MAT 420 Geometri Analitik LINGKARAN Hidayati Rais,S.Pd

Definisi Lingkaran Lingkaran adalah himpunan titik-titik pada bidang datar yang jaraknya dari suatu titik tertentu sama panjang. Selanjutnya, titik tertentu itu dinamakan titik pusat lingkaran dan jarak yang sama tersebut dinamakan jari-jari lingkaran. 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

Persamaan Lingkaran Dengan Pusat O (0,0) Untuk menentukan persamaan lingkaran, dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r, ambil sembarang titik pada lingkaran, misal titik T (x,y). Seperti pada gambar 1, diperoleh jarak titik T dan titik O adalah, 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

Persamaan Lingkaran Dengan Pusat O (0,0) Perhatikan gambar, 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

Persamaan Lingkaran Dengan Pusat O (0,0) Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di titik O dan berjari-jari r adalah x2 + y2 = r2. Atau dapat ditulis, L = {(x, y) І x2 + y2 = r2 } Untuk dalil persamaan lingkaran pada suatu titik T (x,y) adalah: 1. Jika titik T (x,y) terletak pada lingkaran maka berlaku x2 + y2 = r2 2. Jika titik T(x,y) terletak dalam lingkaran maka berlaku x2 + y2 < r2 3. Jika titik T(x,y) terletak di luar lingkaran maka berlaku x2 + y2 > r2 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

Persamaan Lingkaran Dengan Pusat P (a, b) Dengan cara yang sama kita dapat menentukan persamaan lingkaran dengan pusat titik P(a,b) dan jari-jari r. Perhatikan gambar 2 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

Persamaan Lingkaran Dengan Pusat P (a, b) Kita ambil sebarang titik pada lingkaran, misalnya T(x,y). Jarak titik T dan P adalah Dengan demikian persamaan lingkaran dengan pusat P(a, b) dan berjari-jari r adalah (x – a )2 + (y - b)2 = r2   Dalil suatu titik T(x,y) dikatakan yaitu 1. Jika terletak pada lingkaran maka (x – a )2 + (y - b)2 = r2 2. Jika terletak di dalam lingkaran maka (x – a )2 + (y - b)2 < r2 3. Jika terletak di luar lingkaran maka (x – a )2 + (y - b)2 > r2   10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

Latihan 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O (0,0) dan melalui titik (3,2) 2. Tentukan posisi titik berikut terhadap lingkaran yang diberikan: a. x2 + y2 = 25 melalui titik (-3,4) b. x2 + y2 = 25 melalui titik (3,5) c x2 + y2 = 25 melalui titik (2,4) 3. Diketahui titik A(0,9) dan B(0,1) tentukan persamaan lingkaran P(x,y) sehingga PA = 3PB. 4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (1,4) dan melalui titik (-2,5) 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

3. Persamaan Bentuk Umum Suatu Lingkaran Diketahui persamaan bentuk umum suatu lingkaran dengan titik pusat lingkaran adalah P(-1/2 A, -1/2 B), dan dengan rumus persamaan kuadrat yang dijabarkan dari persamaan: (x – a )2 + (y - b)2 = r2 diperoleh x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Dari persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa titik pusat lingkaran adalah P(-1/2 A, -1/2 B) dan jari-jari lingkaran adalah dengan persamaannya adalah x2 + y2 + Ax + By + C = 0 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

3. Persamaan Bentuk Umum Suatu Lingkaran Contoh 1. Tentukanlah pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 + 8x - 2y = 19 2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik A(3,1) B(-2,6) dan C(-5,-3) dengan menggunakan rumus persamaan lingkaran secara umum. 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

4. Garis Dan Lingkaran a. Persamaan garis singgung bergradien m pada lingkaran berpusat di O(0,0) Misalkan suatu lingkaran L = {(x, y) І x2 + y2 = r2 } dan persamaan garis g ; y = mx + n jika garis memotong suatu lingkaran maka diperoleh persamaan : Sehingga, 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

4. Garis Dan Lingkaran Persamaan di atas memberikan tafsiran geometri berikut; 1. Jika D < 0, maka persamaan garis g tidak memotong lingkaran 2. Jika D > 0, maka terdapat 2 harga x yang berlainan, yang merupakan absisnya kedua titik potong garis g dengan L 3. Jika D = 0, didapat garis singgung lingkaran Diperoleh dua harga x yang sama. kedua titik potongnya berimpit (identik) ini berarti bahwa : Merupakan persamaan garis singgung bergradien m pada lingkaran berpusat di O(0,0) dan berjari-jari r. 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

4. Garis Dan Lingkaran b. Persamaan garis singgung lingkaran yang bergradien m dan berpusat di titik P(a,b). Misalkan suatu lingkaran L: (x – a )2 + (y - b)2 = r2 dan persamaan garisy g; y – y1 = m (x – x1) jika garis memotong suatu lingkaran maka diperoleh persamaan : 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

