RELASI Matematika Diskrit

Definisi Relasi (binair) R dari himpunan X ke himpunan Y adalah sebuah subhimpunan dari hasil kali Cartesius X x Y. Notasi : Jika (x,y)  R maka : x R y  x relasi dengan y Daerah asal (domain) dari R : {x  X | (x,y)  R untuk beberapa y  Y} Daerah hasil (range) dari R : {y  Y | (x,y)  R untuk beberapa x  X} Matematika Diskrit

Contoh 1 X = {Nani, Rianti, Dudi, Ivan, Candra} Y = { Teknik Informatika, Matematika, Manajemen Informatika, Teknik Sipil} R = {(Nani, Teknik Informatika), (Rianti, Matematika), (Dudi, Manajemen Informatika), (Ivan, Manajemen Informatika), (Candra, Teknik Sipil)} X Y Nani T. Informatika Rianti Matematika Dudi Manaj. Informatika Ivan Candra T. Sipil Matematika Diskrit

Pasangan terurut dalam relasi R Matematika Diskrit

Contoh 2 X = {2,3,4} Y = { 3,4,5,6,7} R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)} X Y 2 4 6 3 Domain dari R = {2,3,4} Range dari R = { 3,4, 6} Matematika Diskrit

Digraf Cara informatif untuk menggambarkan sebuah relasi pada sebuah himpunan Memiliki : vertex (ujung) directed edge (rusuk berarah) Matematika Diskrit

Sifat-sifat Relasi Refleksif Anti refleksif Simetris Antisimetris Transitif Non transitif Matematika Diskrit

Refleksif Relasi R pada himpunan X disebut refleksif jika (x,x)  R untuk setiap x  X Digraf dari refleksif mempunyai sebuah loop pada setiap ujungnya. Contoh : X = {1,2,3,4} R = {(1,1),(1,2),(1,3), (1,4),(2,2),(2,3), (2,4),(3,3),(3,4), (4,4)} Matematika Diskrit

Tidak Refleksif Salah satu atau lebih vertex tidak mempunyai loop Contoh : X = {1,2,3,4} R = {(1,1),(2,3),(3,2),(4,4)} Matematika Diskrit

Simetris Relasi R pada himpunan X disebut simetris jika untuk semua x, y  X, jika (x,y)  R maka (y,x)  R Digraf dari relasi simetris mempunyai sifat bahwa terdapat rusuk berarah dari v ke w, maka juga terdapat rusuk berarah dari w ke v Matematika Diskrit

Simetris (Cont.) Contoh : X = {1,2,3,4} R = {(1,1),(2,3),(3,2),(4,4)} (2,3) di R dan (3,2) di R Matematika Diskrit

Antisimetris (Tidak Simetris) Relasi R pada himpunan X disebut antisimetris jika untuk semua x, y  X, jika (x,y)  R dan x  y, maka (y,x)  R Digraf dari relasi antisimetris mempunyai sifat bahwa diantara sembarang 2 ujung terdapat rusuk 2 arah Matematika Diskrit

Antisimetris (Cont.) Contoh : X = {1,2,3,4} (2,3)  R tetapi (3,2)  R Matematika Diskrit

Transitif Relasi R pada himpunan X disebut transitif jika untuk semua x,y,z X, jika (x,y) dan (y,z)  R, maka (x,z)  R Digraf dari relasi transitif mempunyai sifat bahwa apabila terdapat rusuk berarah dari x ke y dan dari y ke z, maka terdapat rusuk berarah dari x ke z. Matematika Diskrit

Transitif (Cont.) Pasangan berbentuk (x,y) (y,z) (x,z) (1,1) (2,2) (1,2) (2,3) (1,3) (2,4) (1,4) (3,3) (3,4) (4,4) Matematika Diskrit

Transitif (Cont.) Penentuan sebuah relasi R transitif : 1. jika (x,y) dan (y,z)  R, maka (x,z)  R 2. x = y dan (x,z) = (y,z) di R Contoh : R1 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)}  tidak transitif R2 = {(1,1),(1,2),(2,1)}  tidak transitif R3 = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)}  tidak transitif R4 = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}  transitif Matematika Diskrit

Urutan Parsial (Partial Orders) Relasi R pada himpunan X disebut urutan parsial jika R refleksif, antisimetris dan transitif Ketiga persyaratan tersebut harus dipenuhi Matematika Diskrit

Invers Misalkan R adalah relasi dari X ke Y maka invers dari R adalah relasi dari Y ke X Notasi : R-1 Invers didefinisikan : R-1 = {(y,x) | (x,y)  R} Digambarkan relasi ini sebagai “terbagi oleh” Contoh : R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)} R-1 = {(4,2), (6,2), (3,3), (6,3), (4,4)} Matematika Diskrit

Komposisi (Composite) Misalkan R1 adalah relasi dari X ke Y dan R2 adalah relasi dari Y ke Z, maka komposisi dari R1 dan R2 adalah relasi dari X ke Z Notasi : R2  R1 Komposisi didefinisikan : R2  R1 = {(x,z) | (x,y)  R1 dan (y,z) R2 untuk beberapa y  Y} Contoh : R1 = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} R2 = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} R2  R1 = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)} Matematika Diskrit

Relasi Keekuivalenan Teorema 1 : Misalkan S adalah partisi dari himpunan X. Definisikan xRy untuk mengartikan bahwa untuk beberapa himpunan S di S, baik x maupun y berada di S, maka R refleksif, simetris dan transitif Sebuah relasi yang refleksif, simetris dan transitif pada himpunan X disebut relasi keekuivalenan pada X (equivalence relation on X) Matematika Diskrit

