Bahan Ajar MATEMATIKA “Bersungguh-sungguhlah dlm mencari ilmu”

MATEMATIKA SMA KELAS X semester 2 MATERI POKOK LOGIKA SMA NEGERI 3 TEMANGGUNG

LOGIKA KALIMAT PERNYATAAN, NILAI KEBENARAN, DAN KALIMAT TERBUKA SKEMA SEDERHANA KALIMAT KALIMAT DEKLARATIF MENERANGKAN SESUATU KALIMAT BUKAN DEKLARATIF TAK MENERANGKAN SESUATU KALIMAT TERBUKA MEMUAT VARIABEL PERNYATAAN BUKAN PERNYATAAN JIKA DIGANTI VARIABEL DENGAN KONSTANTA NILAI KEBENARAN DATA EMPIRIK/ FAKTA BENAR SALAH DATA TAK EMPIRIK/ PEMBUKTIAN

TENTUKAN MANAKAH YANG MERUPAKAN PERNYATAAN BUKAN PERNYATAAN DAN SKEMA 2 TENTUKAN MANAKAH YANG MERUPAKAN PERNYATAAN BUKAN PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA ( pernyataan (s) ) kalimat deklaratif 111 habis dibagi 3 : 3 merupakan bilangan ganjil : ( pernyataan (b) ) kalimat deklaratif ( bukan pernyataan ) kalimat bukan deklaratif Tutuplah pintu itu : ( bukan pernyataan ) kalimat deklaratif Letak SMA N 3 Tmg. jauh : Nasi soto tenda biru enak : ( bukan pernyataan ) kalimat deklaratif ( pernyataan (s) kalimat deklaratif Akar persamaan x2 –x+8= 0.adalah bilangan real. :

x+6= 8 : X є a : ( Kalmat tebuka ) LANJUTAN x+6= 8 : X є a : ( Kalmat tebuka ) akan menjadi pernyataan benar jika x = 2 ingat : x+6 = 8 X є a x = 8 – 6 x = 2 sehingga jika x = 2 disubstitusikan : (2) + 6 = 8 ( B ) akan menjadi Pernyataan salah jika x ≠ 2 sehingga jika x = 3 disubstitusikan : (3) + 6 = 8 ( S )

Skema 3 LATIHAN TENTUKAN KALIMAT KALIMAT BERIKUT YANG MERUPAKAN PERNYATAAN, BUKAN PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA JUMLAH DUA BILANGAN GANJIL MERUPAKAN BILANGAN GENAP SUNGAI AMAZON TERLETAK DI BENUA AFRIKA 4 X (6+5) = 4 X 6 + 4 X 5 BIARLAH REFORMASI TETAP BERJALAN APAKAH DUA GARIS SEJAJAR TIDAK BERPOTONGAN ? X2 – X – 2 = 0 3X ≤ - 3

INGKARAN , DISJUNGSI, KONJUNGSI, IMPLIKASI DAN BI IMPLIKASI SKEMA 4 INGKARAN , DISJUNGSI, KONJUNGSI, IMPLIKASI DAN BI IMPLIKASI INGKARAN / NEGASI INGKARAN DAN PERNYATAAN p ADALAH ATAU ~ P ; TABEL KEBENARANNYA p ~p B S CONTOH (1) INGKARAN DARI “BAJU ITU BERWARNA MERAH” ADALAH “BAJU ITU TIDAK BERWARNA MERAH” NEGASI DARI “4 + 5 = 10 “ADALAH 4 + 5 ≠ 10

SKEMA 5 DISJUNGSI DISJUNGSI DARI P DAN q ADALAH “ p ٧ q “ DIBACA P ATAU q TABEL KEBENARAN DISJUNGSI KESIMPULAN P ٧ q HANYA AKAN SALAH JIKA P DAN Q KEDUANYA SALAH p q pv q B S CONTOH : TENTUKAN NILAI KEBENARAN DARI JAKARTA ADA DI INDONESIA ATAU 2+2 = 4 JAWAB :MISAL: P: “ JAKARTA ADA DI INDONESIA (B) atau q : “ 2+2=4 (B) SEHINGGA p ٧ q BERNILAI BENAR.

