Sifat Relasi dan Konsep Fungsi Kelas X SMA Oleh M ZULFIKAR M (1003095)

Kompetensi Inti Mengembangkan perilaku (jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli, santun, ramah lingkungan, gotong royong, kerjasama, cinta damai, responsif dan proaktif) dan menunjukan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan bangsa dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia

Kompetensi Inti Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah

Kompetensi Dasar Memahami daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil suatu relasi antara dua himpunan yang disajikan dalam berbagai bentuk (grafik, himpunan pasangan terurut, atau ekspresi simbolik). Mengidentifikasi relasi yang disajikan dalam berbagai bentuk yang merupakan fungsi.

Indikator Mengidentifikasi sifat-sifat dari suatu relasi. Mengidentifikasi relasi yang disajikan dalam berbagai bentuk yang merupakan fungsi. Menentukan daerah asal atau daerah hasil dari suatu fungsi.

Sifat Relasi Sifat Refleksif Sifat Simetris Sifat Transitif Sifat Antisimetris Sifat Ekuivalensi

Sifat Refleksif Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat Refleksif jika untuk setiap p ∈ P erlaku (p,p) ∈ P Contoh 1 Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Apakah relasi R bersifat Refleksif ? Relasi R bersifat Refleksif sebab setiap anggota himpunan P berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

Contoh 2 Diberikan himpunan C = {2,4,5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = {(a,b)│ a + b < 9,dengan a,b ∈ C}, Apakah relasi R bersifat Refleksif ? Diperoleh R = {(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (5,2)} Relasi R tidak bersifat refleksif sebab ada anggota himpunan C, yaitu 5 tidak berelasi dengan dirinya sendiri atau (5, 5) bukan anggota R

Sifat Simetris Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris jika untuk setiap (x,y) ∈ R berlaku (y,x) ∈ R. Contoh 3 Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R = {(1,1) , (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Apakah relasi R bersifat simetris? Relasi R tersebut bersifat simetris sebab untuk setiap (x,y) ∈ R, berlaku (y,x) ∈ R.

Contoh 4 Diberikan himpunan A = {2, 4, 5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan A dengan R = {(x,y) │ x kelipatan y, x, y ∈ A}, Apakah relasi R bersifat simetris? Diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebut tidak bersifat simetris karena (4,2) anggota R tetapi (2,4) bukan anggota R.

Sifat Transitif Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R bersifat transitif,apabila untuk setiap (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R maka berlaku (x,z) ∈ R Contoh 5 Diberikan himpuan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Apakah relasi R bersifat Transitif? Relasi R tersebut bersifat transitif sebab (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R maka berlaku (x,z) ∈ R.

Contoh 6 Diberikan himpunan C = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R dengan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Apakah relasi R bersifat transitif? Relasi R tidak memenuhi sifat transitif, sebab terdapat (1,2) ∈ R dan (2,3) ∈ R, tetapi (1,3) bukan anggota R.

Sifat Antisimetris Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) ∈ R dan (y,x) ∈ R berlaku x = y. Contoh 7 Diberikan himpunan C = {2, 4, 5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = { (a,b) ∈ a kelipatan b, a,b ∈ C}. Apakah relasi R bersifat antisimetris? diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)} Relasi R tersebut bersifat antisimetris.

Contoh 8 Diberikan S = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan S dengan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Apakah relasi R bersifat antisimetris? Relasi R tidak bersifat antisimetris sebab terdapat (1,2) ∈ R dan (2,1) ∈ R, tetapi 1 ≠ 2.

Sifat Ekuivalensi Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R disebut relasi ekivalensi jika dan hanya jika relasi R memenuhi sifat refleksif, simetris, dan transitif. Contoh 9 Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Apakah relasi R bersifat ekuivalensi? Relasi R tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Oleh karena itu relasi R merupakan relasi ekivalensi.

Perhatikan Relasi Berikut! Konsep Fungsi Perhatikan Relasi Berikut! (1) (2) Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q? Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan Q? Apakah semua anggota himpunan Q memiliki pasangan dengan anggota himpunan P?

Perhatikan Relasi Berikut! (3) (4) Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q? Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan Q? Apakah semua anggota himpunan Q memiliki pasangan dengan anggota himpunan P?

Perhatikan Relasi Berikut! (5) (6) Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q? Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan Q? Apakah semua anggota himpunan Q memiliki pasangan dengan anggota himpunan P?

Relasi 1 Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q. Semua anggota himpunan P memiliki pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan Q. Semua anggota himpunan Q memiliki pasangan dengan anggota himpunan P. Relasi 2 Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q. Semua anggota himpunan P memiliki pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan Q. Ada anggota himpunan Q yang tidak memiliki pasangan dengan anggota himpunan P.

Relasi 3 Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q. Ada anggota himpunan P yang berpasangan dengan dua buah anggota himpunan Q. Semua anggota himpunan Q memiliki pasangan dengan anggota himpunan P. Relasi 4 Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q Semua anggota himpunan P memiliki pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan Q. Ada anggota himpunan Q yang tidak memiliki pasangan dengan anggota himpunan P

Relasi 5 Ada anggota himpunan P yang tidak memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q. Ada anggota himpunan P yang berpasangan dengan semua anggota himpunan Q. Semua anggota himpunan Q memiliki pasangan dengan anggota himpunan P. Relasi 6 Ada anggota himpunan P yang tidak memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q. Ada anggota himpunan Q yang tidak memiliki pasangan dengan anggota himpunan P.. Ada anggota himpunan Q yang tidak memiliki pasangan dengan anggota himpunan P.

