ESTIMASI

ditaksir dari statistik sampel () ESTIMASI  Menaksir harga PARAMETER populasi berdasarkan STATISTIK sampel KONSEP DASAR ESTIMASI (PENAKSIRAN) Nilai parameter () dapat dihitung langsung, tetapi biasanya  tidak diketahui ditaksir dari statistik sampel () ˆ

 disebut Estimator = Penaksir = Penduga Idealnya  =  ˆ  disebut Estimator = Penaksir = Penduga Idealnya  =  Kenyataannya, dapat : * Terlalu tinggi    * Terlalu rendah    ˆ ˆ Estimator yang tidak baik ˆ

Idealnya, estimator menaksir parameter populasi tanpa kesalahan atau tidak menyimpang terlalu jauh ESTIMATOR YANG BAIK : 1. Unbiased (Tidak bias) 2. Efisien 3. Konsisten

UNBIASED ESTIMATOR Bila statistik sampel (misalX) tepat sama / ’mengenai’ parameter populasi (misal ) X unbiased estimator bagi  E () =  Bias = E () -  * E () >   Bias positif (Overestimate) * E () <   Bias negatif (Underestimate) Cara menghindari bias  Sample at random ˆ ˆ ˆ ˆ

UNBIASED BIASED E () =  ˆ E () ≠  ˆ  ˆ   sebenarnya

EFISIEN Bila ada beberapa penaksir (estimator) yang tidak bias (1, 2, ... , dst) terhadap populasi ( yang sama), penaksir yang paling baik/paling efisien adalah yang mempunyai VARIANS PALING KECIL Variansi 1 EFISIENSI = ------------------ Variansi 2 Varians = 2/n  Penaksir akan lebih efisien bila n ˆ ˆ ˆ ˆ

1 2 ˆ ˆ Kurva 1 dan 2  penaksir tidak bias terhadap  ˆ ˆ ˆ   sebenarnya Kurva 1 dan 2  penaksir tidak bias terhadap  ˆ ˆ ˆ 1 penaksir lebih efisien daripada 2, karena varians-nya lebih kecil ˆ

KONSISTEN  Bila penaksir terkonsentrasi pada daerah di sekitar   Bila ukuran sampel diperbesar sampai  Atau bila perbedaan (bias) estimator semua parameter untuk semua ukuran sampel = nol  dapat dicapai bila Varians = 2/n = 0 bila n = 

n=200 n=50 n=10 n=5  sebenarnya ˆ 

CARA MENAKSIR 1. Estimasi Titik (Point Estimate) - Nilai tunggal dari data sampel - Mengajukannya sebagai parameter yang akan diduga - Contoh : Menaksir tinggi badan rata-rata mahasiswa UNAIR dari sampel random x = 163 cm - Harga titik penaksir berlainan dan tergantung hargax dari sampel yang diambil  Kurang dipercaya  Dipakai estimasi interval

2. Estimasi Interval (Interval Estimate)  memperkirakan parameter populasi dengan menggunakan nilai dalam interval  Ada 2 nilai : Nilai Atas dan Nilai Bawah 1 <  < 2 ˆ ˆ

PENAKSIRAN HARGA MEAN POPULASI () MELALUI HARGA X Bila  diketahui Sampling distribution of the mean : x -  Z = ---------- SE  = x  Z . SE tanda + dan - menyatakan batas atas dan batas bawah penaksiran

Untuk 95% kemungkinan kejadian akan terdapat : - batas bawah - Z = -1,96 - batas atas +Z = +1,96 Jarak kedua batas = Confidence Interval atau Confidence Level

Confidence Level (Derajat Kepercayaan) 95% artinya dengan probabilitas 95% maka interval tersebut akan memuat mean populasi  Di luar batas-batas interval tersebut  area ketidakpercayaan

* Derajat Kepercayaan 0,95 artinya : bila percobaan dilakukan berulang-ulang (replikatif), maka dari tiap 100 percobaan akan ada 95 yang mengandung  populasi dengan intervalx  Z . SE , sisanya (5%) akan berada di luarnya dan tidak dapat ditaksir

