BAB 1 KALKULUS PROPOSISI Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya Kalimat terbuka Dinyatakan dengan huruf-huruf kecil : p, q, r Contoh kalimat-kalimat yang merupakan proposisi : 13 adalah bilangan ganjil  T Soekarno adalah alumnus UGM  F 1+1=2  T Hari ini adalah hari Senin  F Contoh kalimat-kalimat yang bukan merupakan proposisi : Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir ? Isilah gelas tersebut dengan air ! OPERATOR LOGIKA DASAR (UTAMA): Digunakan untuk mengkombinasikan proposisi Not / Negation / Ingkaran / Bukan / Tidak  notasi ~ p And / Conjunction / Konjungsi / Dan  notasi p  q Or / Disjunction / Disjungsi / Atau  notasi p  q

TABEL KEBENARAN : Tabel dari semua kemungkinan (interpretasi) Jumlah interpretasi = 2jumlah proposisi Proposisi = 1  21 = 2 Proposisi = 2  22 = 4 Dua pernyataan logika disebut ekivalen logis bila tabel kebenarannya identik NOT p ~ p T F CONJUNCTION p q p  q T F DISJUNCTION p q p  q T F

p q r (p  q) ~p (~p  r) (p  q)  (~p  r) Contoh Soal 1.1 Tentukan tabel kebenaran dari : (p  q)  (~p  r) p q p  q T F p q p  q T F p ~ p T F Jawab : Proposisi = 3  23 = 8 p q r (p  q) ~p (~p  r) (p  q)  (~p  r) T F

p q r (p  q) ~p (~p  r) (p  q)  (~p  r) Contoh Soal 1.1 Tentukan tabel kebenaran dari : (p  q)  (~p  r) p q p  q T F p q p  q T F p q r (p  q) ~p (~p  r) (p  q)  (~p  r) T F

p q (p  q) ~(p  q) ~p ~q ~p  ~q Contoh Soal 1.2 Tunjukkan bahwa kedua pernyataan logika di bawah ini ekivalen logis ~(p  q)  ~p  ~ q (Hukum de Morgan) p q p  q T F p q p  q T F Jawab : Proposisi = 2  22 = 4 p q (p  q) ~(p  q) ~p ~q ~p  ~q T F

p q (p  q) ~(p  q) ~p ~q ~p ~q Contoh Soal 1.3 Tunjukkan bahwa kedua pernyataan logika di bawah ini ekivalen logis ~(p  q)  ~p  ~ q (Hukum de Morgan) p q p  q T F p q p  q T F Jawab : Proposisi = 2  22 = 4 p q (p  q) ~(p  q) ~p ~q ~p ~q T F

HUKUM-HUKUM LOGIKA : Hukum Identitas Hukum Null/Dominasi Hukum Negasi Hukum Idempoten Hukum Involusi (negasi ganda) Hukum Penyerapan (Adsorpsi) Hukum komutatif Hukum Asosiatif Hukum Distributif Hukum De Morgan

1. Hukum Identitas p  F  p p  T  p p q = F p  F T F p q = T P  T

2. Hukum Null/Dominasi p  F  F p  T  T p q = F p  F T F p q = T

3. Hukum Negasi p  ~p  F p  ~p  T p ~ p p  ~p T F p ~ p p  ~p T

4. Hukum Idempoten p  p  p p  p  p p p  p T F p p  p T F

5. Hukum Penyerapan(adsorpsi) p  (p  r)  p p  (p  r)  p p q p  q p (p q) T F 6. Hukum Involusi (negasi ganda) ~ (~ p)  p

7. Hukum Komutatif p  q  q  p p  q  q  p 8. Hukum Asosiatif p  (q  r)  (p  q)  r p  (q  r)  (p  q)  r 9. Hukum Distributif p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 10 Hukum De Morgan ~ (p  q)  ~p  ~q ~ (p  q)  ~p  ~q

Soal Latihan 1.1 Di bawah ini adalah suatu rangkaian logika yang terbentuk dari gerbang-gerbang (gates) AND,OR dan NOT dengan dua input (p dan q) dan satu output (x). Tentukan proposisi dari outputnya, kemudian tentukan tabel kebenarannya p q x Rangkaian Logika

