REVIEW STATISTIK BISNIS (PRA UAS) DOSEN : LIES ROSARIA., ST., MSI

1. DISTRIBUSI TEORITIS PENGERTIAN Distribusi teoritis atau distribusi probabilitas teoritis adalah suatu daftar yang disusun berdasarkan probabilitas dari peristiwa-peristiwa yang bersangkutan. Frekuensi dari distribusi tersebut diperoleh melalui perhitungan-perhitungan, karena distribusi teoritis dapat pula diartikan sebagai distribusi yang frekuensinya diperoleh secara matematis (perhitungan)

Contoh 01: distribusi teoritis Misalkan sebuah koin dengan dua sisi yaitu sisi gambar (G) dan sisi angka (A) dilemparkan sebanyak tiga kali berturut-turut. Hasil-hasil yang mungkin terjadi adalah : GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA Misalkan X adalah jumlah sisi gambar yang muncul. Nilai X yang mungkin terjadi adalah : 0, 1, 2, 3 X = 0, berarti tidak ada sisi G yang muncul. X = 1, berarti sisi G muncul satu kali. X = 2, berarti sisi G muncul dua kali. X = 3, berarti sisi G muncul tiga kali. X disebut variabel acak (random) 1 2 3 4 5 6 7 8

Maka: Untuk GGG, didapat X = 3 Untuk GGA, didapat X = 2 Untuk GAG, didapat X = 2 Untuk AGG, didapat X = 2 Untuk GAA, didapat X = 1 Untuk AGA, didapat X = 1 Untuk AAG, didapat X = 1 Untuk AAA, didapat X = 0 Dengan demikian, X = {0, 1, 2, 3}

Distribusi Probabilitas Teoritis Dari contoh 1 diatas, bisa dibuat tabel distribusi probabilitas Teoritis dan diagram batang untuk variabel acak X sebagai berikut : X P(X) 1/8 = 0,125 1 3/8 = 0,375 2 3 Jumlah

Contoh 02: Distribusi binomial Seorang mahasiswa mengahadapi 8 pertanyaan pilihan berganda. Setiap pertanyaan memiliki 5 alternatif jawaban (a, b, c, d, e). Jika dalam menjawab pertanyaan mahasiswa tersebut berspekulasi, maka probabilitas menjawab pertanyaan adalah: Untuk menjawab (1 pertanyaan) benar, P(B) = 1/5 Untuk menjawab (1 pertanyaan) salah, P(S) = 1 – P(B) = 4/5 Misalkan mahasiswa tersebut mendapati 6 pertanyaan benar dari keseluruhan pertanyaan yang ada dengan susunan sebagai berikut: B, B, S, B, B, S, B, B Maka: P (B, B, B, B, B, S, B, B) = (1/5) (1/5) (4/5) (1/5) (1/5) (4/5) (1/5) (1/5) = (1/5)6 (4/5)2 Cat: dalam penyelesaian soal tidak perlu dituliskan apabila tidak diminta menyebutkan susunan variasinya

Banyaknya susunan 6 pertanyaan benar (2 pertanyaan salah) dapat dihitung dengan rumus permutasi berikut: Maka, untuk n = 8 (total 8 pertanyaan) dan x = 6 (6 pertanyaan benar): Jika semua susunan dituliskan maka: SSBBBBBB, SBSBBBBB, SBBSBBBB, SBBBSBBB, SBBBBSBB, SBBBBBSB, SBBBBBBS, BSSBBBBB, BSBSBBBB, BSBBSBBB, BSBBBSBB, BSBBBBSB, BSBBBBBS, BBSSBBBB, BBSBSBBB, BBSBBSBB, BBSBBBSB, BBSBBBBS, BBBSSBBB, BBBSBSBB, BBBSBBSB, BBBSBBBS, BBBBSSBB, BBBBSBSB, BBBBSBBS, BBBBBSSB, BBBBBSBS, BBBBBBSS Cat: dalam penyelesaian soal tidak perlu dituliskan apabila tidak diminta menyebutkan susunan variasinya

