BAB VII RUANG VEKTOR UMUM

7.1 Ruang Vektor Real Misal V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek- objek sembarang dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Jika aksioma berikut dipenuhi oleh u, v, w pada V dan semua skalar k dan l, maka V disebut ruang vektor dan objek-objek pada V disebut vektor. Jika u dan v adalah objek-objek pada V, maka v + u berada pada V. 2. u + v = v + u 3. u + (v + w) = (u + v) + w

Di dalam V trdapat suatu objek 0, yang disebut vektor 0 untuk V, sedemikian rupa, sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u pada V. Untuk setiap u pada V, terdapat suatu objek –u pada V, yang disebut sebagai negatif dari u, sedemikian rupa sehingga u + (–u ) = –u + u = 0 Jika k adalah skalar sembarang dan u adalah objek sembarang pada V, maka ku terdapat pada V. 7. k(u + v) = ku + kv (k + l)u = ku + lu 9. k(lu) = (kl)(u) 10. 1u = u

Contoh 7.1 Tunjukkan bahwa himpunan V dari semua matriks 2 x 2 dengan entri-entri real adalah suatu ruang vektor jika penjumlahan vektor didefinisikan sebagai penjumlahan matriks dan perkalian skalar vektor didefinisikan sebagai perkalian skalar matriks. Penyelesaian Aksioma 1 u + v adalah matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 1).

Aksioma 2 u + v = v + u adalah matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 2). Aksioma 3 u + (v + w) = (u + v) + w adalah matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 3).

Aksioma 4 u + 0 = u dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 4). Aksioma 5

u + (–u) = (–u ) + u dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 5). Aksioma 6 ku merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 6).

Aksioma 7 k(u+v) = ku + kv dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 7).

Aksioma 8 (k+l) u = ku + lu dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 8). Aksioma 9 (k+l) u = ku + lu dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 9).

Aksioma 10 1u = u dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 10).

7.2 Sub-ruang vektor Jika W adalah semua himpunan yang terdiri dari satu atau lebih vektor dari suatu ruang vektor V , maka W adalah suatu sub-ruang dari V, jika dan hanya jika syarat-syarat berikut terpenuhi. 1. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W , maka u + v berada pada W. 2. Jika k adalah skalar sembarang dan u adalah vektor sembarang pada W, maka ku berada pada W.

Contoh 7.2 Diketahui W adalah himpunan titik–titik di bidang dengan ordinat 0 dengan operasi standar R2, tunjukkan bahwa W merupakan sub–ruang dari R2! Penyelesaian Akan ditunjukkan bahwa W memenuhi dua syarat sub–ruang vektor , yaitu : 1. W = {x,0} untuk sembarang nilai x, x ∈ R Misalkan a = (x1, 0) dan b = (x2, 0) dengan x1, x2 ∈ R, maka a, b ∈ W a + b = (x1 + x2, 0 ) dengan x1 + x2 ∈ R. Jadi a + b ∈ R Syarat ke–1 terpenuhi.

Untuk skalar k , maka k a = ( kx1, 0 ) dengan kx1 ∈ R, jadi k a ∈ R Jadi syarat ke–2 terpenuhi Karena kedua syarat terpenuhi, maka W merupakan sub–ruang R2

Merentang (Spanning) Misal v1, v2, …, vr, adalah vektor-vektor pada suatu ruang vektor V. Himpunan {v1, v2, …, vr} dikatakan merentang V Jika setiap vektor sembarang pada V merupakan kombinasi Linier dari v1, v2, …, vr . Ditulis Span {v1, v2, …, vr} = V Contoh 7.3 Periksa, apakah himpunan V = {(1, 2), (1, 3)} merentang ruang vektor R2 Penyelesaian Ambil sembarang vektor b = (b1, b2) pada R2 Syarata agar V merentang ruang vektor R2 adalah k1 v1 + k2 v2 = b

k1 (1, 2) + k2 (1, 3) = (b1, b2) k1 + k2 = b1 2k1 + 3k2 = b2 Latihan Tentukan, apakah vektor-vektor berikut merentang R3 a) (2, 2, 2), (0, 0, 3), (0, 1, 1) b) (2, –1, 3), (4, 1, 2), (8, –1, 8)

7.3 Kebebasan Linier Jika S = {v1, v2, …, vr} adalah himpunan takkosong vektor-vektor, maka persamaan vektor, k1v1 + k2v2 + … + krvr = 0 memiliki paling tidak satu solusi, yaitu k1 = 0, k2 = 0, …, kr = 0 Jika solusi tersebut merupakan satu-satunya solusi, maka S disebut sebagai himpunan bebas linier (linearly independent) Jika terdapat solusi lain, maka S disebut sebagai himpunan tidak bebeas linier (linearly dependent)

Contoh 7.3 Tentukan apakah vektor-vektor: v1 = (2, –1, 0, 3), v2 = (1, 2, 5, –1), v3 = (7, –1, 5, 8), membentuk suatu himpunan bebas linier atau tak-bebas linier Penyelesaian k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 k1 (2, –1, 0, 3) + k2 (1, 2, 5, –1) + k3 (7, –1, 5, 8) = (0, 0, 0) 2k1 + k2 + 7k3 = 0 – k1 + 2k2 – k3 = 0 0k1 + 5k2 + 5k3 = 0 3k1 – k2 + 8k3 = 0

½ R1 R2 + R1 R4 – 3R1 2/5 R2 R3 – 2R2 R4 + R2

k1 + 1/2k2 + 7/2 k3 = 0 k2 + k3 = 0 Tentukan k3 = –t Didapat k2 = t , k1 = 3t Jika t = 1, maka k3 = –1, k2 = 1 , k1 = 3 Sehingga memenuhi 3v1 + v2 – v3 = 0 Himpunan vektor-vektor S = {v1, v2, v3} tidak bebas linier, karena memenuhi 3v1 + v2 – v3 = 0

Latihan Tentukan, apakah vektor-vektor pada R3 berikut bebas linier atau tak bebas linier! a) (4, –1, 2), (–4, 10, 2) b) (–3, 0, 4), (5, –1, 2), ( 1, 1, 3) c) (–1, 0, 1), (3, 2, 5), ( 6, –1, 1), (7, 0, –2)

z z z y y y x x x Interpretasi Geometrik dari kebebasan Linier Kebebasan linier mempunyai sejumlah interpretasi geometrik yang berguna pada R2 dan R3, yaitu: Pada R2 atau R3, suatu himpuan yang terdiri dari dua vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor tsb tdk terletak pada garis yang sama ketika ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya terletak pada titik asal. z y x v1 v2 z y x v1 v2 z y x v1 v2 Tidak bebas linier Tidak bebas linier Bebas linier

2. Pada R3, suatu himpuan yang terdiri dari tiga vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor tsb tidak terletak pada bidang yg sama ketika ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya terletak pada titik asal. Tidak bebas linier z y x v1 v3 v2 Tidak bebas linier z y x v1 v2 v3 Bebas linier z y x v1 v3 v2

Kebebasan Linier dari Fungsi Jika terdapat f1 = f1 (x), f2 = f2 (x), …, fn = fn (x), maka determinan dari, disebut sebagai Wroskians dari f1, f2, …, fn. Jika Wronskians dari f1, f2, …, fn tidak identik dengan nol, Maka fungsi-fungsi f1, f2, …, fn membentuk suatu himpunan bebas linier pada ruang vektor C(n-1) (–, ).