STATISTIK NONPARAMETRIK Kuliah 12-1: Kasus k-Sampel Independen (Bebas): Uji Jonckheere Dosen: Dr. Hamonangan Ritonga, MSc Sekolah Tinggi Ilmu Statistik Jakarta Tahun 2013
Uji Jonckheere (1): Pengantar Pada Uji Kruskal-Wallis kita menguji Ho bahwa k-sampel (kelompok) independen berasal dari populasi yang sama versus Ha bahwa satu atau lebih dari kelompok sampel berbeda dari yang lain. Ada kalanya, peneliti ingin menunjukkan Ha yang lebih spesifik. Misalnya: 1) Seorang peneliti ingin menguji apakah dosis obat yang bervariasi berdampak pada kinerja belajar, dimana peneliti ingin menguji Ho bahwa “tidak ada perbedaan” vs Ha bahwa meningkatnya dosis akan mengakibatkan pemburukan kinerja belajar 2) Seorang pendidik ingin tahu apakah tingkat-tingkat gangguan pada saat ujian yang diklasifikasikan dari ringan, sedang dan berat mengakibatkan makin turunnya nilai-nilai peserta ujian. Uji Jonckheere mirip dengan Uji Kruskal-Wallis, tetapi mempunyai Ha yang spesifik. Uji Jonclheere menguji Ho saat k-sampel diurutkan dalam suatu urutan berdasarkan teori.
Uji Jonckheere (2) Asumsi Data yang dianalisis terdiri dari k sampel independen yang berurutan yang berasal dari populasi 1, 2,…,k dengan median masing-masing tidak diketahui Observasi independen baik dalam sampel maupun antar sampel Syarat Data Data paling tidak berskala ordinal Bentuk Hipotesis: H0: Sampel-sampel berasal dari populasi-populasi dengan median yang sama H1: Sampel-sampelberasal dari populasi-populasi dengan median yang berurutan
Uji Jonckheere (3): Statistik Uji Untuk sampel-sampel dengan ukuran kecil . K : Banyak sampel yang digunakan Uij Jumlah pasangan obeservasi (a, b) untuk setiap Xia yang lebih kecil dari Xjb Dengan kata lain semua observasi pada sampel-i dibandingkan dengan semua observasi pada sampel ke-j. Jika nilai Xia lebih kecil dari nilai Xjb maka pasangan tersebut diberi skor 1, namun ada catatan jika nilainya sama maka diberi skor 0,5 dan jika nilai Xia lebih besar dari Xjb maka pasangan tersebut diberi skor 0. merupakan jumlah semua skor pasangan yang terjadi antara sampel ke-i dengan sampel ke-j. Untuk lebih jelasnya akan diperagakan pada contoh soal. Daerah tolak : J ≥Jα untuk k sampel dengan ukuran n1, n2, n3 …..,nk (Jα lihat Tabel Nilai Kritis Jonchere /lihat tabel P buku Sidney Siegel Second Edition)
Uji Jonckheere (4): Statistik Uji (Lanjutan) Untuk sampel-sampel dengan ukuran besar Untuk sampel besar, distribusi nilai mendekati normal sehingga diterapkan pendekatan normal. Dimana: Daerah tolak : Zhit ≥ Zα (satu sisi)
Uji Jonckheere (5): Prosedur 1) Menentukan hipotesis H0 : Populasi memiliki median yang sama H1 : Populasi memiliki median yang berurutan Atau secara matematis dapat ditulis: H0 : θ1 = θ2 = ... = θk H1 : θ1 < θ2 < ... < θk 2) Menentukan taraf nyata (α) 3) Distribusi sampling: sesuai asumsi dan skala data digunakan Statistik Jonckheere a. Jika k=3 serta n1, n2, dan n3 < 8
Uji Jonckheere (6): Prosedur (Lanjutan) 3) Menentukan Statistik Uji: b. Jika k= 4, 5, atau 6 serta ukuran sampel (nj’s) adalah sama dan <7 c. Jika banyaknya grup (k) dan banyaknya pengamatan dalam setiap grup sangat besar
Uji Jonckheere (7): Prosedur (Lanjutan) Menentukan wilayah kritis. Lakukan penghitungan: a. Buat tabel dua arah dengan k kolom yang merepresentasikan grup yang urut berdasarkan hipotesis skor dari median paling kecil ke hipotesis median paling besar b. Hitung statistik Mann-Whitney count dengan rumus: di mana Xia,jb bernilai: 1 jika Xia < Xjb ½ jika Xia = Xjb 0 jika Xia > Xjb perlu diketahui bahwa: i < j Xia adalah nilai pengamatan ke-h pada kelompok ke-i Xjb adalah nilai pengamatan ke-g pada kelompok ke-j Hitung statistik uji Jonckheere sesuai statistik uji yang digunakan 5) Keputusan
