Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola Tim Kalkulus II

Koordinat Kartesius Sistem Koordinat 2 Dimensi Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y

Koordinat Kartesius y x

Koordinat Kartesius Sistem Koordinat 3 Dimensi Sistem Koordinat Kartesian 3 Dimensi, pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat kartesian 2 dimensi, hanya menambahkan satu sumbu lagi yaitu sumbu Z, yang ketiganya saling tegak lurus

Koordinat Kartesius z y x

Koordinat Polar Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya. Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ) dan radius vektor (r) atau (garis OP) yaitu P (r, θ). Sudut vektor (θ) bernilai positif jika mempunyai arah berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan bernilai negatif jika searah dengan putaran jarum jam.

Koordinat Polar O (titik kutub) Sumbu Polar Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.

Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada diposisi: -  derajat dari sumbu-x (sb. polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam) - berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. r: koordinat radial : koordinat sudut

Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar (r, ) = (- r,  + n ), untuk n bil. bulat ganjil = ( r,  + n ), untuk n bil. Bulat genap Contoh: Nyatakan koordinat polar berikut ke dalam bentuk koordinat kartesius. (2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3).

Koordinat Polar r 

Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak. Gunakan relasi: x = r cos  , y = r sin  Maka r2 = x2 + y2, tan  = y/x, jika x  0 Catt. menentukan  Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -/2 <  < /2   = arctan(y/x). Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,  =  + arctan(y/x).

Koordinat Polar Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a Contoh: Untuk lingkaran berjari a, - berpusat di (0,a): r = 2a sin  - berpusat di (a,0): r = 2a cos 

Koordinat Polar Jika a=1, maka r = 2 sin  r = 2 cos 

Konversikan persamaan polar r = 2 sin  kedalam sistem koordinat tegak: Kalikan kedua sisi dengan r: r2 = 2r sin  x2 + y2 = 2y x2 + y2 - 2y = 0 Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1

Titik 3D dalam koordinat tabung Koordinat Polar dalam bidang datar r 

Koordinat tabung hanya dengan menambahkan sumbu-z pada koordinat polar (r,).

Titik 3D dalam koordinat tabung (r,,z)  r  r

Konversi antara koordinat tabung dan koordinat kartesius  r (r,,z)

Titik-titik 3D dalam Koordinat Bola (x,y,z) 

Titik-titik 3D dalam koordinat bola

Titik-titik 3D dalam koordinat bola 

Titik-titik 3D dalam koordinat bola

Titik-titik 3D dalam koordinat bola

Titik-titik 3D dalam koordinat bola Sudut .

Suatu titik dalam koordinat bola ( , ,) 

Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius (x,y,z) r  z 

Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius (x,y,z) r  z 

Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius (x,y,z) r  z 

Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola Integral

Integral: Koordinat Kartesius Riemann Sum dalam triple integral sbb: Untuk menghitung volume balok-balok kecil dengan ukuran panjang . , lebar , dan tinggi

Integral: Koordinat Tabung Bagaimana dengan ukuran-ukuran dalam koordinat tabung r, q, and z? Dengan menganggap kasus 2D dalam koordinat polar  r

Integral: Koordinat Tabung Dengan ekspansi jari-jari ukuran kecil r r r+Dr

Integral: Koordinat Tabung Jari-jari tabung bagian dalam r dan jari-jari bagian luar r+D r. r r+Dr r r+Dr

Integral: Koordinat Tabung Sudut q. Ada penambahan sudut sebesar Dq.  Dq 

Integral: Koordinat Tabung Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut  

Integral: Koordinat Tabung Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut 

Integral: Koordinat Tabung Dengan penambahan D z .

Integral dalam Koordinat Tabung Untuk mencari volume benda padat

Integral dalam Koordinat Tabung Maka . . .

Soal 1. Hitunglah dimana S tetrahedron dengan titik-titik sudut (0,0,0), (3,2,0), (0,3,0), dan (0,0,2).

Soal 2. Diketahui persamaan dalam koordinat tabung: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius & gambarkan

Soal 3. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat tabung & gambarkan

Soal 4. Diketahui persamaan dalam koordinat bola: a. b. c. Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius & gambarkan

Soal 5. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat bola& gambarkan