Maka, untuk menentukan probabilitas menjawab 6 pertanyaan benar (dari 8 pertanyaan) adalah dengan menjumlahkan probabilitas dengan kombinasi banyaknya susunan jawaban benar. Sehingga didapat: P (6) = jumlah sukses (x) px q n-x Probabilitas P(x) 1 0,167772 0,16777216 8 0,2 0,209715 0,33554432 2 28 0,04 0,262144 0,29360128 3 56 0,008 0,32768 0,14680064 4 70 0,0016 0,4096 0,0458752 5 0,00032 0,512 0,00917504 6 0,000064 0,64 0,00114688 7 0,0000128 0,8 8,192E-05 0,00000256 jumlah 1,000000000 Cat: tabel ini menunjukkan variasi banyaknya pertanyaan yang terjawab, tidak perlu dihitung apabila tidak diminta

Contoh 03: Distribusi Hipergeometrik Dari penelitian golongan darah mahasiswa pada sebuah universitas, diketahui bahwa dari 10 mahasiswa terdapat 2 mahasiswa bergolongan darah A, 5 mahasiswa bergolongan darah B dan 3 mahasiswa bergolongan darah O. Apabila diambil 5 orang mahasiswa, berapa probabilitas 1 mahasiswa memiliki golongan darah A, 2 mahasiswa bergolongan darah B dan 2 mahasiswa bergolongan darah O? Penyelesaian: N = 10, terdiri dari: k1 = 2, k2 = 5, k3 = 3 n = 5, terdiri dari: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 2 Rumus distribusi hipergeometrik: P(X = x1,x2,x3) = P(X = 1,2,2) = = = 0,24

Contoh 04: Distribusi Poisson Sebuah toko alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu 40W setiap hari sebanyak 5 buah. Jika permintaan akan lampu tersebut mengikuti distribusi poisson, berapa probabilitas untuk penjualan : 1 lampu TL dan 4 lampu TL? Penyelesaian:  = rata-rata terjadi suatu peristiwa = 5 e-5 = 0,00674 Rumus distribusi poisson suatu peristiwa : P (X = x) = P (X = 1) = = = 0,0337 P (X = 4) = = = 0,1755

2. DISTRIBUSI SAMPLING PENGERTIAN Distribusi sampling adalah besaran-besaran statistik, seperti rata-rata, simpangan baku, proporsi (persentase) yang mungkin muncul dari sampel-sampel. Distribusi dari rata-rata sampel disebut distribusi sampling rata-rata atau distribusi rata-rata sampel adalah distribusi dari besaran rata-rata yang muncul dari sampel-sampel Distribusi dari proporsi sampel disebut distribusi sampling proporsi atau distribusi proporsi sampel adalah distribusi dari proporsi (persentase) yang diperoleh dari semua sampel sama bersar yang mungkin dari satu populasi.

Contoh 05: Distribusi Sampling Rata-rata Populasi berukuran 4, anggotanya 2, 3, 5, 6 dan sampelnya berukuran 2. buatlah distribusi sampling rata-rata jika sampelnya dilakukan tanpa pengembalian! Jawab: Sampel 1, terdiri dari : 2;3 dengan rata-rata = 2,5 Sampel 2, terdiri dari : 2;5 dengan rata-rata = 3,5 Sampel 3, terdiri dari : 2;6 dengan rata-rata = 4 Sampel 4, terdiri dari : 3;5 dengan rata-rata = 4 Sampel 5, terdiri dari : 3;6 dengan rata-rata = 4,5 Sampel 6, terdiri dari : 5;6 dengan rata-rata = 5,5

Distribusi sampling rata-rata diperlihatkan pada tabel berikut ini: f probabilitas 2,5 1 0,17 3,5 4 2 0,32 4,5 5,5 6 1,00

