Regresi dengan Autokorelasi Pada Error

Autocorrelation Paling sering terjadi pada data deret waktu Terjadi ketika kovarians dan korelasi antar galat ≠ tidak sama dengan nol. Salah satu pelanggaran asumsi Paling sering terjadi pada data deret waktu Karena urutan pengamatan mempunyai makna Galat pada satu periode mempengaruhi galat pada periode berikutnya Terutama pada periode dengan jarak pendek (mis: harian) Pada data cross section jarang terjadi Karena urutan pengamatan tidak penting

Penyebab Autokorelasi Ommited important variable Misspecification of the model Systematic errors in measurement

Omitted variable Misalkan Yt dipengaruhi oleh X2t dan X3t Akan tetapi X3t tidak disertakan di dalam model. Sifat data time series: X3t berhubungan dengan X3,t-1, X3,t-2 Sehingga ut berhubungan dengan ut-1, ut-2

Misspecification of the model Misalkan Yt dipengaruhi oleh X2t secara kuadratik Akan tetapi suku kuadratik X2t tidak disertakan di dalam model. Jika X2t naik atau turun seiring waktu maka vt juga akan naik atau turun seiring waktu

Systematic Errors in Measurement Pengukuran yang dilakukan pada waktu tertentu Misalkan tingkat sediaan pada waktu t Terjadi kesalahan dalam pengukuran tersebut Jika variabel bersifat akumulatif, maka kesalahan pengukuran juga akan terakumulatif Error di pengamatan t dipengaruhi oleh error pada waktu sebelumnya

Jenis autokorelasi ρ menyatakan hubungan fungsional antar galat ut Yang paling sering terjadi adalah first order serial autocorrelation: AR(1) ρ menyatakan hubungan fungsional antar galat ut Koefisien dari first order autocorrelation, Bernilai di antara -1 s/d 1 Dan εt adalah galat yang iid

ρ=0, tidak ada autokorelasi ρ→1, positif korelasi serial, galat waktu sebelumnya sangat mempengaruhi galat saat ini. Galat waktu t-1 yang (-) diikuti oleh galat waktu t yang juga (-) Galat waktu t-1 yang (+) diikuti oleh galat waktu t yang juga (+) ρ→-1, negatif korelasi serial, galat waktu sebelumnya sangat mempengaruhi galat saat ini. Galat waktu t-1 yang (-) diikuti oleh galat waktu t yang (+) Galat waktu t-1 yang (+) diikuti oleh galat waktu t yang (-)

Positive Autocorrelation Autokorelasi positif, ditunjukkan oleh pola siklus dari galat seiring waktu.

Negative Autocorrelation Autokorelasi negatif, ditunjukkan dari pola yang ‘alternating’ dari galat seiring waktu

No pattern in residuals – No autocorrelation Tidak ada pola dari galat, tidak ada autokorelasi

Efek dari Autokorelasi Penduga OLS untuk koefisien regresi tetap tidak bias akan tetap tidak lagi efisien (ragam besar) Tidak lagi BLUE Penduga ragam bagi koefisien regresi menjadi bias dan tidak konsisten Uji hipotesis tidak lagi valid Tidak mencerminkan hal yang sebenarnya Overestimated R2: Lebih besar dari yang sebenarnya Model lebih sering dinyatakan ‘a good fit’ daripada hubungan yang sebenarnya Uji t juga lebih sering dinyatakan nyata

Efek matematis terhadap ragam penduga koefisien Ragam peragam penduga koefisien OLS tanpa autokorelasi:

Jika terdapat autokorelasi, maka: Ragam peragam penduga koefisien OLS dengan autokorelasi:

Detecting Autocorrelation:The Durbin-Watson Test Uji Durbin-Watson (DW): - Uji untuk first order autocorrelation AR (1) ut = ut-1 + vt dengan vt  N(0, v2). Hipotesis uji: H0 : =0 and H1 : 0 Statistik uji

The Durbin-Watson Test: Critical Values Dengan penyederhanaan: Sehingga: Untuk DW → 2, tidak akan ada cukup bukti untuk adanya autokorelasi Terdapat dua nilai kritis bagi DW, Upper critical value (du) Lower critical value (dL) Terdapat pula daerah yang ‘inconclusive’

The Durbin-Watson Test: Interpretasi hasil uji Syarat agar uji dapat dilakukan secara sah: 1. Ada suku konstan pada model regresi 2. Peubah eksogen non stokastik (fixed) 3. Tidak ada lag pada peubah eksogen

Uji Breusch-Godfrey Dapat dilakukan untuk menguji autokorelasi sampai derajat ke r Dengan mengkombinasikan sifat galat tsb dan model regresi: Hipotesis nol dan hipotesis alternatif: H0 : 1 = 0 dan 2 = 0 dan ... dan r = 0 H1 : 1  0 atau 2  0 atau ... atau r  0

Langkah-langkah uji Breusch-Godfrey Langkah 1: Dapatkan penduga bagi model regresi Langkah 2: Dapatkan penduga galat Langkah 3: Dapatkan penduga auxiliary regression bagi penduga galat sebagai fungsi dari seluruh peubah eksogen dan galat sejumlah lag yang ingin diuji

Langkah 4: Dapatkan statistik uji berdasarkan koefisien determinasi dari auxiliary regression R2 Langkah 5: Tolak H0 jika ada bukti yang nyata dari statistik uji Penentuan r tergantung dari periode data (bulanan, mingguan dsb) dan sifat siklusnya.

Cara Mengatasi Autokorelasi Berdasarkan pengetahuan tentang ρ diketahui ρ diketahui atau ρ tidak diketahui

Mengatasi autokorelasi ketika ρ diketahui ρ diketahui dan diasumsikan autokorelasi terjadi seusai AR(1) model. (1) Model yang sama berlaku pada waktu ke t-1 Model pada t-1 dikalikan dengan ρ (2)

Persamaan (1) dikurangi dengan persamaan (2) Akibat pembedaan, pengamatan berkurang 1 Pengamatan pertama digantikan dengan:

Mengatasi autokorelasi ketika ρ tidak diketahui: Cochrane-Orcutt Iterative Procedure Langkah 1: duga model regresi dan dapatkan penduga galat Langkah 2: duga koefisien korelasi serial orde 1 dengan metode OLS dari: Langkah 3: Lakukan transformasi untuk peubah peubah yang dipakai dengan hubungan berikut: Langkah 4: Dapatkan penduga regresi dan penduga galat untuk persamaan berikut:

Ulangi lagi langkah 2 sampai dengan 4 sampai dipenuhi kriteria berikut: