Assalamualaikum Wr. Wb

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU VARIABEL Oleh: Aziz Lukman Hakim (A. 410 080 108)

Pernyataan Kalimat Terbuka dan Himpunan Penyelesaian Kalimat Terbuka

1. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya (bernilai benar atau salah) Contoh : Jakarta merupakan ibu kota Indonesia ( benar ) 5 > 3 (benar) Matahari terbenam di Timur (salah) 2 + 3 = 7 (salah)

2. Kalimat Terbuka dan Himpunan Penyelesaian Kalimat Terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya. Variabel adalah lambang atau simbol pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sembarang anggota himpunan yang telah ditentukan. Konstanta adalah nilai tetap yang terdapat pada kalimat terbuka. Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar

B. PERSAMAAN LINIER SATU VARIABEL Pengertian Persamaan dan Himpunan Penyelesaian Persamaan Linier Satu Variabel Persamaan linier satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda samadengan (=) dan hanya mempunyai satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linier satu variabel adalah ax + b = 0 dengan a ≠ 0. Himpunan Persamaan linier adalah himpunan semua penyelesaian persamaan linier.

Himpunan Penyelesaian Persamaan Linier Satu Variabel dengan Substitusi Himpunan persamaan linier satu variabel dapat diperoleh dengan cara substitusi, yaitu mengganti variabel dengan bilangan yang sesuai sehingga persamaan tersebut menjadi kalimat yang bernilai benar.

Contoh : 2x – 3 = 5 Variabel pada 2x – 3 = 5 adalah x dan berpangkat 1, sehingga persamaan 2x – 3 = 5 merupakan persamaan linier satu variabel. 2x + 3y = 6 Variabel pada persamaan 2x + 3y = 6 ada dua, yaitu x dan y. Sehingga 2x + 3y = 6 bukan merupakan persamaan linier satu variabel.

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x + 4 = 7, jika x variabel pada himpunan bilangan cacah. Penyelesaian : Bilangan cacah = { 0,1,2,3,4,…} x diganti bilangan cacah, didapat Substitusi x = 0, maka 0 + 4 = 7 (salah) Substitusi x = 1, maka 1 + 4 = 7 (salah) Substitusi x = 2, maka 2 + 4 = 7 (salah) Substitusi x = 3, maka 3 + 4 = 7 (benar) Substitusi x = 4, maka 4 + 4 = 7 (salah) Untuk x = 3, persamaan x + 4 = 7 menjadi kalimat benar. Jadi, himpunan penyelesaian persamaan x + 4 = 7 adalah {3}.

Persamaan-Persamaan yang Ekuivalen Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda “⇔”. Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen dengan cara : Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 4x – 3 = 3x + 5, jika x variabel pada himpunan bilangan bulat. Penyelesaian : 4x – 3 = 3x + 5 ⇔4x – 3 + 3 = 3x + 5 + 3 (kedua ruas ditambah 3) ⇔ 4x = 3x + 8 ⇔ 4x – 3x = 3x – 3x + 8 (kedua ruas dikurangi 3x) ⇔ x = 8 Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 4x – 3 = 3x + 5 adalah x = {8}

Penyelesaian Persamaan Linier Satu Variabel Bentuk Pecahan Dalam menentukan penyelesaian persamaan linier satu variabel bentuk pecahan, caranya hampir sama dengan menyelesaikan operasi bentuk pecahan aljabar. Agar tidak memuat pecahan, kalikan kedua ruas dengan KPK dari penyebut-penyebutnya, kemudian selesaikan persamaan linier satu variabel.

Grafik Himpunan Penyelesaian Persamaan Linier Satu Variabel grafik himpunan penyelesaian persamaan linier satu variabel ditunjukkan pada suatu garis bilangan yaitu berupa noktah (titik).

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 4(2x + 3) = 10x + 8, jika x variabel pada himpunan bilangan bulat. Kemudian, gambarlah pada garis bilangan. Penyelesaian : 4(2x + 3) = 10x + 8 ⇔ 8x + 12 = 10x + 8 ⇔ 8x + 12 – 12 = 10x + 8 – 12 (kedua ruas dikurangi 12) ⇔ 8x = 10x – 4 ⇔ 8x – 10x = 10x – 4 – 10x (kedua ruas dikurangi 10x) ⇔ -2x = -4 ⇔ -2x : (-2) = -4 : (-2) (kedua ruas dibagi -2) ⇔ x = 2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2}. Grafik himpunan penyelesaiannya sebagai berikut.

C. PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU VARIABEL Pengertian Ketidaksamaan suatu ketidaksamaan selalu ditandai dengan salah satu hubungan berikut: “˂” untuk menyatakan kurang dari “>” untuk menyatakan lebih dari “≤” untuk menyatakan tidak lebih dari atau kurang dari atau sama dengan “≥” untuk menyatakan tidak kurang dari atau lebih dari atau sama dengan

Contoh: 3 kurang dari 6 ditulis 3 < 6 9 lebih dari 2 ditulis 9 > 2 x tidak lebih dari 5 ditulis x ≤ 5 Dua kali y tidak kurang dar 10 ditulis 2y ≥ 10

2. Pertidaksamaan Linier Satu Variabel Kalimat terbuka yang menyatakan hubungan ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥ ) disebut pertidaksamaan Pertidaksamaan linier satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyai satu variabel dan berpangkat satu (linier)

Contoh: Dari bentuk-bentuk berikut tentukan yang merupakan pertidaksamaan linier dengan satu variabel a. X - 5 < 7 b. a ≤ 1 - 3b c. x^2 – 3x ≥ 7

Penyelesaian: X – 5 < 7 mempunyai satu variabel yaitu x yang berpangkat 1, sehingga X – 5 < 7 merupakan pertidaksamaan linier satu variabel b. a ≤ 1- 3b pertidaksamaan mempunyai dua variabel yaitu a dan b yang masing-masing berpangkat satu. Jadi a ≤ 1- 3b bukan suatu pertidaksamaan linier satu variabel X^2 – 3x ≥ 7 Karena pertidaksamaan X^2 – 3x ≥ 7 mempunyai variabel x dan x^2, maka X^2 – 3x ≥ 7 bukan merupakan pertidaksamaan linier satu variabel

3. Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu Variabel Perhatikan pertidaksamaan 12 – 2x > 4, dengan x variabel pada himpunan bilangan asli Jika x diganti 1 maka 12 – 2x > 4 <=> 12 – 2 x 1 > 4 <=> 10 > 4 (pernyataan benar) Jika x diganti 2 maka 12 – 2 x > 4 <=> 12 – 2 x 2 > 4 <=> 8 > 4 (pernyataan benar) <=> 12 – 2 x 3 > 4 <=> 6 > 4 (pernyataan benat) <=> 12 – 2 x 4 > 4 <=> 4 > 4 ( pernyataan salah)

Penggantian variabel dari suatu pertidaksamaan, sehingga menjadi pernyataan yang benar disebut penyelesaian dari pertidaksamaan linier satu variabel

4. Pertidaksamaan Linier Satu variabel Bentuk Pecahan Konsep penyelesaian pada persamaan linier satu variabel bentuk pecahan dapat digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier satu variabel bentukpecahan

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan ½x + 3 ≤ 1/5x, dengan x variabel pada { -15, -14,…, 0} Penyelesaian: Cara 1: ½x + 3 ≤ 1/5x 10 (½x + 3) ≤ 1/5x X 10 5x + 30 ≤ 2x 5x + 30 - 30 ≤ 2x – 30 5x ≤ 2x – 30 5x – 2x ≤ 2x – 30 – 2x 3x ≤ 30 3x : 3 ≤ 30 : 3 x ≤ 10 Cara 2: ½x + 3 - 3 ≤ 1/5x – 3 ½x ≤ 1/5x – 3 ½x - 1/5x ≤ 1/5x – 3 - 1/5x 3/10x ≤ -3 10/3 X (3/10x) ≤ -3 X (10/3) X ≤ -10 Jadi himpunan penyelesaian adalah x = {-15, -14, …, 0}

5. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu Variabel Grafik himpunan penyelesaian persamaan linier satu variabel ditunjukan pada suatu garis bilangan, yaitu noktah (titik).

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x – 2 ≤ 5 + 3x , untuk x variabel pada himpunan bilangan asli . Kemudian, gambarlah grafik himpunan penyelesaiaan

Penyelesaian: 4x – 2 ≤ 5 + 3x 4x – 2 + 2 ≤ 5 + 3x + 2 4x ≤ 7 + 3x 4x – 3x ≤ 7+ 3x – 3x x ≤ 7 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 2, 3, …, 7}. Garis bilangan yang menunjukkan himpunan penyelesaiannya sebagai berikut.

D. MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN SOAL CERITA YANG BERKAITAN DENGAN PERSAMAAN LINIER SATU VARIABEL Permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan linier satu variabel biasanya disajikan dalam bentuk soal cerita. Untuk menyelesaikan, buatlah terlebih dahulu model matematika berdasarkan soal cerita tersebut. Kemudian selesaikan

Contoh: Seorang petani mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Lebar tanah tersebut 6 m lebih pendek daripada panjangnya. Jika keliling tanah 60 m. Tentukan luas tanah petani tersebut!

Penyelesaian: Misalkan panjang tanah = x maka lebarnya = x – 6. Model matematika dari soal disamping adalah p = x dan l = x -6, sehingga Kll = 2 (p + I) 60 = 2 (x + x - 6) X - 6 Penyelesaian model matematika diatas sebagai berikut. Kll = 2 (p + I) 60 = 2 (x + x - 6) 60 = 2 (2x - 6) 60 = 4x - 12 72 = 4x 72 : 4 = 4x : 4 x = 18 Luas = p x l = x (x – 6) = 18(18 – 6) =18 x 12 = 216 Jadi, luas tanah petani tersebut adalah 216 m²

Wassalamualaikum wr wb SEKIAN Wassalamualaikum wr wb