Uji Jonckheere (8): Contoh Soal Svenningsen melaporkan hasil dari penelitian mengenai titrasi asam-basah dalam ginjal yang dilakukan pada 24 bayi yang dipilih secara acak dari populasi 516 bayi yang baru lahir. Bayi-bayi yang diteliti dibagi menjadi tiga kelompok berdasarkan analisis kimiawi pada tes urine yang dilakukan sebagai berikut: Kelompok I (bayi cukup bulan/normal) Kelompok II (bayi prematur) Kelompok III (bayi prematur dengan asidosis berumur 1-3 minggu) 4.5 4.1 7.3 3.9 8.4 5.0 3.2 6.9 4.8 4.6 5.1 8.2 4.9 6.2 4.3 7.9 5.2 5.3
Uji Jonckheere (9): Penyelesaian Contoh Soal Hipotesis H0 : Kelompok-kelompokbayiberdasarkananalisiskimiawipadaurinenyatidakadakecenderunganmenurun (sama) H1 : Kelompok-kelompokbayiberdasarkananalisiskimiawipadaurinenyaadakecenderunganmenurundarikelompok III keKelompok I Atausecaramatematisdapatditulis: H0 : θI = θII = θIII H1 : θI<θII<θIII α = 5% = 0,05 Statistikuji: 𝑱 ∗ = 𝑱− 𝝁 𝑱 𝝈 𝑱 Wilayah kritis : TolakH0jikaJ*>z0,05=1,645
Uji Jonckheere (10): PenyelesaianContoh Soal (Lanjutan) Hasil Analisis Kimiawi 24 Urine Bayi Kelompok I II III i 1 2 j 3 6 8 4.5 4.1 7.3 8,5 3.9 8.4 3,5 5.0 3.2 6.9 5 4.8 4.6 7,5 5.1 8.2 5,5 4.9 6.2 4.3 7.9 5.2 5.3 Uij 36 48 80
Uji Jonckheere (11): Penyelesaian Contoh Soal (Lanjutan) 2 = 18,75 = 3,73 Keputusan: Tolak Ho karena J*= 3.73 > Z0,05= 1,645 Kesimpulan Median kelompok-kelompok bayi berdasarkan analisis kimia urinenya ada kecenderungan menurun
STATISTIK NONPARAMETRIK Kuliah 12-2: Kasus k-Sampel Dependen (Berhubungan): Uji Page Dosen: Dr. Hamonangan Ritonga, MSc Sekolah Tinggi Ilmu Statistik Jakarta Tahun 2013
Uji Page (1): Pengantar Pada Uji Friedman kita menguji hipotesis bahwa k sampel berhubungan berasal dari populasi yang sama dengan hipotesis alternatif k sampel berhubungan berasal dari populasi berbeda. Ada kalanya peneliti menginginkan hasil yang lebih spesifik yaitu apakah sampel pertama, kedua, ketiga dan seterusnya memiliki median yang berurutan. Pengujian tentang k median populasi dengan hipotesis alternatif k median populasi berurutan dari k sampel yang berhubungan ini telah diteliti oleh E. B. Page pada tahun 1963. Oleh karena itu pengujiannya disebut Uji Page.
Uji Page (2): Asumsi 1) Data terdiri dari k (k > 3) sampel yang berhubungan atau terdapat k pengulangan. 2) Data diukur dengan skala ordinal, interval maupun rasio. 3) Peneliti harus menentukan sampel mana yang diprioritaskan yaitu sampel dengan jumlah nilai data terbesar.
Uji Page (3): Bentuk Hipotesis H0 : Populasi memiliki median yang sama H1 : Populasi memiliki median yang berurutan Atau secara matematis dapat ditulis: H0 : θ1 = θ2 = ... = θk H1 : θ1 < θ2 < ... < θk
Uji Page (4): Statistik Uji
Uji Page (5): Wilayah Kritis N < 20 ketika k = 3 atau N < 12 untuk 4 < k < 10 Tolak H0 jika Lhitung > Lα;k,n ( lihat Tabel N pada Buku Sidney Siegel Second Edition) N > 20 ketika k = 3 Tolak H0 jika zL > zα
Uji Page (6) Prosedur: 1) Menentukan hipotesis 2) Menentukan taraf nyata : α 3) Menentukan statistik uji 4) Menentukan wilayah kritis lakukan perhitungan Data dibuat dalam tabel dua arah dengan N baris (subjek) dan k kolom (kondisi atau variabel). Pengurutan kondisi-kondisi tersebut harus disusun berdasarkan kriteria yang spesifik. Data di setiap baris diberi peringkat sendiri-sendiri dari 1 sampai k. Data dengan nilai paling kecil diberi ranking 1 dan nilai terbesar diberi ranking k. Jumlahkan peringkat setiap kolom (Rj) Hitung statistik Uji Page 5) Keputusan
