Dosen : Lies Rosaria., ST., MSi DISTRIBUSI TEORITIS Dosen : Lies Rosaria., ST., MSi

VARIABEL RANDOM Dalam banyak eksperimen, kita ingin memadankan nilai numerik pada setiap keluaran yang mungkin untuk memungkinkan analisa matematis dari eksperimen tersebut. Untuk tujuan ini, diperkenalkan variabel acak. Definisi. Suatu variabel acak adalah fungsi dari ruang sampel dari suatu eksperimen ke himpunan bilangan real. Yaitu, variabel acak memadankan suatu bilangan real tertentu pada setiap keluaran yang mungkin. Catatan. Variabel acak adalah fungsi, bukan variabel. Variabel acak tidak dilakukan secara acak, tetapi memetakan hasil eksperimen yang acak ke bilangan real secara terdefinisi dengan baik. Variabel acak dikelompokkan menjadi dua, yaitu : Variabel acak diskrit, adalah v.a. yang nilai numeriknya berupa hasil hitungan. Variabel acak kontinu, adalah v.a. yang nilai numeriknya berupa hasil pengukuran.

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK KONTINU Distribusiprobabilitasvariabelacakkontinudinyatakandenganfungsi f(x) yang disebutsebagaifungsikepadatan (density). Syarat yang harusdipenuhi : 𝑓 𝑥 ≥ 0 −∞ ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 FUNGSI PROBABILITAS BERSAMA FungsiProbabilitasBersamaadalahfungsidistribusiprobabilitas yang melibatkanlebihdarisatuvariabelacak. Misalnyauntukvariabelacakdiskrit X dan Y makafungsiprobabilitasbersamanyaadalah : P(X=x,Y=y) = p(x,y)

GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA Contoh 01: Misalkan sebuah koin dengan dua sisi yaitu sisi gambar (G) dan sisi angka (A) dilemparkan sebanyak tiga kali berturut-turut. Hasil-hasil yang mungkin terjadi adalah : GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA Misalkan X adalah jumlah sisi gambar yang muncul. Nilai X yang mungkin terjadi adalah : 0, 1, 2, 3 X = 0, berarti tidak ada sisi G yang muncul. X = 1, berarti sisi G muncul satu kali. X = 2, berarti sisi G muncul dua kali. X = 3, berarti sisi G muncul tiga kali. X disebut variabel acak (random) Distribusi Probabilitas Teoritis Dari contoh 1 diatas, bisa dibuat tabel distribusi probabilitas Teoritis dan diagram batang untuk variabel acak X sebagai berikut : X P(X) 1/8 = 0,125 1 3/8 = 0,375 2 3 Jumlah

Misalkan X adalah jumlah sisi gambar (G) yang muncul. Contoh 02 : Misalkan sebuah koin dengan dua sisi yaitu sisi gambar (G) dan sisi angka (A) dilemparkan sebanyak 4 kali berturut-turut. Hasil-hasil yang mungkin terjadi adalah : Misalkan X adalah jumlah sisi gambar (G) yang muncul. Nilai X yang mungkin terjadi adalah : 0, 1, 2, 3, 4 1 2 3 4 AAAA GAAA GGAA GGGA GGGG AGAA AGGA AGGG AAGA AAGG GAGG AAAG GAAG GGAG GAGA AGAG X=1 X=4 X=6

Dari contoh 02 diatas, bisa dibuat tabel distribusi probabilitas Teoritis dan diagram batang untuk variabel acak X sebagai berikut : X P(X) 1/16 = 0,0625 1 4/16 = 0,25 2 6/16 = 0,375 3 4 Jumlah

Distribusi Variabel Random Diskrit Proses Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Geometrik Distribusi Hipergeometrik Proses & Distribusi Poisson Pendekatan untuk Distribusi Binomial

Proses Bernoulli Beberapa distribusi yang dilandasi oleh proses Bernoulli adalah : Distribusi binomial, Distribusi geometrik, dan Distribusi hipergeometrik. (termasuk kategori tersebut adalah distribusi multinomial dan negatif binomial).

