Bab 8A Estimasi 1

Bab 8A ESTIMASI 1 A. Pendahuluan 1. Hakikat Estimasi Estimasi adalah taksiran dan yang diestimasi adalah parameter populasi Data yang digunakan untuk melakukan estimasi parameter populasi adalah statistik sampel sebagai estimator Terdapat prosedur tertentu untuk melaksanakan estimasi

2. Parameter yang Diestimasi ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ 2. Parameter yang Diestimasi Parameter yang diestimasi adalah parameter yang digunakan di dalam pengujian hipotesis Sebagai gambaran estimasi parameter yang dibicarakan di sini mencakup Satu rerata Satu porporsi Satu koefisien korelasi Satu koefisien regresi Perbandingan dua variansi Selisih dua rerata Selisih dua proporsi Selisih dua koefisien korelasi Selisih dua koefisien regresi

------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ 3. Jenis Estimasi Ada beberapa jenis estimasi, di antaranya adalah estimasi titik, estimasi interval, dan estimasi kebolehjadian maksimum Pada estimasi titik, hasil estimasi adalah satu nilai parameter (sama dengan nilai statistik) Pada estimasi interval, hasil estimasi adalah suatu interval nilai parameter  Statistik sampel  Parameter populasi  Statistik sampel Parameter populasi

Kebolehjadian maksimum ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Pada estimasi kebolehjadian maksimum hasil estimasi adalah satu nilai parameter yang diperoleh dari menghitung nilai maksimum dari semua kebolehjadian (likelihood) Kebolehjadian : L() Parameter :  Kebolehjadian maksimum Di sini pembahasan dibatasi pada estimasi interval serta sedikit pembahasan tentang estimasi melalui kebolehjadian maksimum Catatan: Masih ada sejumlah estimasi lainnya seperti estimasi Bayes namun mereka tidak dibahas di sini

Jika estimasi titik adalah , maka estimasi interval adalah ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ 3. Estimasi Interval Hasil estimasi adalah suatu interval pada parameter populasi, biasanya,  suatu nilai di sekitar estimasi titik Jika estimasi titik adalah , maka estimasi interval adalah    sehingga interval estimasi menjadi    ≤  ≤  +        + 

Makin lebar interval estimasi  makin kecil probabilitas keliru ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ 4. Sifat Estimasi Diketahui statistik sampel (sebagian) dan berbicara tentang parameter (seluruh), estimasi parameter mengandung probabilitas keliru Makin lebar interval estimasi  makin kecil probabilitas keliru Namun makin lebar interval estimasi  makin kecil ketepatannya sehingga makin rendah kadar informasinya Sebaliknya, makin sempit interval estimasi  makin besar probabilitas keliru, namun makin tinggi kadar informasinya Interval estimasi  berusaha mencari imbangan terbaik di antara probabilitas keliru dan kadar informasi

Probabilitas keliru dan kadar informasi ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Probabilitas keliru dan kadar informasi Probabilitas keliru relatif kecil Kadar informasi relatif rendah Probabilitas keliru relatif besar Kadar informasi relatif tinggi  

Interval keyakinan adalah komplemen dari probabilitas keliru ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ 5. Interval Keyakinan Interval keyakinan adalah komplemen dari probabilitas keliru Jika probabilitas keliru adalah , maka interval keyakinan adalah 1   Beberapa contoh rumusan estimasi (a) Pada interval keyakinan 0,95, rerata populasi X adalah 6,25 ≤ X ≤ 7,75 (b) Pada interval keyakinan 0,99 perbandingan variansi populasi X dan Y yang independen adalah

(d) Pada interval keyakinan 0,98 proporsi populasi X adalah ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ (c) Pada interval keyakinan 0,95, selisih dua rerata populasi X dan Y yang independen adalah 2,15 ≤ X  Y ≤ 3,85 (d) Pada interval keyakinan 0,98 proporsi populasi X adalah 0,45 ≤ X ≤ 0,55 (e) Pada interval keyakinan 0,90 selisih dua proporsi populasi X dan Y yang independen adalah 0,035 ≤ X  Y ≤ 0,065 (f) Pada interval keyakinan 0,95 koefisien korelasi linier di antara populasi X dan Y adalah 0,5564 ≤ XY ≤ 0,8298

------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ (g) Pada interval keyakinan 0,98 selisih di antara koefisien korelasi populasi X dan Y dan koefisien korelasi populasi U dan V yang independen adalah 0,010 ≤ XY  UV ≤ 0,030 (h) Pada interval keyakinan 0,99 koefisien regresi populasi X dan Y adalah 1,24 ≤ B ≤ 1,76 (i) Pada interval keyakinan 0,95 selisih di antara koefisien regresi B1 dan koefisien regresi B2 adalah 0,25 ≤ B1  B2 ≤ 1,45

6. Kaitan dan Persyaratan Estimasi ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ 6. Kaitan dan Persyaratan Estimasi Estimasi berkaitan dengan statistik sampel dan parameter populasi Seperti halnya pengujian hipotesis parametrik, estimasi ini berkaitan pula dengan Distribusi probabilitas pensampelan Kekeliruan baku Taraf signifikansi () Nilai kritis pada taraf signifikansi  Persyaratan estimasi adalah seperti persyaratan pada pengujian hipotesis parametrik, meliputi Data minimal berskala interval Kondisi populasi dan cara penarikan sampel tertentu perlu dipenuhi

1. Parameter dan Statistik ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ B. Estimasi Interval 1. Parameter dan Statistik Populasi dengan parameter tertentu dapat menghasilkan beramcam-macam statistik sampel (ada kekeliruan pensampelan) Sebaliknya, sampel dengan statistik tertentu dapat berasal dari populasi dengan bermacam-macam parameter Sebagai contoh, statistik sampel rerata X = 6 dapat berasal dari populasi dengan X = 6 X = 4 X = 8 dan seterusnya

Sampel nX = 2 dari beberapa populasi NX = 5 sampel rerata 4 5 4,5 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Sampel nX = 2 dari beberapa populasi NX = 5 sampel rerata 4 5 4,5 4 6 5 4 7 5,5 4 8 6 5 6 5,5 5 7 6 5 8 6,5 6 7 6,5 6 8 7 7 8 7,5 rerata frek prob 4,5 1 0,1 5 1 0,1 5,5 2 0,2 6 2 0,2 6,5 2 0,2 7 1 0,1 7,5 1 0,1 4 5 6 7 8 X = 6

Sampel nX = 2 dari beberapa populasi NX = 5 sampel rerata 3 4 3,5 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Sampel nX = 2 dari beberapa populasi NX = 5 sampel rerata 3 4 3,5 3 5 4 3 6 4,5 3 7 5 4 5 4,5 4 6 5 4 7 5,5 5 6 5,5 5 7 6 6 7 6,5 rerata frek prob 3,5 1 0,1 4 1 0,1 4,5 2 0,2 5 2 0,2 5,5 2 0,2 6 1 0,1 6,5 1 0,1 3 4 5 6 7 X = 5

Sampel nX = 2 dari beberapa populasi NX = 5 sampel rerata 5 6 5,5 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Sampel nX = 2 dari beberapa populasi NX = 5 sampel rerata 5 6 5,5 5 7 6 5 8 6,5 5 9 7 6 7 6,5 6 8 7 6 9 7,5 7 8 7,5 7 9 8 8 9 8,5 rerata frek prob 5,5 1 0,1 6 1 0,1 6,5 2 0,2 7 2 0,2 7,5 2 0,2 8 1 0,1 8,5 1 0,1 5 6 7 8 9 X = 7

Parameter X Probabilitas untuk X = 6 6 0,2 5 0,1 7 0,1 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Parameter X Probabilitas untuk X = 6 6 0,2 5 0,1 7 0,1 Makin jauh rerata populasi dari 6 (estiamsi titik), makin kecil probabilitasnya menghasilkan rerata sampel = 6 Sampai probabilitas  kita menerima bahwa rerata sampel = 6 masih berasal dari populasi dengan rerata = 6  X  X = 6 X 5 6 7 Probabilitas 0,1 0,2 0,1