Uji Page (7): Contoh Soal Seorang pekerja laboratorium di suatu rumah sakit mengadakan suatu penelitian tentang serum bilirubin pada 10 orang bayi normal. Data petugas itu ada pada Tabel dibawah ini. Dengan = 5 %, apakah data ini sudah memberikan cukup bukti untuk menunjukkan adanya tingkat penurunan level serum bilirubin dari waktu ke waktu untuk bayi antara usia 4-10 hari? Kasus Umur (Hari) 4 5 6 7 8 9 10 1 10.80 6.15 4.10 5.00 3.40 2.60 2 12.50 11.80 13.20 11.00 8.20 6.80 6.00 3 13.70 16.80 15.60 11.70 10.55 11.50 4.00 3.50 1.66 1.60 10.20 6.40 3.10 3.00 2.20 1.98 8.00 7.85 7.45 7.00 3.60 11.10 3.80 4.30 5.60 14.90 9.90 9.40 10.50 7.70 7.60 16.20 16.40 15.40 8.30 10.70 7.40 10.00 4.60 4.20
Uji Page (8): Penyelesaian Contoh Soal Hipotesis H0 : Median serum bilirubin untukbayidenganumur 4 sampai 10 hariadalahsama H1 : Median serum bilirubin untukbayidenganumur 4 harilebihrendahdari 5 hari, umur 5 harilebihrendahdari 6 hari, danseterusnyahinggaumur 9 harilebihrendahdari 10 hari Atausecaramatematisdapatditulis: H0 : θ4 = θ5 = θ6 = θ7 = θ8 = θ9 = θ10 H1 : θ4<θ5<θ6<θ7<θ8<θ9<θ10 α = 5% = 0,05 Statistikuji: 𝑳= 𝒋=𝟏 𝒌 𝒋. 𝑹 𝒋 Wilayah kritis : TolakH0jikaLhitung>L0,05;7,10 = 1180
Uji Page (9): Penyelesaian Contoh Soal (Lanjutan) Ranking Pengurutan Level Serum Bilirubin Pada 10 Bayi Normal Kasus Umur (Hari) 4 5 6 7 8 9 10 1 3 4,5 2 6,5 1,5 Ri 64 61,5 49,5 40,5 28,5 23,5 12,5
Uji Page (10): Penyelesaian Contoh Soal (Lanjutan) 𝐿= 𝑗=1 𝑘 𝑗. 𝑅 𝑗 =1 64 +2 61,5 +3 49,5 +4 40,5 +5 28,5 +6 23,5 +7 12,5 =868,5 Keputusan GagaltolakH0karenaLhitung=868,5 <L0,05;7,10 = 1180 Kesimpulan Belumcukupbuktiuntukmengatakanadanyapenurunanserum bilirubin untukbayidenganumur 4 sampai 10 hari
LATIHAN SOAL Ringan Sedang Berat 6 13 22 15 7 12 18 19 14 23 8 17 27 9 1. Seorang peneliti ingin mengetahui apakah seorang perokok dapat disembuhkan dengan melihat berapa lama mereka dapat menahan untuk tidak merokok. Diketahui jeda waktu menghisap rokok setelah yang pertama selesai kemudian menghisap rokok berikutnya (kemampuan menahan diri untuk tidak merokok). Pengamatan ini dibedakan menurut perokok ringan, sedang dan berat. Interval waktu telah dicatat dalam satuan menit untuk setiap subyek. Penghitungan waktu dimulai setelah rokok yang pertama selesai dihisap sampai perokok menyalakan rokok berikutnya. Data pengamatan sebagai berikut: Pertanyaan: Dengan taraf nyata 5 % apakah ada perbedaan waktu antara 3 kelompok perokok tersebut untuk menghabiskan 1 batang rokok. Ringan Sedang Berat 6 13 22 15 7 12 18 19 14 23 8 17 27 9 20 11 16 10 25 21
2. Dilakukan penelitian untuk mengetahui tingkat kepuasan pelanggan terhadap ketersediaan barang-barang kebutuhan di warung, minimarket dan supermarket. responden diambil sebanyak 11 orang untuk masing-masing tempat. Jawaban para responden terdapat dalam tabel. Hasil Survei sebagai berikut: Pertanyaan: Dengan taraf nyata 1 %, apakah median tingkat kepuasan pelanggan terhap ketersediaan barang-barang kebutuhan di warung, minimarket dan supermarket memiliki median yang berurutan sehingga dapat diketahui tempat manakah yang memiliki ketersediaan barang-barang paling baik. Taraf nyata = 5 %. No. Kelompok Warung Minimarket Supermarket 1 3 4 2 5 6 7 8 9 10 11
3. Dilakukan penelitian untuk mengetahui dampak keefektifan serum Hepatitis baru terhadap pasien selama 7 hari terhadap 15 orang pasien. Hasil sebagai berikut Pasien Hari 1 2 3 4 5 6 7 10.80 6.15 4.10 5.00 3.40 2.60 12.50 11.80 13.20 11.00 8.20 6.80 6.00 13.70 16.80 15.60 11.70 10.55 11.50 4.00 3.50 1.66 1.60 10.20 6.40 3.10 3.00 2.20 1.98 8.00 7.85 7.45 7.00 3.60 11.10 3.80 4.30 5.60 8 14.90 9.90 9.40 10.50 7.70 7.60 9 16.20 16.40 15.40 8.30 10.70 7.40 10 10.00 4.60 4.20 11 12 13 14 15 Dengan taraf nyata 5 %, apakah data ini sudah memberikan cukup bukti untuk menunjukkan apakah serum telah menunjukan keefektifan terhadap virus hepatitis (jumlah virus dalam ribu).