { (a, b) | a = b} ya R5 = { (a, b) | a = b + 1 } tidak R6 = { (a, b) | a + b  3 } ya

2. Simetrik: a b [ (a, b)  R  (b, a)  R ] R : integer  integer R1 = { (a, b) | a  b} tidak R2 = { (a, b) | a  b} tidak R3 = { (a, b) | a = b or a = – b } ya R4 = { (a, b) | a = b} ya R5 = { (a, b) | a = b + 1 } tidak R6 = { (a, b) | a + b  3 } ya

3. Antisimetrik : a b [ ((a, b)  R  (b, a)  R)  (a = b) ] atau a b [ (a  b)  ((a, b)  R  (b, a)  R) ] R : integer  integer R1 = { (a, b) | a  b} R2 = { (a, b) | a  b} R3 = { (a, b) | a = b or a = – b } R4 = { (a, b) | a = b} R5 = { (a, b) | a = b + 1 } R6 = { (a, b) | a + b  3 }

4. Transitif : abc [((a, b)  R  (b, c)  R)  (a, c)  R ] R : integer  integer R1 = { (a, b) | a  b} R2 = { (a, b) | a  b} R3 = { (a, b) | a = b or a = – b } R4 = { (a, b) | a = b} R5 = { (a, b) | a = b + 1 } R6 = { (a, b) | a + b  3 }

5. Irefleksif : a [ (a, a)  R ] R : integer  integer R1 = { (a, b) | a  b} R2 = { (a, b) | a  b} R3 = { (a, b) | a = b or a = – b } R4 = { (a, b) | a = b} R5 = { (a, b) | a = b + 1 } R6 = { (a, b) | a + b  3 }

6. Asimetrik : a b [ (a, b)  R  (b, a)  R ] R : integer  integer R1 = { (a, b) | a  b} R2 = { (a, b) | a  b} R3 = { (a, b) | a = b or a = – b } R4 = { (a, b) | a = b} R5 = { (a, b) | a = b + 1 } R6 = { (a, b) | a + b  3 }

Periksa ke-6 sifat relasi untuk Relasi invers dari R1 s/d. R6 SOAL: Periksa ke-6 sifat relasi untuk Relasi invers dari R1 s/d. R6 Relasi komplementer dari R1 s/d. R6 Catatan: R : A  B Relasi invers dari R, notasi R-1: B  A { (b, a) | (a, b)  R } Relasi komplemen dari R, notasi R: A  B { (a, b) | (a, b)  R }

R1 : A  B R2 : A  B Kombinasi dua relasi: R1  R2 R1  R2 R1  R2 Catatan: baca Examples 3, 4 (halaman 491, 492)

Komposisi dua relasi: A B C a b c R : A  B S : B  C dan disebut relasi komposit/komposisi R S S  R Komposisi ditulis sebagai S  R

Contoh: R : A  B di mana A = { 1, 2, 3 } dan B = { 1, 2, 3, 4 } S : B  C di mana C = { 0, 1, 2 } R = { (1,1), (1,4), (2,3), (3,1), (3,4) } S = { (1,0), (2,0), (3,1), (3,2), (4,1) } S  R = ………………. Soal: Gambarkan relasi komposit tersebut.

Representasi relasi komposit: R : A  B di mana A = { 1, 2, 3 } dan B = { 1, 2, 3, 4 } S : B  C di mana C = { 0, 1, 2 } R = { (1,1), (1,4), (2,3), (3,1), (3,4) } S = { (1,0), (2,0), (3,1), (3,2), (4,1) } MR = MS = MS°R = MR  MS (perkalian Boolean MR dan MS)

MR = MS = MS°R = MR  MS (perkalian Boolean MR dan MS) = 1 1 0 0 1 1 = 1 1 0 0 1 1 1 1 0

Komposisi lebih dari dua relasi R: A  A R1 = R R2 = R  R R3 = R2  R ………. Rn+1 = Rn  R

Contoh: R : {1, 2, 3, 4}  {1, 2, 3, 4} R = { (1,1), (2,1), (3,2), (4,3) } R2 = { (1,1), (2,1), (3,1), (4,2) } R3 = { (1,1), (2,1), (3,1), (4,1) } R4 = { (1,1), (2,1), (3,1), (4,1) } R5 = { (1,1), (2,1), (3,1), (4,1) } dst Soal: Verifikasi dengan gambar

R : {1, 2, 3, 4}  {1, 2, 3, 4} R = { (1,1), (2,1), (3,2), (4,3) } R2 = { (1,1), (2,1), (3,1), (4,2) } R3 = { (1,1), (2,1), (3,1), (4,1) } MR = MR = MR  MR 2

RELASI n-ary Sub-bab 7.2

Relasi R: Binary : (a1, a2) disebut ordered-pair Contoh : (Nama_mahasiswa, nilai_UTS) Ternary : (a1, a2, a3) disebut ordered-triple Contoh : (NRP_mhs, Nama_mhs, nilai_UTS) Contoh lain: R adalah relasi (penerbangan, no-penerbangan, asal, tujuan, waktu-berangkat) Disebut quintuple (karena terdiri dari 5 komponen) n-ary : (a1, a2, a3, … , an) disebut n-tuple

Relasi R: Binary : (a1, a2) disebut ordered-pair Contoh : (Nama_mahasiswa, nilai_UTS) Ternary : (a1, a2, a3) disebut ordered-triple Contoh : (NRP_mhs, Nama_mhs, nilai_UTS) Contoh lain: R adalah relasi (penerbangan, no-penerbangan, asal, tujuan, waktu-berangkat) Disebut quintuple (karena terdiri dari 5 komponen) n-ary : (a1, a2, a3, … , an) disebut n-tuple

Definisi: Relasi n-ary adalah sub-himpunan dari A1  A2  A3  …  An Himpunan-himpunan A1, A2, A3, …, An disebut domain dari relasi n disebut derajat relasi Aplikasi: Basis Data Relasional

Terminologi: Tabel : alternatif representasi basis data relasional Primary-key : a domain of an n-ary relation such that an n-tuple is uniquely determined by its value for this domain Composite-key : the Cartesian product of domains of an n-ary relation such that an n-tuple is uniquely determined by its values for these domains Projection : a function that produces relations of smaller degree from an n-ary relation by deleting fields Join : a function that combines n-ary relations that agree on certain fields SQL : Structured Query Language

Primary-key : a domain of an n-ary relation such that an n-tuple is uniquely determined by its value for this domain Contoh: lihat Tabel 1 4-tuple : (nama, nomor-identitas, jurusan, IPK) (Ackermann, 231455, CS, 3.88) (Adams, 8888323, Physics, 3.45) (Chou, 102147, CS, 3.49) (Goodfriend, 453876, Math, 3.45) (Rao, 678543, Math, 3.90) (Stevens, 786576, Psychology, 2.99) Alternatif primary-key: nama, nomor-identitas

Composite-key : the Cartesian product of domains of an n-ary relation such that an n-tuple is uniquely determined by its values for these domains Contoh: 4-tuple : (nama, nomor-identitas, jurusan, IPK) (Ackermann, 231455, CS, 3.88) CS, 3.45 (Adams, 8888323, Physics, 3.45) CS, 3.88 (Chou, 102147, CS, 3.49) Math, 3.45 (Goodfriend, 453876, Math, 3.45) Math, 3.90 (Rao, 678543, Math, 3.90) Physics, 3.45 (Stevens, 786576, Psychology, 2.99) Psychology, 2.99 Alternatif composite-key: jurusan x IPK

Projection : a function that produces relations of smaller degree from an n-ary relation by deleting fields Pi1,i2,i3, … ,im deletes n–m of the components of the n-tuple, leaving the i1th, i2th, i3th, …, imth components Lihat Example 7

Join : Jp Jp is a function that combines all m-tuples of the first relation with all n-tuples of the second relation, where the last p components of the m-tuples agree with the first p components of the n-tuples. Lihat Example 9 halaman 486