P Q b. 3 -1 = 1 atau 2 + 1 = 4 Jawab : misal :p : 3 – 1 = 1 : (s) Lanjutan Contoh b. 3 -1 = 1 atau 2 + 1 = 4 Jawab : misal :p : 3 – 1 = 1 : (s) q : 2 + 1 = 4 : (s) sehingga p ٧ q bernilai salah APLIKASI DISJUNGSI Jadi disjungsi pada kejadian sehari – hari atauseperti pada jaringan listrik ( switching) P Q Hubungan paralel “ P ٧ q “

SKEMA 6 KONJUNGSI Konjungsi dari p dan q adalah pΛq atau dibaca p dan q.Tabel kebenaran konjungsi. P Q P ۸ q B S KESIMPULAN Konjungsi “p۸q” Harga benar jika keduanya dari P DAN Q bernilai benar CONTOH : TENTUKAN NILAI KEBENARAN DARI 5 x 2 = 10 dan 20 adalah bilangan genap JAWAB P : 5 x 2 = 10 : (B) Q : 20 ADALAH BILANGAN GENAP : (B) JADI P۸Q BERNILAI BENAR M B S

SEHINGGA P ۸ q BERNILAI SALAH Lanjutan Contoh b. 3 -1 = 1 atau 2 + 1 = 4 Jawab : misal p : 3 – 1 = 1 : (s) q : 2 + 1 = 4 : (s) SEHINGGA P ۸ q BERNILAI SALAH KONSEP DASAR KONJUNGSI PENERAPAN pada jaringan listrik ( switching) P Q SUSUNAN SERI “P۸Q”

Agar p(x) v q bernilai benar maka SKEMA 6 DISJUNGSI Contoh soal variatif CARILAH NILAI –NILAI X AGAR SETIAP KALIMAT BERIKUT MENJADI DISJUNGSI YANG BERNILAI BENAR X – 3 = 5 – 3X ATAU 999 ADALAH BILANGAN PRIMA JAWAB MISAL :P(X) : X – 3 = 5-3 : KALIMAT TERBUKA q : 99 adalah bilangan prima ( s) Agar p(x) v q bernilai benar maka Maka p(x) haruslah bernilai benar Sehingga p(x) : x -3 = 5 – 3x x + 3x = 5 +3 4x = 8 x = 2 Jadi p(x) akan menjadi pernyataan bernilai benar jika x = 2

q : 2 bukan bilangan prima jawab P(x) : 5log x = 1 ( KALIMAT TERBUKA ) Lanjutan Latihan/disjungsi P(x) : 5log x = 1 q : 2 bukan bilangan prima jawab P(x) : 5log x = 1 ( KALIMAT TERBUKA ) q : 2 bukan bilangan prima (s) Agar “{p(x) V q}” disjungsi bernilai benar Maka p(x) haruslah bernilai B Sehingga p(x) : 5log x = 1 x= 5’ = 5 Jadi p(x) akan menjadi pernyataan bernilai benar jika x = 5

Contoh / konjungsi Carilah nilai x agar setiap kalimat berikut ini menjadikonjungsi yang benar 1 – 3x = 2x – 4 dan log 2 + log 3 = log 6 Jawab : Misal p(x) : 1 -3x = 2x -4 : kailmat terbuka q : log 2 +log 3 = log 6 : (B) Agar “ p(x) ۸ q” konjungsi ysng bernilai benar : maka : P(x) : 1 – 3x = 2x-4 haruslah bernilai benar Sehingga : p(x) : 1 – 3x = 2x – 4 - 5x = - 5 x = 1 P(x) akan bernilai benar jika x =1 2x = 16 dan 2log 16 =4 Jawab Misal p(x) : 2x = 16 q : 2log 16 =4 (B) P(x) : 2x = 16 haruslah bernilai benar Sehingga : p(x) : 2x = 16 2x = 24 x = 4 Sehingga P(x) akan bernilai benar jika x =4

Latihan Kerjakanlah Lengkapilah tabel kebenaran berikut P Q ~ P ~ Q ~ P V ~ q B S Tentukan nilai kebenaran yang mungkin terjadi dari pernyataan yang menyusunnya P ۸ ~ q ~ P ۸ q ~ (P ۸ q) ~ (~P ۸ ~ q) ~ (P V q) ~ (~PV~ q)

Lengkapilah tabel kebenaran berikut Jawab no II Lengkapilah tabel kebenaran berikut P Q P ۸ q P V q ~ P ~ Q ~ (P ۸ q) ~ (P V q) ~ P ۸ ~q ~(~ P ۸ ~q) ~ P v ~q ~(~ P v ~q) B S

