Memecahkan Relasi Recurrence Relasi recurrence linear homogen Relasi recurrence linear tak homogen

Relasi recurrence linear homogen berderajat k dengan koefisien konstan Bentuk umum: an = c1 an-1 + c2 an-2 + … + ck an-k, dengan c1, c2, …, ck bilangan real dan ck  0. Contoh. 1. Pn = (1.12)Pn-1 2. fn = fn-1 + fn-2 3. Hn = 2Hn-1 + 1 4. an = an-1 + (an-2)2 5. Tn = nTn-2 homogen linear berderajat 1 homogen linear berderajat 2 linear tapi tak homogen tak linear koefisien tak konstan Hanya mengkaji relasi linear dengan koefisien konstan!

an = c1 an-1 + c2 an-2 + … + ck an-k Mencari solusi Langkah dasar dalam memecahkan relasi recurrence homogen linear adalah mencari solusi dalam bentuk an = rn dengan r konstan. an = rn adalah solusi dari an = c1 an-1 + c2 an-2 + … + ck an-k jika dan hanya jika rn = c1 rn-1 +c2 rn-2 + … + ck rn-k. Bila kedua ruas dibagi dengan rn-k diperoleh: rk - c1 rk-1 - c2 rk-2 - … - ck-1 r - ck = 0. Persamaan ini disebut persamaan karakteristik dari relasi recurrence. Solusi dari persamaan ini disebut akar karakteristik.

Solusi relasi recurrence homogen orde 2 dengan akar berbeda Teorema 1 Misalkan c1, c2 bilangan real dan r2 - c1r - c2 = 0 mempunyai dua akar berbeda r1 dan r2. Maka semua solusi dari relasi recurrence an = c1 an-1 + c2 an-2 berbentuk an = 1r1n + 2r2n, n=0,1,2,… dengan 1 dan 2 konstan. Bukti. Lihat di buku!

Contoh (1) Carilah solusi dari an = an-1 + 2an-2 dengan a0 = 2 dan a1 =7. Solusi. Persamaan karakteristiknya r2 - r - 2 = 0, mempunyai akar r = 2 dan r = -1. Menurut Teorema 1, solusi relasi recurrence berbentuk an= 1 2n + 2 (-1)n . Karena a0= 2 dan a1= 7, diperoleh an = 32n - (-1)n .

Soal (1) Tentukan formula eksplisit dari bilangan Fibonacci. Ingat bahwa bilangan Fibonacci fn memenuhi relasi fn = fn-1 + fn-2 dan kondisi awal f0=1, f1=1

Solusi relasi recurrence homogen orde 2 dengan akar tunggal Teorema 2 Misalkan c1, c2 bilangan real dengan c2  0 dan r2 - c1r - c2 = 0 mempunyai hanya satu akar r0. Maka semua solusi dari relasi recurrence an = c1 an-1 + c2 an-2 berbentuk an = 1 r0n + 2 nr0n, n=0,1,2,… dengan 1 dan 2 konstan. Bukti. Latihan!

Soal (2) Tentukan solusi dari relasi recurrence an = 6an-1- 9an-2 dengan kondisi awal a0 = 1 dan a1 = 6.

Solusi relasi recurrence homogen orde n dengan akar berbeda Teorema 3 Misalkan c1, c2, …, ck bilangan real dan persamaan karakteristik rk - c1 rk-1 - c2 rk-2 - … - ck-1 r - ck = 0 mempunyai k akar r1, r2, …, rk yang berbeda. Maka, solusi relasi recurrence an = c1an-1 + c2an-2 + … + ckan-k selalu berbentuk an = 1r1n + 2r2n + … + krkn , n=0,1,2,… dengan i , i=0,1,…,k konstan.

Contoh (2) Tentukan solusi dari relasi recurrence an = 6an-1 – 11an-2 + 6an-3 dengan kondisi awal a0=2, a1=5 dan a2=15. Solusi. Persamaan karakteristiknya r3 - 6r2 + 11r - 6 = 0. Jadi akar-akarnya r=1, r=2 dan r=3. Dengan demikian, solusinya berbentuk an = 11n + 22n + k3n . Dari kondisi awalnya diperoleh an = 1 - 2n + 2  3n .

Solusi relasi recurrence homogen orde 2 Teorema 4 Misal c1, c2, …, ck bilangan real dan persamaan karakteristik rk - c1 rk-1 - c2 rk-2 - … - ck-1 r - ck = 0 mempunyai t akar r1, r2, … , rt berbeda dengan multiplisitas m1, m2, … , mt (m1+ m2 + … + mt = k). Maka solusi relasi recurrence an = c1 an-1 + c2 an-2 + … + ck an-k selalu berbentuk an = (1,0 + 1,1n + … + 1,m1-1 nm1-1)r1n + (2,0 + 2,1n + … + 2,m2-1 nm2-1)r2n + … + (t,0 + t,1n + … + t,mt-1 nmt-1)rtn

an = 1,0 (-1)n + 1,1 n (-1)n + 1,2 n2 (-1)n . Contoh (3) Tentukan solusi dari relasi recurrence an = -3an-1 - 3an-2 - an-3 dengan kondisi awal a0 = 1, a1 = -2 dan a2 = -1. Solusi. Persamaan karakteristiknya r3 + 3r2 + 3r +1 = 0. Jadi akarnya r = -1 dgn multiplisitas 3. Dengan demikian, solusinya berbentuk an = 1,0 (-1)n + 1,1 n (-1)n + 1,2 n2 (-1)n . Dengan memandang kondisi awalnya diperoleh an = (1 +3n-2n2) (-1)n.