Contoh 06: Distribusi Sampling Proporsi Sebuah populasi beranggotakan 6 orang, 3 diantaranya pria dan yang lainnya wanita. Jika diambil 3 sampel, proporsi untuk banyaknya sampel 3 pria, 2 pria dan 1 wanita, 1 pria dan 2 wanita, dan ke-3 nya wanita dapat diketahui (tanpa pengembalian), misalnya anggota populasi adalah A, B, C untuk pria dan K, L, M untuk wanita. Banyaknya sampel yang didapat adalah Ke-20 buah sampel tersebut: ABC, ABK, ABL, ABM, ACK, ACL, ACM, AKL, AKM, ALM, BCK, BCL, BCM, BKL, BKM, BLM, CKL, CKM, CLM, KLM

Sampel yang mungkin (X) Distribusi sampling proporsinya (X = pria, n = 3) adalah Untuk pengambilan sampel dengan pengembalian dan jika ukuran populasi besar dibandingkan dengan ukuran sampel, yaitu 𝑛 𝑁  5%, maka berlaku: Rata-rata: P = P Simpangan baku: P = 𝑃 1−𝑃 𝑛 = 𝑃𝑄 𝑛 Sampel yang mungkin (X) Proporsi sampel (X/N) f Probabilitas X = 3 (3P, 0W) X = 2 (2P, 1W) X = 1 (1P, 2W) X = 0 (0P, 3W) 1 0,67 0,33 9 0,05 0,45 20 1,00

Untuk pengambilan sampel dengan pengembalian dan jika ukuran populasi besar dibandingkan dengan ukuran sampel, yaitu 𝑛 𝑁 > 5%, maka berlaku: Rata-rata: P = P Simpangan baku: P = 𝑃 1−𝑃 𝑛 × 𝑁−𝑛 𝑁−1 = 𝑃𝑄 𝑛 × 𝑁−𝑛 𝑁−1 Keterangan: P = proporsi kejadian sukses Q = proporsi kejadian gagal (1 – P)

3. PENDUGAAN PARAMETER PENGERTIAN Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak diketahui. Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari sampel, dalam hal ini sampel random, yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Sehingga dengan pendugaan tersebut, keadaan parameter populasi dapat diketahui.

Contoh 07: Pendugaan Interval untuk Rata-rata sampel kecil (n<30) Suatu sampel random terdiri dari 10 orang karyawan di sebuah pabrik pakaian seragam memiliki data mengenai waktu pengerjaan 1 unit pakaian (dengan ukuran yg sama) sebagai berikut: 60; 63; 64; 66; 61; 61; 62; 62; 65; 64 menit. Dugalah rata-rata waktu yang digunakan bagi karyawan tersebut dengan interval keyakinan 99%. Penyelesaian: n = 10 X = 60 + 63 + 64 + 66 + 61 + 61+ 62 + 62 + 65 + 64 = 628 = = 62,8

S = = 1,9 interval keyakinan: 1 –  = 99% 1 –  = 99%  = 1% = 0,01 (disebut juga tingkat kepercayaan/tingkat signifikansi) /2 = 0,005 (two tail/dua arah) Derajat kebebasan (degree of freedom): df = n – 1 = 10 – 1 = 9 t kritis (t /2;df) didapat dari tabel distribusi t t /2;df = 3,250 S = = 1,9

Catatan: Pada rumus bagian 1, jika simpangan baku populasi  tidak diketahui, digunakan simpangan baku sampel s sebagai perkiraan dari . Pada rumus bagian 2, jika (n/N) > 5%, maka digunakan faktor koreksi : Sehingga pendugaan intervalnya menjadi:

Contoh 08: Pendugaan Interval untuk Proporsi sampel besar (n>30) Tentukan besarnya sampel yang harus diambil untuk mengetahui proporsi tingkat mahasiswa di perguruan tinggi dengan interval keyakinan 99% dan kesalahan yang mungkin terjadi tidak lebih dari 0,09! Penyelesaian: 1 -  = 99%  = 1% = 0,01 Z/2 = Z0,05 = 2,58 E = 0,09 n = 1 4 𝑍 𝛼/2 𝐸 2 = 1 4 2,58 0,09 2 =205,44

