PENERAPAN DIFFERENSIASI PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PERSAMAAN GARIS NORMAL KELENGKUNGAN

6.1 Persamaan garis singgung Bentuk umum persamaan garis adalah y = mx + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan Gambar 6.1. f(x + x) f(x) x=dx y dy l1 x x+x x y l Gambar 6.1

Jadi dapat disimpulkan bahwa kemiringan garis yang menyinggung titik (x,y) pada f(x) adalah Jika garis tersebut menyinggung titik P(x1,y1) maka kemiringannya adalah

Contoh 6.1 Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 + x -3 di titik P(2,3) Penyelesaian Kemiringan garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah Persamaan garis : y = mx + n. Karena menyinggung titik P(2,3) maka 3 = 5(2) + n  n = –7. Jadi garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah y = 5x – 7

6.2 Persamaan garis normal Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung. Dari pembahasan terdahulu kita telah mengetahui bahwa dua garis dikatakan saling tegak lurus jika perkalian kemiringan garisnya sama dengan -1; atau dalam bentuk rumus dapat ditulis menjadi, dimana m1 adalah kemiringan garis singgung dan m2 adalah kemiringan garis normalnya.

Contoh 6.2 Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik (1,6) pada kurva y = 3x2 – 2x + 5 Penyelesaian Jadi,

Contoh 6.3 Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik singgung pada t = 2 Penyelesaian Titik singgung untuk t = 2 adalah (–2,12)

Persamaan garis singgung y = 12x + 36 5.3 Kelengkungan (Curvature) Besarnya kelengkungan suatu kurva di titik tertentu dipengaruhi seberapa cepatnya perubahan arah dari kurva di titik tersebut. Jika perubahan arah suatu kurva di titik tertentu terjadi secara berangsur-angsur maka harga kelengkungannya besar. Sebaliknya jika perubahan arah kurva terjadi secara mendadak maka kelengkungannya kecil.

6.3.1 Jari-jari kelengkungan  +  x y Gambar 6.2 Q P C R  S

Pada Gambar 6.2 dapat dilihat bahwa garis normal CP dan CQ berpotongan di titik C. Panjang busur PQ = s. Jika jarak titik P dan titik Q sangan kecil, maka CP = CQ = R dan panjang busur s  0. Telah diketahui bahwa panjang busur suatu lingkaran yang dibatasi oleh sudut  adalah R. Sehingga panjang busur,

s y  Gambar 6.3 x Perhatikan Gambar 6.3 

Jadi jari-jari kelengkungan di titik (x,y) adalah Sedangkan jari-jari kelengkungan di titik (x1 ,y1) adalah

Contoh 6.4 Tentukan jari-jari kelengkungan dari hiperbola xy = 9 di titik (3,3) Penyelesaian

5.3.2 Pusat kelengkungan ( Center of Curvature ) y x P(x,y) k h C L R  x1 Gambar 6.4 5.3.2 Pusat kelengkungan ( Center of Curvature ) Dari Gambar 6.4 didapat LC = R cos  LP = R sin  h = x1 – LP k = y1 + LC (6.7)

Contoh 6.5 Tentukan pusat kelengkungan dari kurva pada contoh 6.4 Penyelesaian Jadi pusat kelengkungan adalah