Logika Matematika Konsep Dasar AMIK-STMIK Jayanusa ©2009

Himpunan Himpunan Definisi 1.1 Himpunan adalah koleksi (kumpulan) sesuatu. Misalnya huruf-huruf dalam abjad, semua penduduk Indonesia, bilangan bulat positif, dll. Elemen-elemen suatu himpunan adalah segala sesuatu yang membentuk himpunan tersebut atau yang merupakan anggota himpunan itu. Pernyataan a adalah elemen himpunan S dilambangkan dengan Pernyataan a bukan elemen himpunan S dilambangkan dengan Penulisan: berarti “ himpunan elemen-elemen x sehingga …”. Contoh 1.1: . 1. , himpunan ini adalah {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Kalkulus

Bilangan Real Definisi 1.2 Himpunan kosong (empty set) yang dilambangkan dengan lambang ф, adalah himpunan yang tidak memiliki elemen Contoh 1.2: Definisi 1.3 Dua himpunan A dan B dinamakan sama, yang ditulis sebagai A = B jika dan hanya jika tiap elemen A adalah anggota B dan tiap elemen B adalah anggota A Definisi 1.4 Suatu himpunan A dinamakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B, yang dilambangkan sebagai jika dan hanya jika tiap elemen A adalah juga elemen B. Misalnya: 1. 2. Himpunan {a,b,c} mempunyai 8 himpunan bagian, yaitu {a,b,c}, {a,b}, {a,c},{b,c},{a},{b},{c}, dan ф. Jika A himpunan bagian B dan B bukan himpunan bagian A, jadi tiap elemen A adalah anggota B akan tetapi paling sedikit satu elemen B Kalkulus

Bilangan Real yang bukan anggota A, maka A dinamakan himpunan bagian murni (proper subset) dari B. Hal ini dilambangkan dengan Lemma 1.1 Himpunan kosong adalah subset dari setiap sembarang himpunan. Bilangan-bilangan bulat, ditulis Z, adalah elemen-elemen himpunan {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} Bilangan asli adalah bilangan bulat positif, ditulis N Bilangan rasional, ditulis Q, adalah bilangan yang dapat ditulis sebagai p/q, dengan p dan q bulat, serta q ≠ 0. Bilangan tak-rasional adalah bilangan real yang tidak rasional, misalnya Bilangan-bilangan real, ditulis R, terdiri atas bilangan rasional dan bilangan tak-rasional. Jadi: Kalkulus

Bilangan Real Definisi 1.5 Himpunan kuasa (power set) dari S adalah himpunan dari seluruh subset S dan dinotasikan dengan P(S) Contoh 1.3 Asumsikan S = {0,1}, maka P(S) = {ф, {0}, {1}, {0,1}} Definisi 1.6 Jika himpunan S memiliki n buah elemen yang berbeda, maka S adalah himpunan berhingga (finite set), dan n adalah kardinalitas dari S. Kardinalitas dari S dinotasikan dengan |S| Contoh 1.4 Hitung kardinalitas dari S = {0, 1, 1, 2, 3, 4, 3}. Jawab Pada S, jumlah elemen yang berbeda ada 5, yaitu 0, 1, 2, 3, dan 4. Oleh karena itu |S| = 5 Kalkulus

Himpunan 1.5 Jika S = {0, 1, 1, 2}, hitung kardinalitas dari P(S) Jawab Karena |S| = 3, maka | P(S)| = 2|S| = 23 = 8 Himpunan dapat direpresentasikan dengan diagram Venn. Contoh 1.6 Gambarkan diagram Venn yang menunjukkan himpunan V, yaitu himpunan huruf vokal dalam Bahasa Indonesia. Pertama gambarkan himpunan semesta U sebagai bentuk kotak, dalam hal ini U adalah huruf-huruf yang digunakan dalam Bahasa Indonesia, yaitu {a, b, c, d, e, …, x, y, z}. Kemudian gambarkan sebuah lingkaran dalam kotak U untuk merepresentasikan V. Di dalam V gambarkan titik-titik yang menyatakan elemen dari V, yaitu a, e, i, o, u. Kalkulus