Relasi Keekuivalenan (Cont.) Contoh : S = {{1,3,5},{2,6},{4}} X = {1,2,3,4,5,6} R = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),(2,2), (2,6),(6,2),(6,6),(4,4)} Digraf relasi dari R harus : Refleksif : terdapat sebuah loop pada setiap ujungnya Simetris : untuk setiap rusuk berarah dari v ke w juga terdapat rusuk berarah dari w ke v Transitif : jika terdapat sebuah rusuk berarah dari x ke y dan rusuk berarah dari y ke z maka terdapat rusuk berarah dari x ke z Matematika Diskrit

Relasi Keekuivalenan (Cont.) Matematika Diskrit

Teorema 2 Misalkan R sebuah relasi keekuivalenan pada himpunan X. Untuk setiap a  X, misalkan : {a} = {x  X | xRa} Sehingga : S = {[a] | a  X} adalah partisi dari X Misalkan R adalah relasi keekuivalenan pada himpunan X. Himpunan-himpunan [a] yang didefinisikan pada Teorema 2 disebut kelas keekuivalenan dari X yang diberikan oleh relasi R Matematika Diskrit

Contoh S = {{1,3,5},{2,6},{4}} X = {1,2,3,4,5,6} R = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1), (5,3),(5,5),(2,2),(2,6),(6,2),(6,6),(4,4)} Kelas keekuivalenan [1] yang mengandung 1 terdiri dari semua y sehingga (1,y)  R. Oleh karena itu : [1] = {1,3,5} Kelas ekuivalenan yang tersisa didapatkan dengan cara yang sama : [3] = [5] = {1,3,5} [2] = [6] = {2,6} [4] = {4} Matematika Diskrit

Teorema 3 Misalkan R adalah relasi keekuivalenan pada himpunan terhingga X. Jika setiap kelas keeukuivalenan mempunyai r unsur, maka terdapat |X| / r kelas keekuivalenan X1 (r unsur) X2 ……. Xk |X| = r k |X| = |X1| + |X2| + … + |Xk| = r + r + … + r = r k Matematika Diskrit

Matriks Relasi Dikenal dengan adjacency matrix Contoh : R = {(1,b),(1,d),(2,c),(3,c),(3,b),(4,a)} X = {1,2,3,4} Y = {a,b,c,d} Matematika Diskrit

Klosur Relasi Klosur relasi terjadi jika : Relasi tidak refleksif menjadi refleksif  Klosur refleksif (Reflexive Closure) Relasi tidak simetris menjadi simetris  Klosur simetris (Symmetric Closure) Relasi tidak transitif menjadi transitif Klosur transitif (Transitive Closure) Matematika Diskrit

Klosur refleksif (Reflexive Closure) Klosur refleksif dari R adalah : R   , dimana  = {(a,a)|a  A} Contoh : A = {1, 2, 3} R = {(1,1), (1,3), (2,3), (3,2)}  tidak refleksif Supaya bersifat refleksif maka  = {(1,1), (2,2), (3,3)} Sehingga klosur refleksif dari R adalah : R   = {(1,1), (1,3), (2,3), (3,2)}  (1,1), (2,2), (3,3)} = {(1,1), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)} R = {(a,b)|a  b} pada himpunan bilangan bulat Maka klosur refleksif dari R adalah : R   = {(a,b)|a  b}  {(a,a)|a  Z} = {(a,b)|a  Z} Matematika Diskrit

Klosur Simetris (Symmetric Closure) Klosur simetris dari R adalah : R  R-1 , dimana R-1 = {(a,b)| (b,a) a  R} Contoh : A = {1, 2, 3} R = {(1,3), (1,2), (2,1), (3,2), (3,3)} Supaya bersifat simetris maka R-1 = {(3,1), (2,1), (1,2), (2,3), (3,3)} Sehingga klosur simetris adalah : R  R-1 = {(1,3), (1,2), (2,1), (3,2), (3,3)}  {(3,1), (2,1), (1,2), (2,3), (3,3)} = {(1,3), (3,1), (1,2), (2,1), (3,2), (2,3), (3,3)} R = {(a,b)|a habis membagi b} pada himpunan bilangan bulat Maka klosur simteris dari R adalah : R  R-1 = {(a,b)|a habis membagi b}  {(b,a)|b habis membagi a} = {(a,b)|a habis membagi b atau b habis membagi a} Matematika Diskrit

Klosur Transitif (Transitive Closure) Klosur transitif dari R adalah : Matematika Diskrit

Contoh A = {1, 2, 3} R = {(1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2)} Matriks yang merepresentasikan relasi R adalah : Klosur transitif dari R adalah : Karena Maka Sehingga klosur transitif R* : {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)} Matematika Diskrit

Latihan Jika diketahui X = {1,2,3,4} Tentukan relasi berikut memiliki sifat transitif atau tidak : R1 = {(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(4,2)} R2 = {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(4,4)} R3 = {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2)} R4 = {(1,3),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3)} R5 = {(1,2),(1,4),(2,2),(2,3),(3,4),(3,2),(4,1)} Matematika Diskrit

Latihan Jika A = {0, 1, 2, 3} R = {(0,1), (1,1), (1,2),(2,0), (2,2)} Tentukan : Klosur transitif Klosur simetris Jika A = {1, 2, 3,4} R = {(2,1), (2,3), (3,1), (3,4), (4,1), (4,3)} Klosur refleksif Matematika Diskrit