Jawab : x = [(p q)  (~p q)]  (~p ~q ) p q p q ~p ~q ~p ~q = b ~p q (p q)  (~p q) = a a  b = x Tabel kebenaran x p q (p  q) ~p ~q ~pq (pq)(~pq) = a ~p~q = b ab = x T F

x = [(p q)  (~p q)]  (~p ~q )  ~p  q Rangkaian Logika p q x p q x ~p ~ p  q T F Rangkaian Logika p ~p  q q x = [(p q)  (~p q)]  (~p ~q )  ~p  q

p q ~ (p  q) T F Langkah 1 Alternatif Pembuatan Tabel Kebenaran Misalkan akan dibuat tabel kebenaran dari proposisi : ~ ( p  ~ q ) p q ~ (p  q) T F Langkah 1

p q ~ (p  q) T F Langkah 1 2

p q ~ (p  q) T F Langkah 1 3 2

p q ~ (p  q) T F Langkah 4 1 3 2

Soal Latihan 1.2 Tentukan tabel kebenaran dari proposisi : [(p q)  (~p q)]  (~p ~q ) Jawab : p q [(p  q)  (~ q)] ~ T F Langkah 1 3 4 2 5

Soal Latihan 1.2 Tentukan tabel kebenaran dari proposisi : [(p q)  (~p q)]  (~p ~q ) p q [(p  q)  (~ q)] ~ T F Langkah 1 3 4 2 5 !

Contoh Soal 1.4 Dengan menggunakan hukum-hukum Logika (tanpa tabel kebenaran), tunjukkan bahwa kedua proposisi berikut ini adalah ekivalen logis ~(p  (~p  q)) dan ~p  ~ q Jawab : Identitas : p  F  p p  T  p Negasi ganda : ~ (~ p) = p Dominasi : p  F  F p  T  T Komutatif : p  q = q  p p  q = q  p Idempoten : p  p  p p  p  p Asosiatif p  (q  r)  (p  q)  r p  (q  r)  (p  q)  r Negasi : p  ~p  F p  ~p  T Distributif p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) Adsorpsi : p  (p  r)  p p  (p  r)  p De Morgan : ~ (p  q)  ~p  ~q ~ (p  q)  ~p  ~q ~(p  (~ p  q)) ~p  ~(~p  q) De Morgan 2 ~p  ~(~p)  ~q ~ p  (p  ~q) Negasi ganda (~p  p)  (~p  ~q) Distributif 1 F  (~p  ~q) Negasi 1 (~p  ~q)  F Komutatif 1 ~p  ~ q Identitas 1

Soal Latihan 1.3 Dengan menggunakan hukum-hukum Logika (tanpa tabel kebenaran), tunjukkan bahwa kedua proposisi berikut ini adalah ekivalen logis ~(p  q)  (~ p  q) dan ~ p Identitas : p  F  p p  T  p Negasi ganda : ~ (~ p) = p Dominasi : p  F  F p  T  T Komutatif : p  q = q  p p  q = q  p Idempoten : p  p  p p  p  p Asosiatif p  (q  r)  (p  q)  r p  (q  r)  (p  q)  r Negasi : p  ~p  F p  ~p  T Distributif p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) Adsorpsi : p  (p  r)  p p  (p  r)  p De Morgan : ~ (p  q)  ~p  ~q ~ (p  q)  ~p  ~q Jawab : ~(p  q)  (~ p  q) (~p  ~q)  (~ p  q) De Morgan 2 ~p  (~q  q) Distributiif 1 ~p T Negasi 2 ~ p Identitas 2

Soal Latihan 1.3 Dengan menggunakan hukum-hukum Logika (tanpa tabel kebenaran), tunjukkan bahwa kedua proposisi berikut ini adalah ekivalen logis ~(p  q)  (~ p  q) dan ~ p Identitas : p  F  p p  T  p Negasi ganda : ~ (~ p) = p Dominasi : p  F  F p  T  T Komutatif : p  q = q  p p  q = q  p Idempoten : p  p  p p  p  p Asosiatif p  (q  r)  (p  q)  r p  (q  r)  (p  q)  r Negasi : p  ~p  F p  ~p  T Distributif p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) Adsorpsi : p  (p  r)  p p  (p  r)  p De Morgan : ~ (p  q)  ~p  ~q ~ (p  q)  ~p  ~q Jawab : ~(p  q)  (~ p  q) (~ p  ~ q)  (~ p  q) De Morgan 2 ~p  (~q  q) Distributif 1 ~p  T Negasi 2 ~p Identitas 2