Distribusi Binomial Sebuahvariabel random, X, menyatakanjumlahsuksesdarinpercobaan Bernoulli denganpadalahprobabilitassuksesuntuksetiappercobaan, dikatakanmengikutidistribusi (diskrit) probabilitas binomialdengan parameter n (jumlahsukses) danp (probabilitassukses). Selanjutnya, variabel random X disebutvariabel random binomial. Rumus binomial suatu peristiwa: 𝑃 𝑋=𝑥 =𝑏 𝑥;𝑛,𝑝 = 𝐶 𝑟 𝑛 . 𝑝𝑥. 𝑞 𝑛−𝑥 Dimana: x = banyaknya peristiwa sukses n = banyaknya percobaan p = probabilitas peristiwa sukses q = 1 – p = probabilitas peristiwa gagal Rumus binomial kumulatif: 𝑃𝐵𝐾= 𝑥=0 𝑛 𝐶 𝑟 𝑛 𝑝𝑥. 𝑞 𝑛−𝑥 = 𝑥=0 𝑛 𝑃(𝑋=𝑥) = P(X = 0)+ P(X = 1)+ P(X = 2)+ ... + P(X = n)

Contoh 03: Seorang siswa menghadapi 6 pertanyaan pilihan berganda. Setiap pertanyaan memiliki 5 alternatif jawaban. Jika dalam setiap pernyataan mahasiswa menjawab dengan berspekulasi, maka: P(B) = 1/5 dan P(S) = 1 – P(B) = 4/5 Apabila ia menjawab 1 soal yang salah, misalkan susunan jawabannya seperti berikut: B B S B B B P(B B S B B B) = 1 5 . 1 5 . 4 5 . 1 5 . 1 5 . 1 5 = 1 5 5 4 5 1 Untuk kasus diatas, dengan n = 6 dan x = 5 maka: 𝐶 𝑟 𝑛 = 𝑛! 𝑟! 𝑛−𝑟 ! = 6! 5! 6−5 ! = 6×5×4×3×2×1 5×4×3×2×1 1 = 6 susunan, yakni: BBBBBS, BBBSB, BBBSBB, BBSBBB, BSBBBB, SBBBBB Sehingga probabilitas pertanyaan benar (P(5)) dapat dihitung dengan kombinasi susunan dikalikan dengan probabilitas salah satu susunannya: P(5) = 𝐶 5 6 1 5 5 4 5 1 = 0,00154

jumlah sukses x 𝐶 𝑟 𝑛 px q n-x Probabilitas P(x) 1 0,262144 6 0,2 0,32768 0,393216 2 15 0,04 0,4096 0,24576 3 20 0,008 0,512 0,08192 4 0,0016 0,64 0,01536 5 0,00032 0,8 0,001536 0,000064 jumlah 1,0000000

Distribusi Hipergeometrik Distribusi teoritis yang menggunakan variabel diskrit dengan dua kejadian yang berkomplemen, seperti halnya distribusi binomial Perbedaannya dengan distribusi binomial adalah dari cara pengambilan sampel. Pada distribusi binomial pengambilan sampel dengan pengembalian, sedangkan pada distribusi hipergeometrik tidak dengan pengembalian. Rumus umum: P(X=x) = h(x;N,n,k) = 𝐶 𝑥 𝑘 𝐶 𝑛−𝑥 𝑁−𝑘 𝐶 𝑛 𝑁 Dimana: N = ukuran populasi n = ukuran sampel K banyaknya unsur yang sama dalam populasi X = banyaknya peristiwa yang sukses