Himpunan Definisi 1.7 Apabila terdapat 2 himpunan sembarang S dan T di mana keduanya adalah subset dari U. Union (gabungan) dari S dan T, dilambangkan dengan , yang merupakan himpunan yang beranggotakan elemen dari S atau elemen dari T. Notasi matematikanya adalah: Diagram Venn dari : U V .a .o .e .u .i U S T Kalkulus

Himpunan Definisi 1.8 Irisan (intersection) dari dua himpunan S dan T, dilambangkan dengan , di mana adalah himpunan yang terbentuk dari elemen yang terkandung pada S dan pada T. Notasi matematikanya: Diagram Venn dari irisan dua himpunan S dan T adalah: Definisi 1.9 Dua buah himpunan S dan T tidak beririsan (disjoint) apabila (Bagaimana Diagram Venn nya?) U S T Kalkulus

Himpunan Definisi 1.10 Apabila terdapat sembarang himpunan S dan T, komplemen relatif T terhadap S, dilambangkan S\T, adalah himpunan yang dibentuk dari seluruh elemen S yang bukan elemen dari T, dengan notasi matematika: Diagram Venn dari S\T adalah Definisi 1.11 Asumsikan U adalah himpunan se- mesta. Bila terdapat sembarang himpunan S pada U, komplemen absolut dari S, ditulis Sc adalah U\S, atau U S T U S Kalkulus

Himpunan Definisi 1.12 Beda simetris dari 2 himpunan S dan T, adalah himpunan yang didefinisikan dengan Definisi 1.13 Jika terdapat dua himpunan S dan T, di mana s є S dan t є T, maka pasangan terurut (s,t) adalah hasil kali dari S dan T dengan S x T = {(s,t): s є S dan t є T} Contoh 1.7 Diketahui himpunan S = {a, b, c} dan T = {1, 2, 3}, maka: S x T = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)} U S T Kalkulus

Himpunan Hukum-hukum aljabar yang berlaku dalam himpunan Kalkulus

Himpunan Kalkulus

Himpunan Identik Pembuktian identik atau tidaknya 2 buah himpunan dapat dilakukan dengan aljabar himpunan yang menggunakan definisi-definisi himpunan beserta turunannya dan hukum DeMorgan. Contoh. Buktikan: 2. Solusi Kalkulus

Himpunan Identik Lemma 2.2 Apabila S dan T adalah himpunan berhingga yang tidak beririsan, maka adalah himpunan berhingga dan Teorema 1.1 Apabila S dan T adalah himpunan berhingga, maka dan adalah himpunan berhingga dan Contoh Ketika dilakukan survey hewan peliharaan pada 10 rumah, didapatkan data sebagai berikut. 6 rumah memelihara anjing, 5 rumah memelihara kucing, dan 2 rumah tidak memiliki hewan peliharaan. Tentukan berapa rumah yang memiliki hewan peliharaan anjing dan kucing. Kalkulus

Himpunan Identik Jawab Himpunan semesta U adalah himpunan seluruh rumah yang disurvey. Jika didefinisikan bahwa himpunan rumah yang memelihara anjing adalah A dan himpunan rumah yang memelihara kucing adalah B, maka: Kalkulus

Himpunan Identik Latihan Dik. S = {1,2,3,4,5,6,7}, T = {2,3,4,a,b}, dan R = {a,b,c}. Tentukan: Diantara 100 siswa, diketahui bahwa 32 orang mempelajari Matematika, 30 orang mempelajari Fisika, 35 orang mempelajari Biologi, 12 orang mempelajari Matematika dan Fisika, 15 orang mempelajari Matematika dan Biologi, 10 orang mempelajari Fisika dan Biologi, dan 30 orang tidak mempelajari ketiga bidang tersebut. a. Hitunglah banyaknya siswa yang mempelajari ketiga bidang tersebut. b. Hitunglah banyaknya siswa yang hanya mempelajari satu bidang saja. Kalkulus