4. PENGUJIAN HIPOTESIS PENGERTIAN Hipotesis Suatu pernyataan tentang besarnya nilai parameter populasi yang akan diuji. Pengujian Hipotesis Suatu prosedur pengujian hipotesis tentang parameter populasi menggunakan informasi dari sampel dan teori probabilitas untuk menentukan apakah hipotesis tersebut secara statistik dapat diterima atau ditolak

Contoh 09: Hipotesis Rata-rata Suatu biro perjalanan menyatakan bahwa waktu yang diperlukan untuk menempuh perjalanan dari kota A ke kota B adalah 12,3 jam. Sampel sebanyak 6 kali perjalanan diperoleh informasi sebagai berikut: Dengan menggunakan tingkat signifikansi 5%, apakah sampel tersebut dapat mendukung pernyataan bahwa waktu tempuh dari kota A ke kota B adalah 12,3 jam? Perjalanan 1 2 3 4 5 6 Waktu 13 14 12 16 11

PENYELESAIAN Merumuskan Hipotesis : H0 = “waktu tumpuh 12,3 jam” dan H1  “waktu tumpuh 12,3 jam” (one tail) Menentukan nilai kritis Untuk pengujian satu arah (one tail): Tingkat signifikansi 5%   = 0,05 ; 0 = 12,3 Derajat kebebasan (df) = n – 1 = 6 – 1 = 5 Maka, nilai t didapat (dari tabel tdistribusi) : t kritis = 2,015 Menentukan nilai hitung (nilai statistik)

Pengambilan Keputusan Untuk: t hitung = 0,958 < t kritis = 2,015 maka: H0 diterima (H1 ditolak) karena |t hitung| < t kritis maka: H0 diterima (H1 ditolak) Kesimpulan: Dari uraian penyelesaian di atas dapat disimpulkan bahwa: pernyataan : waktu tempuh dari kota A ke kota B adalah 12,3 jam dapat diterima.

Contoh 10: Hipotesis Proporsi Suatu perusahaan jasa menyatakan bahwa 65% konsumennya merasa puas atas pelayanan ia berikan. Untuk membuktikan pernyataan ini dilakukan penelitian dengan meminta respon dari konsumen jasa perusahaan tersebut. Setelah dilakukan survey diperoleh informasi bahwa dari 250 konsumen yang memberi respon, terdapat 165 konsumen menyatakan puas dengan pelayanan yang diberikan. Apakah sampel yang diperoleh mendukung pernyataan perusahaan jasa tersebut dengan tingkat signifikansi 5%?

Penyelesaian Tahapan Analisis: Rumusan Hipotesis H0:  = 65% konsumennya merasa puas atas pelayanan ia berikan HA:  ≠ 0,65 Nilai Kritis: Z = ± 1,96 (dari tabel) Nilai Hitung: Z = 0,33 (dari rumus) Keputusan: H0 diterima Kesimpulan: konsumen yang menyatakan puas adalah 65%.

TINGKAT KEPERCAYAAN (1-) Z/2 Tingkat kepercayaan 10%, maka:  = 0,1  (1 - ) = 0,90 Digunakan : Z/2 = Z5% = Z0,05 = 1,645 Tingkat kepercayaan 5%, maka:  = 0,05  (1 - ) = 0,95 Z/2 = Z2,5% = Z0,025 = 1,96 Tingkat kepercayaan 2%, maka:  = 0,02  (1 - ) = 0,98 Z/2 = Z1% = Z0,001 = 2,33 Tingkat kepercayaan 1%, maka:  = 0,001  (1 - ) = 0,99 Z/2 = Z0,5% = Z0,005 = 2,575