UKURAN PEMUSATAN Rata-rata (average) : B A B V adalah nilai tunggal yang dianggap dapat mewakili keseluruhan nilai dalam data Nilai rata-rata umumnya cenderung terletak di tengah suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai mempunyai kecenderungan memusat

JENIS RATA-RATA Rata-rata hitung (arithmatic mean) Rata-rata ukur (geometric mean) Rata-rata harmonis (harmonic mean)

Rata-rata Hitung _ X n n Rata-rata sebenarnya (populasi) = 1 N Xi = 1 N ( X1 + X2 + …. + XN ) Rata-rata Perkiraan (sampel) _ X = 1 n Xi = 1 n ( X1 + X2 + …. + Xn )

Rata-rata sebenarnya (populasi) CONTOH: Rata-rata sebenarnya (populasi) Berikut disajikan data penjualan perusahaan selama 10 tahun. X1 = 50 ; X2 = 60 ; X3 = 40 ; X4 = 70 ; X5 = 80 ; X6 = 90 ; X7 = 100 ; X8 = 65 ; X9 = 75 ; X10 = 85. Hitung rata-rata hasil penjualan sebenarnya! Penyelesaian :

Rata-rata Perkiraan (sampel) CONTOH: Rata-rata Perkiraan (sampel) Berikut disajikan data lima sampel penjualan perusahaan selama 10 tahun. X2 = 60 ; X4 = 70 ; X5 = 80 ; X8 = 65 ; X10 = 85. Hitung rata-rata hasil penjualan perkiraan! Penyelesaian :

Rata-rata Hitung Data Berkelompok Apabila data sudah disajikan dalam bentuk tabel frekuensi dimana Xi adalah nilai tengah kelas, misalkan X1 terjadi f1 kali, X2 terjadi f2 kali, dan seterusnya sampai Xk terjadi fk kali, maka rumus rata-rata dari data yang sudah dibuat tabel frekuensinya adalah sebagai berikut:

Rata-rata Hitung Data Berkelompok CONTOH: Rata-rata Hitung Data Berkelompok Berat Badan (kg) Frekuensi (f) 60 – 62 5 63 – 65 18 66 – 68 42 69 – 71 27 72 - 74 8 Hitunglah rata-rata perkiraan berat seorang mahasiswa!

Penyelesaian Rata-rata Hitung Data Berkelompok Berat Badan Xi fi fi Xi 60 - 62 61 5 305 63 – 65 64 18 1.152 66 – 68 67 42 2.814 69 – 71 70 27 1.890 72 - 74 73 8 584 Jumlah ----- 100 6.745 Xi = nilai tengah kelas.

Data Tunggal Data berkelompok MEDIAN Ditulis singkat dengan Med adalah nilai tengah dari data yang ada setelah data tersebut diurutkan Ditulis singkat dengan Med Cara mencari median dibedakan menjadi dua : Data Tunggal Data berkelompok

Median data tunggal n ganjil n genap

Median data tunggal Untuk n ganjil : kalau k adalah suatu bilangan konstan dan n ganjil, maka selalu dapat ditulis n = 2k + 1 atau k = ½(n – 1) Misalnya: n = 7  7 = 2k + 1 2k = 7 – 1 = 6 k = 6/2 = 3 n = 9  9 = 2k + 1 2k = 9 – 1 = 8 k = 8/2 = 4 Kelompok nilai X1, X2, …,Xk-1, Xk, Xk+1, …, Xn   terkecil terbesar Median = Xk+1 atau nilai yang ke (k + 1)

Contoh median data tunggal untuk n ganjil Nilai ujian Linear Programming mahasiswa MDP, masing-masing adalah sebagai berikut : 90, 70, 60, 75, 65, 80, 40, 45, 50. Berapa besarnya nilai Median? Penyelesaian : X1 = 40, X2 = 45, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 65, X6 = 70, X7 = 75, X8 = 80, X9 = 90. 9 = 2k + 1 k = (9 – 1)/2 = 4. Med = Xk+1 = X5 = 65 X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9  Med

Median data tunggal Untuk n genap : kalau k adalah suatu bilangan konstan dan n genap, maka selalu dapat ditulis n = 2k atau k = n/2. Misalnya: n = 8  8 = 2k k = 8/2 = 4 Median = ½(Xk + Xk+1)