Dari 6 relasi diatas. Relasi 1, 2, dan 4 adalah fungsi dari himpunan P ke himpunan Q. Maka syarat relasi mejadi sebuah fungsi adalah: - Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q. - Semua anggota himpunan P memiliki pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan Q.

Konsep Fungsi Definisi Fungsi A dan B himpunan. Fungsi f dari A ke Misalkan B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B. Secara simbolik f : A → B, dibaca: fungsi f memetakan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. f : x → y, dibaca: fungsi f memetakan x ke y, sedemikian sehingga y = f(x). y adalah peta x adalah prapeta dari y

Perhatikan diagram panah dibawah ini : Contoh 10: Perhatikan diagram panah dibawah ini : . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 0 . 2 . 4 . 6 . B A Daerah kawan/ kodomain Daerah asal/ Domain Daerah hasil/ Range

Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa : 1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. 2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 } disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan { 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).

Contoh 11 Diketahui suatu fungsi f : x  x + 2 dengan daerah asal fungsi { x/ 1 < x < 6, x  A} a. Tentukan rumus fungsi ! b. Tentukan daerah asal fungsi ! c . Tentukan daerah hasil fungsi ! d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x !

c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2  f(x) = 2 + 2 = 4 Jawab : a. Rumus fungsi f(x) = x +2 b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 } c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2  f(x) = 2 + 2 = 4 x = 3  f(x) = 3 + 2 = 5 x = 4  f(x) = 4 + 2 = 6 x = 5  f(x) = 5 + 2 = 7 Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 } d. f(x) = 15 x + 2 = 15 x = 15 – 2 x = 13 Jadi nilai x = 13

Contoh 12 Diketahui fungsi f:x→f(x) degan rumus fungsi f(x)=px-q Contoh 12 Diketahui fungsi f:x→f(x) degan rumus fungsi f(x)=px-q. Jika f(1)=-3 dan f(4)=3. Tentukanlah nilai p dan q kemudian tentukanlah rumus fungsinya! Jawab: f(x)=px-q, f(1)=-3, f(4)=3 Jika f(1)=-3 maka f(x)=px-q → -3=p-q…………(1) Jika f(4)=3 maka f(x)=px-q → 3=4p-q…………(2) Persamaan (1) dikurangi persamaan (2), didapat: -6=-3p → p=2 -3=p-q → -3=2-q → -q=-5 → q=5 Maka rumus fungsinya adalah f(x)=2x-5

Contoh 13 Diketahui fungsi dengan rumus Tentukan domain fungsi f agar mempunyai pasangan di himpunan bilangan real. Jawab Domain fungsi f memiliki pasangan dengan anggota himpunan bilangan real apabila: 2x + 6 ≥ 0, 2x ≥ -6 ↔ x ≥ -3.

LATIHAN 1. Diberikan himpunan P={a,b,c,} dan reasi R adalah pasangan berurutan dari A×A. apakah relasi R bersifat refleksif, simetris, transitif, antisimetris atau bahkan ekuivalen? 2. Gambarlah relasi-relasi berikut dengan diagram panah. Kemudian tentukan termasuk fungsi atau bukan fungsi ! a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } b. { (1,1), (2,2), (3,3) } c. { (3,4), (5,6), (7,8) } d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

4. Diketahui fungsi f dengan rumus 3. Fungsi f : x  x + 3 mempunyai domain { -2, -1, 0, 1, 2 } . a. Tunjukkan fungsi f dalam diagram panah . b. Nyatakan dalam himpunan pasangan berurutan . c. Tulis range dari f . 4. Diketahui fungsi f dengan rumus Tentukanlah daerah asal dari sungsi f agar memiliki pasangan di angota himpunan bilangan real

PEMBAHASAN 1.Didapat R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)} Relasi R bersifat refleksif karena setiap anggota himpunan A berpasangan dengan sirinya sendiri Relasi R tersebut bersifat simetris sebab untuk setiap (x,y) ∈ R, berlaku (y,x) ∈ R. Relasi R tersebut bersifat transitif sebab (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R maka berlaku (x,z) ∈ R. Relasi R tidak bersifat antisimetris sebab terdapat (a,b) ∈ R dan (b,a) ∈ R, tetapi a ≠ b. Relasi R bersifat ekuivalen karena memenuhi sifat refelksif, simetri, dan transitif

2a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } bukan fungsi karena ada anggota x yang berpasangan lebih dari satu dengan anggota y . . 2 . 3 . 4 . 5 1 . 2 . 3 . Bukan fungsi y x

2b. { (1,1), (2,2), (3,3) } 1 . 2 . 3 . . 1 . 2 . 3 Fungsi B A

2c. { (3,4), (5,6), (7,8) } . 4 . 6 . 8 3 . 5 . 7 . Fungsi P Q

2d. { (2,3), (3,4), (4,5) } . 3 . 4 . 5 2 . 3 . 4 . Fungsi K L

3b. Himpunan pasangan berurutan { (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) } 3c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3, 4, 5 ) 4. Domain fungsi f memiliki pasangan dengan anggota himpunan bilangan real apabila: (½) x - 8 ≥ 0, x - 16 ≥ 0 ↔ x ≥16

3a. Fungsi f : x  x + 3 , jadi f(x) = x + 3 Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3 = 1 x = -1 maka f(-1) = -1 + 3 = 2 x = 0 maka f(0) = 0 + 3 = 3 x = 1 maka f(1) = 1 + 3 = 4 x = 2 maka f(2) = 2 + 3 = 5 . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 -2 . -1 . 0 . 1 . 2 . x+3 x

TERIMA KASIH