SKEMA 8 P Q P - q B S IMPLIKASI Kesimpulan IMPLIKASI JIKA P MAKA Q DITULIS ‚ P => Q“ P DISEBUT ANTESEDEN / HIPOTESIS Q DISEBUT KONSEKUEN / KESIMPULAN Tabel kebenaran omplikasi P Q P - q B S Kesimpulan Implikasi p => q akan bernilai salah jika P : bernilai benar dan Q bernilai salah Contoh : (1) Tentukan nilai kebenaran implikasi berikut “jika 3 faktor dari 6 maka 6 habisdibagi 2 Jawab P : 3 faktor dari 6 (B) Q : 6 habis dibagi 2 (B) Jadi p – q bernilai benar

CARILAH NILAI X AGAR KALIMAT BERIKUT BERNIALI SALAH LATIHAN CARILAH NILAI X AGAR KALIMAT BERIKUT BERNIALI SALAH JIKA 4X – 5 = 2X + 1, MAKA LOG 5 +LOG 6 = LOG 11 JAWAB Misal p(x) : 4X – 5 = 2X + 1 q : LOG 5 +LOG 6 = LOG 11 Agar p(x) –q berniali salah Maka p(x) 4X – 5 = 2X + 1 haruslah bernilai benar Sehingga p(x) : 4x -5 = 2x+1 4x - 2x = 1 +5 2x = 6 x = 3 Jadi p(x) – q bernilai salah Jika p(x) bernilai benar untuk x = 3

BI - IMPLIKASI KESIMPULAN SKEMA 9 JIKA PERNYATAAN P DAN Q DAPAT DISUSUN DENGAN MENGGUNAKAN KATA HUBUNG “JIKA DAN HANYA JIKA DITULIS DI BACA P JIKA DAN HANYA Q Tabel kebenaran KESIMPULAN P Q B S Bi – implikasi akan bernilai benar jika pernyataan yang menyusunnya bernilai sama

Bernilai salah Contoh Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut : 2m-n = 2m – 2n jika dan hanya jika 25 – 2 = 23 Jawab : Misal p : 2m-n = 2m – 2n : (S) q : 25 – 2 = 23 : (B) Bernilai salah

Latihan Tentukan HP dari (x>0) <=> (2x > 4) bernilai benar jawab : Misal p : (x>0) q : (2x > 4) Agar p --- q bernilai benar : Ada 2 kemungkinan : P : benar ; berarti x > 0 ..(1) Q : benar ; berart 2x > 4 ..(2) 0 2 Ini berarti x > 2

P : salah ; berarti x ≤ 0 ..(1) Q : salah ; berart 2x ≤ 4 ..(2) 0 2 lanjutan P : salah ; berarti x ≤ 0 ..(1) Q : salah ; berart 2x ≤ 4 ..(2) 0 2 Ini berarti x ≤ 2 Hp = { x|x>2 atau x ≤ 0} Untuk latihan lihat lks 10 no 5

PERNYATAAN MAJEMUK YANG EQUIVALEN ANDI HANDOYO MATEMATIKA SMA NEGERI 3 TEMANGGUNG

PERNYATAAN MAJEMUK YANG EQUIVALEN SKEMA : 16 PERNYATAAN MAJEMUK YANG EQUIVALEN Misal pernyataan P (p,q,r,…..) equivalen dengan Q (p,q,r,…), maka ditulis P (p,q,r,…..) Ξ Q (p,q,r,…), Contoh : tunjukan bahwa ~(p Λ ~q) Ξ ~p v q jawab P Q ~P ~ q P Λ~ q ~ (P Λ~ q) ~ P V q B S IDENTIK JADI TAMPAK BAHWA : ~((P Λ~ q) Ξ ~ P V q

Latihan Tunjukan bahwa : p → q Ξ ~ P V q p → q Ξ (p → q ) Λ (q → p) Jawab perhatikan tabel kebenaran berikut : P Q p → q q → p ~P ~ P V q P ↔ q (p → q ) Λ (q → p) B S identik ( a) identik ( b)

Latihan ~(PΛQ)Ξ~P V ~Q ~(PVQ)Ξ~P Λ ~Q ~(P→Q)Ξ~P Λ ~Q Tunjukan Bahwa ~(PΛQ)Ξ~P V ~Q ~(PVQ)Ξ~P Λ ~Q ~(P→Q)Ξ~P Λ ~Q (P↔Q)Ξ P ↔ ~QΞ ~P ↔ Q Jawab 1. AKAN DI TAMPILKAN : ~(PΛQ) Ξ ~P V ~Q P Q P Λ q ~ (P Λ q) ~P ~ q ~ P V~ q B S IDENTIK