Contoh median data tunggal untuk n genap Ada delapan karyawan dan upahnya dalam ribuan rupiah adalah sebagai berikut : 20, 80, 75, 60, 50, 85, 45, 90. Berapakah nilai Mediannya? Penyelesaian : X1 = 20, X2 = 45, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 75, X6 = 80, X7 = 85, X8 = 90. 8 = 2k k = 8/2 = 4. Med = ½(X4 + X5) = ½(60 + 75) = 67,5 Jadi Median upah karyawan = Rp. 67.500,- X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8  Med = ½(X4 + X5)

Median data berkelompok Untuk data yang berkelompok, nilai Median dapat dicari dengan interpolasi yang rumusnya adalah sebagai berikut : Med = di mana: Lo = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat nilai median. n = banyak observasi = jumlah semua frekuensi. (fi)o = jumlah frekuensi dari semua kelas di bawah kelas yang mengandung median (kelas yang mengandung median tak termasuk). fm = frekuensi dari kelas yang mengandung median. c = besarnya kelas interval, jarak antara kelas yang satu dengan lainnya atau besarnya kelas interval yang mengandung median.

Median data berkelompok Secara geometrik Median juga merupakan nilai X dari absis (sumbu horizontal) sesuai dengan jarak tegak lurus yang membagi suatu histogram (seluruh kurva) menjadi dua daerah yang sama luasnya (50% sebelah kiri median, 50% sebelah kanan median). Jadi seluruh observasi seolah –olah dibagi menjadi dua, setengah di sebelah kiri median (yang terdiri dari observasi yang nilainya sama atau lebih kecil dari median) dan setengahnya lagi disebelah kanan median (yang terdiri dari observasi yang nilainya sama atau lebih besar dari median).

Contoh Median Data Berkelompok Upah dari 40 orang karyawan disajikan dalam tabel frekuensi, dimana bentuk tabelnya adalah sebagai berikut: UPAH f 118 – 126 3 127 – 135 5 136 – 144 9 145 – 153 12 154 – 162 163 – 171 4 172 – 180 2 Jumlah 40 Hitunglah nilai Mediannya!

Contoh Median Data Berkelompok lanjutan Contoh Median Data Berkelompok Upah dianggap sebagai bilangan –bilangan yang didistribusikan secara kontinu. Dalam hal ini, median merupakan upah yang mempunyai ciri/sifat sedemikian rupa sehingga setengah atau 50% dari observasi (jumlah frekuensi), yaitu 40/2 = 20 observasi, terletak dibawah median dan setengah lainnya di atas median tersebut. Jumlah tiga frekuensi pertama f1 + f2 + f3 = 3 + 5 + 9 = 17 obsevasi belum sampai 20, atau belum ada setengahnya. Untuk mencapai 20 observasi diperlukan tiga observasi dari kelas keempat yang frekuensinya = f4 = 12. Jadi median terletak dalam kelas keempat.

Contoh Median Data Berkelompok lanjutan Contoh Median Data Berkelompok Karena kelas interval yang keempat, yaitu 145 – 153, sama dengan (setelah memperhitungkan bahwa upah merupakan data kontinu). Lo = 145 – 0,5 = 144,5 (nilai batas kelas bawah, setelah diadakan koreksi kontinuitas). n/2 = 40/2 = 20 (fi)o = f1 + f2 + f3 = 17. fm = 12 C = 153 – 144 = 9 (Jarak antara suatu kelas dengan kelas berikutnya, baik diukur dengan nilai atas bawah atau batas atas).

Contoh Median Data Berkelompok lanjutan Contoh Median Data Berkelompok Med =

Modus ( Mode ) Sering disingkat dengan Mod adalah nilai yang paling sering muncul di dalam suatu kelompok data. Sering disingkat dengan Mod Suatu distribusi mungkin tidak mempunyai Mod atau Mungkin mempunyai dua Mod atau lebih. Distribusi Disebut Unimodal, kalau mempunyai satu Mod, Bimodal, kalau mempunyai dua Mod, atau Multimodal, kalau mempunyai lebih dari dua Mod.

modus data tunggal Adalah data yang sering muncul atau data dengan frekuensi tertinggi.

Contoh Modus Data Tunggal Dari data berikut, apakah ada Mod-nya? Kalau ada tentukan nilainya. a). 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18. b). 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16. c). 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9.