Ada dua batas estimasi, batas bawah ( – ) dan batas atas ( + ) ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ 2. Batas Estimasi Ada dua batas estimasi, batas bawah ( – ) dan batas atas ( + ) Kalau batas estimasi itu ditentukan oleh probabilitas sebesar , maka masing-masing batas bawah dan batas atas memperoleh ½ Pada contoh kita, batas bawah adalah X dengan probabilitas ½ untuk menghasilkan sampel X Batas atas juga adalah X dengan probabilitas ½ untuk menghasilkan sampel X ½ ½ Batas bawah Batas atas

Nilai  ditentukan oleh bebarapa besaran meliputi ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ----------------------------------------------------------------------------- Nilai  ditentukan oleh bebarapa besaran meliputi Distribusi probabilitas pensampelan Kekeliruan baku Taraf keyakinan Nilai kritis dengan  = (kekeliruan baku)(nilai kritis sehingga interval estimasi menjadi  –      + 

3. Contoh Prosedur Estimasi ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ 3. Contoh Prosedur Estimasi Kita gunakan satu contoh untuk melihat prosedur estimasi secara interval dengan interval keyakinan (1 – ) = 0,95 Suatu rerata sampel kecil berasal dari populasi berdistribusi probabilitas normal melalui penarikan sampel acak nX = 49 X = 70 sX = 14 Distribusi probabilitas pensampelan DPP : DP t-Student Kekeliruan baku

Probabilitas untuk batas bawah dan batas atas adalah ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Estimasi titik X = 70 Probabilitas untuk batas bawah dan batas atas adalah ½ = 0,025 Pada batas bawah t(0,975)(48) = 2,011

pada Interval keyakinan 1 –  = 0,95 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Pada batas atas t(0,025)(48) = – 2,011 Batas estimasi 65,978  X  74,022 pada  = 0,05 atau pada Interval keyakinan 1 –  = 0,95

Untuk batas bawah, 0,025 di ujung atas sehingga  = 0,975 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Batas estimasi Untuk batas bawah, 0,025 di ujung atas sehingga  = 0,975 Untuk batas atas, 0,025 di ujung bawah sehingga  = 0,025 0,025 0,025 65,978 70,00 74,022

4. Bentuk Umum Estimasl Interval Pada contoh tampak bahwa ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ----------------------------------------------------------------------------- 4. Bentuk Umum Estimasl Interval Pada contoh tampak bahwa Interval keyakinan 1 –  Estimasi titik X Batas bawah X – X t(½)(x) Batas atas X + X t(½)(x) Pada bentuk umum Estimasi titik  Batas bawah  –  Batas atas  +   = (kekeliruan baku)(nilai kritis)

5. Sistematika Estimasi Interval ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ 5. Sistematika Estimasi Interval Prosedur estimasi interval ini dapat kita susun ke dalam sistematika enam langkah Seperti halnya pada pengujian hipotesis parametrik, keenam langkah prosedur estimasi interval adalah sebagai berikut Langkah Pertama : Rumusan estimasi Kedua : Sampel Ketiga : Distribusi probabilitas pen- sampelan Keempat : Interval keyakinan Kelima : Bentangan estimasi Keenam : Interval estimasi

Pada interval keyakinan 0,95 estimasi parameter rerata ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Kita sistematiskan estimasi interval untuk contoh di atas ke dalam enam langkah berikut Langkah pertama Rumusan estimasi Pada interval keyakinan 0,95 estimasi parameter rerata Langkah kedua Data sampel Sampel acak kecil menghasilkan nX = 49 X = 70 sX = 14

Distribusi probabilitas pensampelan DPP : DP t-Student Kekeliruan baku ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Langkah ketiga Distribusi probabilitas pensampelan DPP : DP t-Student Kekeliruan baku Langkah keempat Interval keyakinan 1 –  = 0,95  = 0,05 Untuk batas bawah t(0,975)(48) = 2,011 Untuk batas atas t(0.025)48) = – 2,011

Estimasi pada interval keyakinan 0,95 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Langkah kelima Bentangan estimasi Untuk batas bawah X t(0,975)(48) = (2,00)(2,011) = 4,022 Untuk batas atas X t(0,025)(48) = (2,00)(– 2,011) = – 4,022 Langkah keenam Interval estimasi Estimasi pada interval keyakinan 0,95 70,00 – 4,022  X  70,00 + 4,022 65,978  X  74,022