-1,96 +1,96 LOWER CONFIDENCE LIMIT UPPER CONFIDENCE LIMIT CONFIDENCE INTERVAL = DERAJAT KEPERCAYAAN -1,96 +1,96 CONFIDENCE INTERVAL = (1- ) 100% AREA KETIDAKPERCAYAAN = /2 AREA KETIDAKPERCAYAAN = /2

RUMUS (1-) 100% Confidence Interval untuk  : x + Z/2 . /n <  < x + Z1-/2 . /n

Contoh : Dari sampel random n = 100 diperolehx = 9,5 dan s = 0,5 . Bila  = 0,25 , dengan Confidence Interval 95%, berapakah taksiran untuk  ? 95% Confidence Interval untuk  : 9,5 + Z0,025 . 0,25/100 <  < 9,5 + Z0,975 . 0,25/100 9,5 - 1,96 . 0,25/10 <  < 9,5 + 1,96 . 0,25/10 9,451 <  < 9,549

2. Bila  tidak diketahui - Kenyataannya sering  tidak diketahui  digunakan SD sampel dan tabel t untuk menentukan batas kepercayaan atas dan bawah sesuai dengan Confidence Intervalnya Rumus : x -  t = --------- s/n

x + t/2 (df=n-1) . s/n <  < x + t1-/2 (df=n-1) . s/n (1-) 100% Confidence Interval untuk  x + t/2 (df=n-1) . s/n <  < x + t1-/2 (df=n-1) . s/n df = degree of freedom = derajat kebebasan

Contoh : Sampel acak n = 25 dipilih dari populasi orang dewasa laki-laki, diukur Hb-nya. Diperoleh x = 12 g%, s=1,5 g%. Dengan Interval Kepercayaan 95% berapa perkiraan  di populasi ? 12 + t0,025 (df=24) . 1,5/25 <  < 12 + t0,975 (df=24) . 1,5/25 12 - 2,064 . 1,5/5 <  < 12 + 2,064 . 1,5/5 11,3808 <  < 12,6192

PENAKSIRAN SIMPANGAN BAKU () DAN VARIANS (2) DI POPULASI Penaksiran 2 melalui batas kepercayaan berdasarkan distribusi sampling s2 Diketahui distribusi sampling s2 yang diperoleh dari percobaan distribusi 2

(1-) 100% Confidence Interval untuk 2 (n-1) . s2 (n-1) . s2 ------------------ < 2 < ------------------ 21-/2 (df=n-1) 2/2 (df=n-1) (1-) 100% Confidence Interval untuk  (n-1) . s2 (n-1) . s2 ------------------ <  < ------------------  21-/2 (df=n-1)  2/2 (df=n-1)

PENAKSIRAN PROPORSI () DI POPULASI * Sampel random (n) dipilih dari populasi (N) di mana terdapat proporsi  untuk peristiwa A dalam populasi. Selanjutnya, terdapat sejumlah x peristiwa A di sampel p = x/n q = 1 - p = 1 - x/n Titik penaksiran  adalah x/n

Untuk (1-) 100% Confidence Interval p + Z/2 .  p (1-p) / n <  < p + Z1-/2 .  p (1-p) / n

Contoh : Hendak ditaksir prevalence rate Gondok Endemik di populasi. Dari sampel random n = 625 terdapat 125 penderita. Berapa prevalence rate Gondok Endemik di populasi dengan C.I. 0,95 ? p = x/n = 125/625 = 0,2 1-p = 1 - 0,2 = 0,8 0,2 + Z0,025 .0,2. 0,8/625 <  < 0,2 + Z0,975 .0,2. 0,8/625 0,169 <  < 0,231

ESTIMASI HARGA  Dengan (1-) . 100% Confidence Interval , nilai  berada dalam interval : ½ ln (1+r)/(1-r) + Z/2 . 1/(n-3) <  < ½ ln (1+r)/(1-r) + Z1-/2 . 1/(n-3) Misal : r = 0,737 0,203 <  < 1,684 0,203 <  < 1

MENENTUKAN BESAR SAMPEL * Ketika menaksir  berdasarkanx , maka b =  -x  * Untuk koefisien kepercayaan  dan populasi berdistribusi normal dengan  diketahui, maka :  . Z/2 2 n = ------------- b

Jika yang ditaksir proporsi  Z/2 2 n =  (1-) ------- b