OPERATOR LOGIKA KONDISIONAL Implikasi p  q p q p  q T F Jika p, maka q if p, then q proposisi p disebut hipotesis / antesenden / premis proposisi q disebut konklusi / konsekuen Variasi proposisi dengan  : Konvers (kebalikan) : q  p Invers : ~ p  ~ q Kontraposisi : ~ q  ~ p Contoh : Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari : Jika Amir orang kaya (p), maka ia mempunyai mobil (q) Konvers : Jika ia mempunyai mobil, maka Amir orang kaya Invers : Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil Kontraposisi : Jika ia tidak mempunyai mobil, maka Amir bukan orang kaya

Tabel Kebenaran konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi : q ~ p ~ q p  q q  p ~ p  ~q ~ q  ~ p T F Hukum-hukum Logika yang melibatkan implikasi p  q Tautologi 1 : p  q  ~ p  q Tautologi 6 : (p  q )  (p  r )  p  (q  r ) Tautologi 2 : ~ (p  q)  p  q Tautologi 7 : (p  r)  (q  r)  (p  q)  r Tautologi 3 : p  q  ~ q  ~ p Tautologi 8 : (p  q)  (p  r)  p  (q  r) Tautologi 4 : p  q  ~p  q Tautologi 9 : (p  r)  (q  r)  (p  q)  r Tautologi 5 : p  q ~ (p  ~ q)

Biimplikasi p  q p q p  q T F p jika dan hanya jika q p if and only if q Hukum-hukum Logika yang melibatkan biimplikasi p  q 1 : p  q  (p  q)  (q  p) 2 : p  q  ~ p  ~ q 3 : p  q  (p  q)  (~ p  ~ q) 4 : ~(p  q)  p  ~ q 5 : p  q  q  p

Operator Logika Notasi Prioritas Kurung () Paling tinggi Negasi ~ Urutan Prioritas dari Operator Logika Operator Logika Notasi Prioritas Kurung () Paling tinggi Negasi ~ Konjungsi  Disjungsi  Implikasi  Biimplikasi  Paling rendah

Contoh Soal 1.5 [UTS Logika Matematika 3 Desember 2007] Tentukan tabel kebenaran dari setiap kalimat di bawah ini : a). (~q  p)  (p  ~q) b). [p  (q  r)]  [(p  q)  r] c). [(p  q)  (p  r)  (q  r)]  r p q p  q T F Jawab a) : p q ~ q ~q  p p  ~q (~q  p)  (p  ~q) T F

Jawab b) : p q r q  r T F p q p  q T F p q p  q T F p  q [p  (q  r)]  [(p  q)  r] T F

[(p  q)  (p  r)  (q  r)]  r Jawab c) : p q p  q T F [(p  q)  (p  r)  (q  r)]  r p q r p  q p r q  r (p  q)  (p  r) = a a  (q  r)] = b b  r T F

TAUTOLOGI, KONTRADIKTIF DAN KONTINGENSI : Bila kolom terakhir tabel kebenaran dari suatu proposisi semuanya benar (T), maka proposisi tersebut disebut tautologi, Bila kolom terakhir tabel kebenaran dari suatu proposisi semuanya salah (F), maka proposisi tersebut disebut kontradiksi Bila kolom terakhir tabel kebenaran dari suatu proposisi ada yang benar (T) dan ada yang salah (F),maka proposisi tersebut disebut kontingensi

a). a  (b  a  b) b). a  (b  c)  (a  b)  (a  c) Contoh Soal 1.6 Tentukan apakah kalimat implikasi di bawah ini tautologi, kontradiksi atau kontigensi a). a  (b  a  b) b). a  (b  c)  (a  b)  (a  c) p q p  q T F Jawab a) : a b a  b b  a  b a  (b  a  b) T F

Jawab b) : a  (b  c)  (a  b)  (a  c) a  (b  c) = x p q p  q T F a  (b  c)  (a  b)  (a  c) a b c b  c a  b a  c a  (b  c) = x (a  b)  (a  c) = y x  y T F

Soal Latihan 1.7 [UTS Logika Matematika 3 Desember 2007] Tentukan tabel kebenaran dari setiap kalimat di bawah ini : a). ~ (p  q)  (~q  r) b). ~(p  q)  (r  ~p) p q p  q T F Jawab a) : p q ~ q ~q  p p  ~q (~q  p)  (p  ~q) T F