Contoh Modus Data Tunggal Lanjutan Contoh Modus Data Tunggal Penyelesaian : a). Langkah pertama, susunlah tabel frekuensinya: X f 2 5 7 9 10 11 12 18 1 3 Mod Jadi Mod = 9, sebab nilai obeservasi ini yang paling banyak atau mempunyai frekuensi terbesar.

Contoh Modus Data Tunggal Lanjutan Contoh Modus Data Tunggal Penyelesaian : b). Langkah pertama, susunlah tabel frekuensinya: X f 3 5 8 10 12 15 16 1 Karena semua nilai mempunyai frekuensi yang sama, maka distribusi ini tidak mempunyai Mod.

Contoh Modus Data Tunggal Lanjutan Contoh Modus Data Tunggal Penyelesaian : c). Langkah pertama, susunlah tabel frekuensinya: X f 2 3 4 5 7 9 1 Mod 1 Mod 2 Oleh karena terdapat dua nilai observasi yang mempunyai frekuensi terbanyak, maka distribusi memiliki dua Mod, yaitu 4 dan 7.

Modus data berkelompok Apabila data sudah dikelompokkan dan disajikan dalam tabel frekuensi, maka dalam mencari modusnya harus di pergunakan rumus berikut ini. Mod = di mana: Lo = nilai batas bawah, kelas yang memuat modus. (f1)o = selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sebelumnya (bawahnya). (f2)o = Selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sesudahnya (atasnya). c = besarnya kelas interval, jarak antara kelas yang satu dengan lainnya atau besarnya kelas interval yang memuat modus.

Contoh Modus Data Kelompok Dari data yang disajikan dalam tabel frekuensi berikut ini, carilah modusnya! Kelas f 50,00 – 59,99 8 60,00 – 69,99 10 70,00 – 79,99 16 80,00 – 89,99 14 90,00 – 99,99 100,00 – 109,99 5 110,00 – 119,99 2 Jumlah 65 Kelas yang berisi modus

Contoh Modus Data Kelompok Lanjutan Contoh Modus Data Kelompok Penyelesaian : Data ini ketelitiannya tiga desimal, sehingga. Lo = 70,00 – 0,005 = 69,995. (f1)o = 16 – 10 = 6 (f2)o = 16 – 14 = 2 c = 70,00 – 60,00 = 10. Jadi nilai modus = 77,50

Rata-rata Ukur Jika perbandingan setiap dua data berurutan adalah tetap atau Hampir tetap maka rata-rata ukur lebih baik digunakan daripada rata-rata hitung. Jika seperangkat data adalah X1, X2, X3, …., Xn maka rata-rata ukurnya dirumuskan :

Contoh hitungan Rata-rata Ukur Cari rata-rata ukur dari data dibawah ini: X1 = 2, X2 = 4, X3 = 8. Penyelesaian : Atau dapat dihitung dengan :

Rata-rata Harmonis Data Tunggal Data berkelompok Rata-rata harmonis dari n angka, X1, X2, ….., Xn adalah nilai yang diperoleh dengan jalan membagi n dengan jumlah kebalikan dari masing-masing X tersebut diatas. Rumusnya adalah sebagaia berikut. Rata-rata Harmonis Data Tunggal Data berkelompok

Contoh Rata-rata Harmonis Seorang pedagang batik di Tegal memperoleh hasil penjualan sebesr Rp. 100.000 peer minggu dengan rincian, sebagai berikut : Minggu Pertama : dapat menjual 10 helai seharga Rp. 10.000/helai. Minggu kedua : dapat menjual 25 helai seharga Rp. 4.000/helai. Minggu ketiga : dapat menjual 20 helai seharga 5.000/helai. Minggu keempat : dapat menjual 40 helai seharga Rp. 2.500/helai. Berapa harga rata-rata kain tersebut per helai?

Contoh Rata-rata Harmonis Penyelesaian : Untuk menghitung rata-rata harga batik per helai di pergunakan rumus rata-rata harmonis sebagai berikut: Jadi harga rata-rata batik per helai adalah Rp. 4.210,53

Kuartil ( Q ) Desil ( D ) Persentil ( P ) Fraktil Adalah nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi beberapa bagian yang sama Kuartil ( Q ) Desil ( D ) Persentil ( P ) Fraktil

data tak berkelompok Fraktil i = 1,2,3 Qi = nilai yang ke Di = nilai yang ke i = 1,2,…9 i = 1,2, …99 Pi = nilai yang ke Fraktil

Data berkelompok Kuartil

Data berkelompok Desil

Data berkelompok Persentil