Jawab 2. AKAN DI TAMPILKAN : ~(PVQ)Ξ~P Λ ~Q S IDENTIK LATIHAN BERIKUTNYA

KONVERS,INVERS DAN KONTRAPOSISI SKEMA : 17 KONVERS,INVERS DAN KONTRAPOSISI PETA KONSEP KONVERS IMPLIKASI P → Q Q → P KONTRAPOSISI INVERS INVERS KONTRAPOSISI ~P → ~ Q ~Q → ~ P KONVERS CONTOH:1 Tentukan konvers, invers dan kontra posisi dari pernyataan berikut : Jika hari hujan maka saya tidak bersekolah

Jawab Konvers jika saya tidak sekolah maka hari ini hujan Invers jika hari hujan maka saya kesekolah Kontra posisi jika saya kesekolah maka hari tidak hujan

Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari suatu pernyataan : Latihan Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari suatu pernyataan : (p Λ q ) → (q V r) jawab Implikasi : (p Λ q ) → (q V r) Konvers : (q v r ) → (p Λ q) Invers : ~(p Λ q ) → ~ (q V r) kontraposisi : ~ (q V r) → ~(p Λ q)

Skema 12 Kuantor universal dan kuantor exsistensial Simaklah prnyataan berikut “Semua siswa sma n 3 temanggung kelas X1 adalah siswa yang pandai” Pernyataan di atas mengandung / menggunakan kata “ semua atau setiap” ddan selanjutnya disebut pernyataan berkuantor universal (umum) “beberapa siswa sma n 3 temanggung kelas X1 pandai” Ini artinya : ada siswa sma n 3 temanggung kelas X1 adalah siswa yang pandai Pernyataan di atas mengandung / mengunakan kata “ beberapa atau ada dan selajutnya disebut “ pernyataan berkuantor exsistensial ( khusus )

1 Kuantor universal “Semua siswa sma n 3 temanggung kelas X1 pandai” Dari contoh pernyataan kuator universal di atas : dapat dinotasikan : Vx, x єA → x є B Atau Vx, p(x) V ( dibaca semua atau setiap Jadi : “Semua siswa sma n 3 temanggung kelas X1 pandai” Equivalen dengan “ jika x adalah siswa sma n 3 temanggung kelas X1maka x adalah siswa yang pandai Semua A adalah B “ equivalen dengan opernyataan implikasi : Jika XєA, maka xєB

2. Kuantor exsistensial Lambang Э di baca ada atau beberapa Dari contoh pernyataan kuantor exsistensial di atas : dapat dinotasikan : Эx, x єA → x є B Atau Эx, p(x) Lambang Э di baca ada atau beberapa Jadi pernyataan dari “ beberapa siswa sma n 3 temanggung kelasX1 pandai” Equivalen dengan pernyataan Sekurang – kurangnya ada siswa sma n 3 temangung kelas X 1 pandai

Ingkaran dan pernyataan kuantor Skema 13 Ingkaran dan pernyataan kuantor Perhatikan peta konsep berikut : KUANTOR UNIVERSAL Vx, P(x) INGKARAN ~[Vx, P(x)] Эx~ P(x) KUANTOR KUANTOR EXSISTENSIAL Эx, P(x) INGKARAN ~[Эx, P(x)] Vx ~P(x)

CONTOH : tentukan ingkaran dari pernyataan kuantor berikut : “ semua bilangan prima bukan bilangan genap Jawab : Merupakan pernyataan kuantor universal yang bernilai (salah) “tidak semua bilangan prima bukan bilangan genap” Atau “ ada bilangan prima adalah bilangan genap” Jadi jelas bahwa ~p bernilai benar Beberapa orang kaya tidak hidup bahagia Jawab : Merupakan pernyataan kuantor exsistensial ( salah ) jadi pernyataan ingkarannya “ tidak ada orang kaya tidak hidup bahagia Semua orang kaya hidup bahagia

Penarikan kesimpulan (argumentasi) Skema 14 Penarikan kesimpulan (argumentasi) Perhatikan Argumentasi yang sah a Λ b → e Argumentasi yang tidak sah Argumentasi dikatakansah jika premis – premisnya benar, maka konklusinya benar Metode penarikan ksimpulan : Modus ponen : Misal : premis 1 : p→q premis 2 : p Jadi kesimpulan : q

Pandang pernyataan di atas maka kesimpulan sah jika berlaku [(p → q) Λ p] →q Kita priksa pada tabel kebenaran : P Q p → q (q → p)Λp [(p → q ) ΛP] → q B S Kesimpulan/Tautologi JADI MODUS PONEN ADALAH ARGUMENTASI YANG SAH

TERIMA KASIH