C. Estimasi Interval pada Satu Rerata 1. Dasar ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ C. Estimasi Interval pada Satu Rerata 1. Dasar Hakikat estimasi interval pada parameter berdasarkan data dari sampel sudah dikemukakan di muka dengan mengambil contoh satu rerata Di sini, kita melakukan estimasi interval untuk parameter satu rerata dengan menggunakan beberapa contoh Prosedur estimasi ini menggunakan sistematika enam langkah dengan memanfaatkan distribusi probabilitas pensampelan pada Bab 6A dan 6B Estimasi interval akan menghasilkan X – X  X  X + X

2. Beberapa Contoh Estimasi Contoh 1 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ 2. Beberapa Contoh Estimasi Contoh 1 Pada interval keyakinan 0,99 diestimasi rerata populasi X. Telah diketahui bahwa populasi X berdistribusi probabilitas normal serta memiliki simpangan baku sebesar 0,3. Sampel acak dengan pengembalian berukuran 36 menghasilkan rerata sampel sebesar 2,6 Rumusan estimasi Pada interval keyakinan 0,99 estimasikan rerata populasi X Sampel Sampel acak dengan pengembalian nX = 36 X = 2,6

Distribusi probabilitas pensampelan DPP : DP normal ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Distribusi probabilitas pensampelan DPP : DP normal Simpangan baku : X = 0,3 Kekeliruan baku Interval keyakinan Interval keyakinan 0,99 1 –  = 0,99  = 0,01 ½ = 0,005 Nilai kritis ujung bawah z(0,005) = 2,576 ujung atas z(0,995) = – 2,576

Pada interval keyakinan 0,99, estimasi rerata adalah ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Bentangan estimasi X – X = X – z(½) X = 2,6 – (2,576)(0,05) = 2,4712 X + X = X + z(½) X = 2,6 + (2,576)(0,05) = 2,7288 Interval estimasi Pada interval keyakinan 0,99, estimasi rerata adalah 2,4712  X  2,7288

Pada interval keyakinan 0,90 estimasikan rerata populasi X ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 2 Pada interval keyakinan 0,90, estimasi rerata populasi X yang berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak kecil berukuran 64 memberikan rerata sampel sebesar 25 dengan simpangan baku 6. Rumusan estimasi Pada interval keyakinan 0,90 estimasikan rerata populasi X Sampel Sampel acak kecil nX = X = sX =

Distribusi probabilitas pensampelan DPP : ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Distribusi probabilitas pensampelan DPP : Kekeliruan baku dan derajat kebebasan Interval keyakinan Interval keyakinan 1 –  =  = ½ = Nilai kritis Ujung bawah Ujung atas

Pada interval keyakinan 0,90, rerata adalah ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Bentangan estimasi X – X = X + X = Interval estimasi Pada interval keyakinan 0,90, rerata adalah

------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 3 Pada interval keyakinan 0,90, estimasi rerata populasi X yang berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak berukuran kecil sebesar 16 memberikan rerata sampel 23 dengan simpangan baku 12. Contoh 4 Pada interval keyakinan 0,90 estimasi rerata penurunan timbangan badan X setelah subyek menjalankan usaha diet. Sampel acak kecil menghasilkan timbangan badan (dalam kg) Sebelum 80 92 67 50 115 70 86 98 75 67 Sesudah 75 87 75 42 95 74 75 90 77 60

Pada interval keyakinan 0,95 estimasi rerata pH tanah itu ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 5 Sampel acak 150 sepeda motor menunjukkan bahwa rerata kecepatan adalah 56,3 km/jam dengan simpangan baku 3,1 km/jam. Pada interval keyakinan 0,95, estimasi rerata kecepatan sepeda motor. Contoh 6 Ahli kelautan mengukur temperatur air laut di teluk. Sampel acak 20 teluk menunjukkan rerata temperatur 23,60 C dengan simpangan baku 3,30 C. Pada interval keyakinan 0,99 estimasi rerata temperatur air laut di teluk. Contoh 7 Seorang petani mengukur pH tanah seluas satu ha. Sampel acak 8 tempat menujukkan pH 5,9 6,2 6,7 6,2 6,1 6,6 6,2 6,6 Pada interval keyakinan 0,95 estimasi rerata pH tanah itu