Relasi recurrence tak homogen linear dengan koefisien konstan Contoh. an = 3an-2 + 5n Secara umum, an = c1 an-1 + c2 an-2 + … + ck an-k + F(n) dengan ci , i=0,1,2,… konstan dan F(n) fungsi tak nol. an = c1an-1+c2an-2+ … + ck an-k disebut relasi recurrence homogen yang berkaitan. Contoh. an = an-1 + 2n an = an-1 + an-2 + an-3 + n!

Teorema 5 Jika {an(p)} adalah solusi khusus dari relasi recurrence tak homogen linear dengan koefisien konstan an = c1an-1 + c2an-2 + … + ckan-k + F(n) maka setiap solusi berbentuk {an(p) + an(h)}, dengan {an(h)} solusi relasi recurrence homogen yang berkaitan an = c1an-1 + c2an-2 + … + ckan-k.

pn = cn + d, dengan c dan d konstan Contoh (4) Tentukan semua solusi dari relasi recurrence an = 3an-1 + 2n. Solusi. Karena F(n) = 2n adalah polinom berderajat satu, maka kita coba polinom berderajat satu pn = cn + d, dengan c dan d konstan untuk mendapatkan solusi khusus. Didapat, pn = 3pn-1 + 2n cn+d = 3(c(n-1)+d) + 2n (-2c-2)n + (3c-2d) = 0 Sehingga c = -1 dan d = -3/2. Jadi, solusi khususnya an(p) = -n - 3/2.

an = an(p) + an(h) = -n - 3/2 + 3n. Contoh (5) Solusi homogen dari relasi homogen yang berkaitan, an = 3an-1 adalah an(h) = 3n, dengan  konstan. Menurut Teorema 5, solusi umum dari an = 3an-1 + 2n adalah an = an(p) + an(h) = -n - 3/2 + 3n. Jika diketahui a1 = 3, maka solusi menjadi an = -n - 3/2 + (11/6) 3n.

Contoh (6) Tentukan semua solusi dari relasi recurrence: an = 5an-1 - 6an-2 + 7n. Solusi. Solusi homogennya adalah an(h) = 13n + 22n. Karena F(n) = 7n, solusi khusus yg perlu dicoba adalah an(p) = c 7n. Maka, c 7n = 5c 7n-1 – 6c 7n-2 + 7n. Diperoleh c = 49/20. Jadi, solusi umumnya: an = 13n + 22n + 49/20 7n.

Teorema 6 Misalkan {an} memenuhi relasi recurrence tak homogen linear an = c1an-1 + c2an-2 + … + ckan-k + F(n) dengan ci , i=1,2,…,k bilangan real dan F(n) = (btnt + bt-1nt-1 + … + b1n + b0) sn dengan bi , i=0,1,…,t dan s bilangan real. Jika s bukan akar dari persamaan karakteristik relasi recurrence homogen yang berkaitan, maka terdapat solusi khusus yang berbentuk (ptnt + pt-1nt-1 + … + p1n + p0) sn Jika s akar dari persamaan karakteristik dengan multiplisitas m, maka terdapat solusi khusus yang berbentuk F(n) = nm (ptnt + pt-1nt-1 + … + p1n + p0) sn

Contoh (7) Carilah solusi khusus dari relasi recurrence an = 6an-1 - 9an-2 + F(n) bila F(n) = 3n, F(n) = n 3n, F(n) = n2 2n, dan F(n) = (n2+1) 3n Solusi. Solusi homogennya adalah an(h) = 13n + 2n3n. Dan solusi khususnya adalah an(p) = p0 n2 3n. an(p) = n2 (p1n+p0)3n. an(p) = (p2n2+p1n+p0)2n. an(p) = n2(p2n2+p1n+p0)3n.

Contoh (8) – Menara Hanoi Tentukan solusi dari relasi recurrence Hn = 2Hn-1 + 1, H1 = 1, dan H2 = 3 Solusi. Relasi homogen yang berkaitan adalah Hn = 2Hn-1 dan solusi homogennya Hn(h) =  2n. Karena F(n) = 1 = 1n, maka solusi khususnya adalah Hn(p) = p0 1n = p0. Sehingga solusi umumnya adalah Hn =  2n + p0 Dengan memandang H1 = 1 dan H2 = 3 diperoleh =1 dan p0= -1. Jadi, Hn = 2n - 1

Soal (3) Ada berapa cara untuk menutup suatu papan persegi panjang berukuran 2 x n dengan menggunakan papan-papan kecil yang berukuran 1 x 2 dan 2 x 2. Misalkan an adalah jumlah n bilangan bulat positif pertama. Berikan formula eksplisit dari an.