Contoh 04: Penyelesaian: Sebuah kotak berisi 50 bola, 5 diantaranya pecah. Apabila diambil 4 bola, berapa probabilitas dua diantaranya pecah? Penyelesaian: N = 50; n = 4; k = 5; x = 2 𝐶 2 5 = 5×4× 3 ! (2×1)× 3 ! = 10 ; 𝐶 2 45 = 45×44× 43 ! (2×1)× 43 ! = 990 ; 𝐶 4 50 = 50×49×48×47× 46 ! (4×3×2×1)× 46 ! = 230300 Maka: P(X=2) = 𝐶 2 5 𝐶 4−2 50−5 𝐶 4 50 = (10)(990) (230300) = 0,4289270 Distribusi hipergeometrik dapat diperluas, seperti berikut ini. Jika dari populasi berukuran N terdapat unsur-unsur yang sama, yaitu k1, k2, k3, ... Dan sampel berukuran n terdapat unsur-unsur yang sama pula x1, x2, x3,... Dengan k1 + k2 + k3 + ... =N dan x1 + x2 + x3 + ... = n, maka distribusi hipergeometrik dapat dirumuskan: P(X=x1, x2, ...) = 𝐶 𝑥1 𝑘1 𝐶 𝑥2 𝑘2 𝐶 𝑛 𝑁

Contoh 05: Penyelesaian: Dari penelitian golongan darah mahasiswa pada dala, diketahui dari 10 mahasiswa terdapat 2 mahasiswa bergolongan darah A, 5 bergolongan darah B dan 3 bergolongan darah O. Apabila diambil 5 orang mahasiswa, berapakah yang memiliki golongan darah O? Penyelesaian: N = 10; k1 = 2; k2 = 5 k3 = 3; n = 5 terdiri dari x1 = 2; x2 = 2; x3= 2 Maka: P(X=1,2,2) = 𝐶 𝑥1 𝑘1 𝐶 𝑥2 𝑘2 𝐶 𝑥3 𝑘3 𝐶 𝑛 𝑁 = 𝐶 1 2 𝐶 2 5 𝐶 2 3 𝐶 5 10 = 2 10 3 252 = 0,24 Dari penelitian golongan darah mahasiswa pada suatu universitas, diketahui 10 mahasiswa: 2 bergolongan darah A, 5 bergolongan darah B dan 3 bergolongan darah O. apabila diambil sampel 6 mahasiswa, probabilitas terambil 2 A, 2 B, dan 2 O? 0.285 C106 210

Distribusi Probabilitas Poisson Distribusiprobabilitas Poisson bermanfaatdalampenentuanprobabilitasdarisejumlahkemunculanpadarentangwaktuatauluas/volume tertentu. Variabel random Poisson menghitungkemunculanpada interval waktuyang kontinyu. Fungsidistribusiprobabilitas Poisson : P(x) = 𝜆 𝑥 𝑒 −𝜆 𝑥! ; untuk x = 1, 2, 3, ... dimanaadalah rata-rata distribusi (yang jugamerupakanvariansi) dan eadalahbilanganlogaritmik natural (e=2,71828). Probabilitas terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses poisson dirumuskan: P(x) = 𝑒 −𝜆𝑡 𝜆𝑡 𝑥 𝑥! ; untuk x = 1, 2, 3, ... dimanaadalahtingkat kedatanga per satuan waktu, t adalah banyaknya satuan waktudanx banyaknya kedatangan dalam t satuan waktu

Contoh 06: Penyelesaian: Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 w setiap hari adalah 5 buah jika permintaan lampu mengikuti distribusi poisson, berapa probabilitas untuk penjualan 3 lampu TL dan 1 lampu TL? Penyelesaian: = 5; e-5 = 0,00674 P(X = 3) = 5 3 𝑒 −5 3! = 5×4×(3!)×(0,00674) (3!) = 0,1348 P(X = 1) = 5 1 𝑒 −5 1! = 5×4×3×2×1×(0,00674) (1) = 0,8088 125 5

Contoh 07: Dalam sebuah majalah yang terdiri dari 120 halaman terdapat 80 kata yang salah cetak dan berdistribusi secara acak dalam halaman-halama pada majalah tersebut. Seandainya sebuah halaman majalah tersebut dibuka, maka berapakah probabilitas tidak terjadi salah cetak dan 4 kata yang salah cetak? Penyelesaian: N =80; p = 1 120 = n . P = 80 . 1 120 = 0,67 P(X = 0) = 0,67 0. 𝑒 −0,67 0! = (1)×(0,512) (1) = 0,512 P(X = 4) 0,67 4. 𝑒 −0,67 4! = (0,2,2)×(0,512) (24) = 0,004