6.6 Momen, Pusat Massa

6.6. Momen, pusat massa m2 m1 d1 d1 Titik tumpu Gambar 1 m1 m2 x1 x2 x2 Gambar 2

6.6. Momen, pusat massa Misalkan dua massa berukuran m1 dan m2 diletakan pada papan kesetimbangan dan berjarak d1 dan d2 dari titik tumpu pada bagian-bagian berlawanan terhadapnya. Papan tersebut hanya setimbang jika d1m1=d2m2. Model matematis diperoleh dengan cara meletakan ulang papan penyangga dengan suatu sistem koordinat datar yang titik asalnya berada dititik tumpu. Maka koordinat x1 dari m1 adalah x1=-d1, koordinat m2 adalah x2=d2 dan kondisi kesetimbangan adalah x1m1 + x2m2 = 0

6.6. Momen, pusat massa Hasil kali massa m suatu partikel dengan jarak berarahnya dari suatu titik (lengan tuas) dinamakan momen partikel terhadap titik tersebut (gambar 3) Momen ini mengukur kecenderungan massa untuk menghasilkan suatu putaran pada titik tersebut. Syarat agar dua massa sepanjang suatu garis setimbang pada sebuah titik pada garis tersebut adalah jumlah momen-momennya terhadap titik itu sama dengan nol.

6.6. Momen, pusat massa m x Momen = (lengan tuas).(massa) M = xm Gambar 3

6.6. Momen, pusat massa Jumlah momen M (terhadap titik asal) suatu sistem yang terdiri atas n massa berukuran m1, m2, …, mn yang berada pada x1, x2, …, xn sepanjang sumbu x adalah jumlah momen masing-masing massa, yakni : M = x1m1 + x2m2 + … + xnmn = Syarat kesetimbangan di titik asal adalah M=0

6.6. Momen, pusat massa Pertanyaan. Berapakah koordinat x dari titik tempat titik tumpu seharusnya diletakan agar sistim dalam gambar 4. setimbang? x1 x4 x3 x2 xn-1 xn m1 m3 m2 mn m4 mn-1 Gambar 4

6.6. Momen, pusat massa Misalkan koordinat yang diinginkan adalah . Jumlah momen terhadap titik ini adalah nol, yakni atau Jadi, Titik dinamakan pusat massa.

6.6. Momen, pusat massa Contoh 1. Massa sebesar 4, 2, 6, dan 7 kilogram masing-masing diletakkan pada titik-titik 0, 1, 2, dan 4, sepanjang sumbu-x (gambar 5). Carilah pusat massanya. 7 6 4 2 1 2 3 4

6.6. Momen, pusat massa Distribusi Massa yang kontinu sepanjang garis Perhatikan sepotong kawat lurus tipis dengan kepadatan (massa tiap satuan panjang) yang bervariasi. Pada kawat terbut kita akan mencari kesetimbangan. Kita tetapkan suatu garis koordinat sepanjang kawat dan andaikan kepadatan di x adalah (x). Dengan mengikuti prosedur baku (iris, hampiri, integrasikan), kita dapat jumlah massa m dan kemudian jumlah momen M terhadap titik asal, dengan rumus

6.6. Momen, pusat massa a b x Gambar 6

6.6. Momen, pusat massa Contoh 2. Kepadatan (x) sepotong kawat yang terletak x sentimeter dari salah satu ujungnya adalah (x)=3x2 gram/sentimeter. Tentukan pusat massa kawat antara x=0 dan x=10. 10

6.6. Momen, pusat massa Distribusi massa pada bidang Perhatikan n titik massa m1, m2, …, mn yang terletak pada titik-titik (x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn) dalam bidang koordinat. Maka momen total My dan Mx masing-masing terhadap sumbu y dan sumbu x diberikan oleh Koordinat-koordinat dari pusat massa (titik kesetimbangan) adalah

6.6. Momen, pusat massa Pusat massa suatu lamina (lempeng rata lapis tipis) homogen Lamina mempunyai kepadatan massa  konstan. Untuk lempeng segiempat homogen, pusat massa berada pada pusat berada pada pusat geometrinya.

6.6. Momen, pusat massa Tinjaulah lamina homogen yang dibatasi oleh x=a, x=b, y=f(x) dan y=g(x), dengan g(x)≤f(x). Irislah lamina ini menjadi jalur-jalur pendek yang sejajar dengan sumbu-y, karena itu dapat dianggap berbentuk segiempat, dan bayangkan massa masing-masing jalur terpusat pada pusat geometrinya. Kemudian hampiri dan integrasikan. Kita dapat menghitung