SISTEM PERSAMAAN LINEAR A. Sistem Persamaan Linear Jika sistem m persamaan linear dalam n bilangan tak diketahui x1,x2,…..,xn : a11x1 + a12x2 + ….+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ….+ a2nxn = b2 ………………………………… am1x1 + am2x2 + ….+ amnxn = bm

B. SPL Konsisten dan Inkonsisten Apabila SPL mempunyai penyelesaian, maka disebut sistem persamaan linear yang konsisten, sebaliknya SPL tidak mempunyai penyelesaian disebut sistem persamaan linear yang inkonsisten. Suatu SPL yang konsisten mempunyai penyelesaian tunggal atau penyele-saian sebanyak tak berhingga.

C. SPL dengan Matriks a11x1 + a12x2 + ….+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ….+ a2nxn = b1 ………………………………… am1x1 + am2x2 + ….+ amnxn = bm

atau AX = B dengan A=(aij) matriks koefisien, X=(x1,x2,…..,xn)* dan B=(b1,b2,…,bn)*. Matriks lengkap sistem tersebut adalah :

D. Pembagian SPL 1. SPL homogin a11x1 + a12x2 + …….. + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + …….. + a2nxn = 0 ……………………………………. am1x1 + am2x2 + …….. + amnxn = 0 Contoh : x1 – 2x2 + 3x3 = 0 x1 + x2 + 2x3 = 0

a21x1 + a22x2 + ….+ a2nxn = b2 ………………………………… 2. SPL non homogin a11x1 + a12x2 + ….+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ….+ a2nxn = b2 ………………………………… am1x1 + am2x2 + ….+ amnxn = bm CONTOH x1 – 2x2 + 3x3 = 4 X1 + x2 + 2x3 = 5

E. Penyelesaian SPL Non Homogin Khusus untuk m=n SPL yg non homogin, penyelesaian tunggal bila Det (A) ≠ 0 dapat menggunakan : 1. Aturan Cramer Pandang sistem n persamaan linear dalam n bilangan tak diketahui : a11x11 + a12x12 + ……..+ a1nx1n = b1 a11x11 + a12x12 + ……..+ a1nx1n = b2 ……………………………………….. an1x11 + an2x12 + ……..+ annxnn = bn

Determinan matriks koefisien adalah : Bila de(Ak) adalah determinan yang didapat dari det (A) dengan mengganti kolom ke k dengan suku tetap (b1 b2 ……bn), maka aturan Cramer mengatakan : k = 1,2,3,……,n

Contoh : Selesaikan SPL berikut ! 2x1 + 8x2 + 6x3 = 20 4x1 + 2x2 – 2x3 = -2 3x1 - x2 + x3 = 11 Penyelesaian : determinan matriks koefisien

Sedangkan :

(2). Menggunakan invers matriks Bila Det(A)≠ 0, maka A-1 ada AX = B A-1.AX = A-1.B Jadi : X = A-1 penyelesaian sistem ini. Catatan : Bila m=n dan Det(A) = 0, maka sistemnya mempu- nyai tak berhingga banyak penyelesaian. Contoh : selesaikan SPL berikut dengan mengguna kan invers matriks ! 2x1 + 3x2 + x3 = 9 x1 + 2x2 + 3x3 = 6 3x1 + x2 + 2x3 = 8

Penyelesaian : determinan matriks koefisien adalah :

(3). Metode Eliminasi Gauss Metode untuk memecahkan sistem-sistem persamaan linear dengan mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk eselon baris. Contoh : selesaikan SPL di bawah ini x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 dengan metode eliminasi Gauss !

Bentuk matriks dari persamaan linear di atas adalah : Penyelesaian : Bentuk matriks dari persamaan linear di atas adalah : Dengan mengubah matriks yang diperbesar menjadi bentuk eselon baris sebagai berikut :

Sistem yang bersesuaian dengan matriks ini adalah : x + y + 2z = 9 x = 9-y-2z ………….. (1) y – 7/2 z = -17/2 y =-17/2 +7/2 z …….. (2) z = 3 z = 3 …………………(3) Dengan substitusi diperoleh : x = 1 y = 2 z = 3

(4). Metode Eliminasi Gauss-Jordan

a11x1 + a12x2 + …….. + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + …….. + a2nxn = 0 F. Penyelesaian SPL Homogin Suatu SPL disebut homogin (homogeneous) jika semua bentuk konstantanya (bm) = 0, yaitu : a11x1 + a12x2 + …….. + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + …….. + a2nxn = 0 ……………………………………. am1x1 + am2x2 + …….. + amnxn = 0

SolusiTrivial x1=0,x2=0,..,xn=0 Solusi Nontrivial Solusi tak terhingga Konsisten Solusi Nontrivial Solusi tak terhingga Homogin Tidak Konsisten SPL 1. Metode Cramer 2. Metode Invers 3. Metode Gauss 4. Metode Gauss- Jordan Konsisten Non Homogin Tidak Konsisten

Ada satu kasus di mana sistem homogen bisa dipastikan memiliki solusi nontrivial, yaitu jika sistem tersebut melibatkan lebih banyak faktor yg tidak diketahui dibandingkan jumlah persamaan yg ada. Contoh : Selesaikan SPL homogin berikut dgn menggu nakan eliminasi Gauss-Jordan ! 2x1+2x2- x3 +x5 = 0 -x1- x2 +2x3 – 3x4+x5 = 0 x1 + x2 – 2x3 - x5 = 0 x3 + x4 +x5 = 0

Matriks yang diperbesar dari SPL di atas :

Sistem persamaan yg bersesuaian : x1 + x2 + x5 = 0 x3 + x5 = 0 x4 = 0 Jadi : x1 = -x2 – x5 x3 = -x5 x4 = 0 Solusi umum : x1 = -s-t, x2 = s, x3 = -t, x4 = 0 x5 = t