D. Estimasi Interval pada Satu Proporsi 1. Dasar ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ D. Estimasi Interval pada Satu Proporsi 1. Dasar Hakikat estimasi interval pada parameter satu proporsi berdasarkan data dari sampel mirip dengan estimasi interval pada satu rerata Pada kekeliruan baku, kita dapat menggunakan dua macam variansi yakni variansi berdasarkan proporsi dan variansi maksimum (= 0,25) Prosedur estimasi ini menggunakan sistematika enam langkah dengan memanfaatkan distribusi probabilitas pensampelan pada Bab 6A dan 6B Estimasi interval akan menghasilkan pX – pX  X  pX + pX

2. Beberapa Contoh Estimasi Contoh 8 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ 2. Beberapa Contoh Estimasi Contoh 8 Sebelum hari pemilihan diadakan jajak pendapat di suatu wilayah. Sampel acak 100 pemilih ditanya dan 60 memilih calon X. Pada interval keyakinan 0,90, estimasi proporsi pemilih yang memilih calon X Rumusan Estimasi Pada interval keyakinan 0,90, estimasi X dengan X sebagai proporsi pemilih calon X Sampel nX = 100 pX = 60 / 100 = 0,60

Distribusi probabilitas pensampelan DPP : pendekatan ke DP normal ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Distribusi probabilitas pensampelan DPP : pendekatan ke DP normal Kekeliruan baku Interval keyakinan Interval keyakinan 1 –  = 0,90 Ujung atas dan ujung bawah ½ = 0,05 Nilai kritis ujung bawah z(0,05) = – 1,64 Nilai kritis ujung atas z(0,95) = 1,64

Pada interval keyakinan 0,90, proporsi 0,52  X  0,68 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Bentangan estimasi pX – pX = pX – px z(0,95) = 0,60 – (0,049)(1,64) = 0,52 pX + pX = pX + px z(0,05) = 0,60 + (0,049)(1,64) = 0,68 Interval estimasi Pada interval keyakinan 0,90, proporsi 0,52  X  0,68 Catatan: apabila estimasi mencakup  0,50 maka timbul masalah, karena membentang dari tidak terpilih ( < 0,50) sampai terpilih (  0,50)

Distribusi probabilitas pensampelan DPP : pendekatan ke DP normal ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 9 Kita ulangi estimasi pada contoh 8 dengan menggunakan variansi maksimum pada kekeliruan baku Distribusi probabilitas pensampelan DPP : pendekatan ke DP normal Kekeliruan baku (dengan variansi maksimum) Bentangan estimasi pX – pX = 0,60 – (0,050)(1,64) = 0,518 pX + pX = 0,60 + (0,050)(1,64) = 0,682 Inereval estimasi 0,518  X  0,682

Distribusi pensampelan ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 10 Sampel acak 200 orang memesan kaca mata baru. Di antaranya 162 orang memilih lensa plastik (X). Pada interval keyakinan 0,95, estimasi proporsi orang pemesan kaca mata dengan lensa plastik Rumusan estimasi Sampel Distribusi pensampelan

Distribusi probabilitas pensampelan DPP : Kekeliruan baku ------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Distribusi probabilitas pensampelan DPP : Kekeliruan baku Interval keyakinan Bentangan interval Interval estimasi

------------------------------------------------------------------------------ Bab 8A ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 11 Ulangi contoh 10 dengan menggunakan variansi maksimum pada kekeliruan baku Contoh 12 Sampel acak 300 penerbangan, 74% tepat waktu (X). Pada interval keyakinan 0,99, estimasi proporsi penerbangan yang tepat waktu Contoh 13 Ulangi contoh 9 dengan menggunakan variansi maksimum pada kekeliruan baku Contoh 14 Sampel acak 600 alat dari pengiriman 20000 alat menunjukkan 16 cacat. Pada interval keyakinan 0,98, estimasi berapa proporsi alat rusak. Estimasi juga berapa banyak alat rusak.