4. Garis Dan Lingkaran Contoh 1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran berikut : a. x2 + y2 = 9 yang bergradien 2 b. x2 + y2 = 25 yang bergradien 2 2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x + 2)2 + (y - 3)2 = 25 yang bergradien . 10/04/2017

5. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran Sebagai berikut: A. Persamaan garis singgung di titik T(x1,y1) terletak pada lingkaran L = {(x, y) І x2 + y2 = r2 }. Perhatikan gambar 3. 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

5. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Garis singgung di titik T(x1,y1) pada lingkaran Garis P adalah garis singgung Jadi garis AB tegak lurus OT. Misalkan Gradien garis T adalah m, maka persamaan garis T adalah : y – y1 = m (x – x1) Jadi gradien OT = m1, maka m. m1 = -1, sedangkan 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

5. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dengan demikian persamaan garis singgung melalui titik T adalah : Merupakan Persamaan garis singgung T(x1,y1) terletak pada lingkaran L = x2 + y2 = r2 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

5. Persamaan Garis Singgung Lingkaran B. Persamaan garis singgung T(x1,y1) terletak pada lingkaran L: (x – a )2 + (y - b)2 = r2 Garis T adalah garis singgung T(x1,y1) pada lingkaran. Misal: x’ = x – a dan x’1 = x1 – a y’ = y - b dan y’1 = y1 - b Jika dipandang lingkaran pada system koordinat bertitik asal O = Q (a,b) maka garis singgung di T(x1,y1) adalah maka, Jadi persamaan garis singgung T adalah 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

5. Persamaan Garis Singgung Lingkaran C. Persamaan garis singgung T(x1,y1) yang terletak pada lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0 dapat diubah menjadi (x - a )2 + (y - b)2 = r2 maka persamaan garis singgung T(x1,y1) adalah: 10/04/2017 MAT 103 Sejarah Matematika-Romawi

5. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Selanjutnya, adalah persamaan garis singgung, terletak pada lingkaran adalah 10/04/2017 MAT 103 Sejarah Matematika-Romawi

5. Persamaan Garis Singgung Lingkaran D. Garis singgung dititik T(x1,y1) di luar lingkaran Dari suatu titik di luar lingkaran dapat ditarik dua buah garis singgung pada lingkaran. Garis hubung dua titik singgungnya disebut garis kutub (garis polar). 1. Jika titik T(x1, y1) dan lingkaran L : x2 + y2 = r2 maka diperoleh persamaan garis kutub adalah yang tidak terletak pada lingkaran 2. Jika titik T(x1, y1) dan lingkaran L: (x – a )2 + (y - b)2 = r2 maka diperoleh persamaan garis kutub adalah 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

5. Persamaan Garis Singgung Lingkaran 3. Jika titik T(x1, y1) dan lingkaran maka diperoleh persamaan garis kutub adalah ,yang tidak terletak pada lingkaran Dari penjelasan di atas dapat difahami bahwa: 1. Apabila titik T diluar lingkaran, maka garis kutubnya merupakan tali busur singgung 2. Apabila T pada lingkaran, maka garis kutubnya merupakan garis singgung lingkaran di T 3. Apabila T di dalam lingkaran, maka garis kutubnya tidak memotong lingkaran.  10/04/2017 MAT 420 Geometri Analitik

5. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Perhatikan gambar 4, 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

5. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Contoh 1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L: x2 + y2 = 25 di titik (4,-3) 2. Tentukan persaman garis singgung (x + 2)2 + (y - 3)2 = 25 di titik (2,6). 3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik P(5,1) pada lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 . 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

6. Kuasa Titik Sebuah lingkaran dengan pusat T dan jari-jari r dan sebuah titik P. Dari titik P dapat ditarik garis-garis yang memotong lingkaran masing-masing di dua titik seperti tampak pada gambar 5. 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

6. Kuasa Titik Misalkan T(x1,y1) dan persamaan lingkaran adalah x2 + y2 + Ax + By + C = 0 dengan pusat P(-A,- B) dan jari-jarinya adalah Kuasa titik T terhadap lingkaran ini adalah 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

6. Kuasa Titik Jadi kuasa titik T(x1,y1) pada lingkaran adalah Dapat disimpulkan bahwa kuasa suatu titik adalah positif, nol atau negative berturut-turut apabila titik itu diluar, pada atau di dalam lingkaran. 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

6. Kuasa Titik Contoh Tentukan kuasa titik T (1,3) pada lingkaran x2 + y2 - 2x - 4y – 20 = 0. Tentukan pula letak titik T terhadap lingkaran tersebut. 10/04/2017 MAT 420 Geometri analitik

Referensi 1. Rawuh, dkk. 1971. ilmu ukur analitis.Tarate.Bandung 10/04/2017