1 5. Fungsi dari Satu Peubah Acak Mis X adl p.a. yg terdef pada model dan misalkan g(x) adl sebuah fungsi dalam peubah x. Didefinisikan Apakah Y adl sebuah p.a.? Jika ‘Ya’, tentukan FDK dan FPM ! Apabila Y adl p.a., untuk setiap himp Borel B, himp titik2 elementer ξ dg Y( ξ )  B harus mrpk unsur dari F. Karena X adl sebuah p.a., hal di atas pasti terjadi apabila juga himp Borel, yaitu jika g(x) adl sebuah fungsi Borel. Dlm hal ini, X p.a. berakibat Y p.a. dan untuk setiap himp Borel B (5-1) (5-2)

2 Pada khususnya Jadi FDK dan FPM dari Y bisa ditentukan berdasarkan distr dari X. Untuk menentukan distribusi dari Y, harus dicari himp2 Borel pada sumbu-x sdmk rupa shg untuk setiap y, dan peluang himp tersebut. Sampai di sini, kita akan membicarakan beberapa contoh fungsi2 berikut dg tujuan memberi ilustrasi rincian teknis diskusi di atas. (5-3)

3 Contoh 5.1: Y = aX + b Solusi: Jika a > 0, maka Berdasarkan x = (y  b)/a dan aturan rantai Dari lain pihak, jika a < 0 maka sehingga (5-4) (5-5) (5-6) (5-7) (5-8)

4 Dari (5-6) dan (5-8), diperoleh (berlaku untuk setiap a) Contoh 5.2: Jika y < 0, maka kejadian dan di sini Utk y > 0, dari Fig. 5.1, kejadian ekuivalen dengan kejadian (5-9) (5-10) (5-11) (5-12) Fig. 5.1

5 Jadi Berdasarkan x = dan aturan rantai, diperoleh Jika f X (x) adalah suatu fungsi genap, maka (5-14) menjadi Pada khususnya ketika X  N(0,1) (X terdistr normal baku), (5-14) (5-15) (5-16) (5-13)

6 dan setelah disubstitusi ke (5-14) atau (5-15), diperoleh FPM dari Y = X 2 sebagai Dg membandingkan ke (3-36), ternyata (5-17) adalah FPM distr Chi-square dg n = 1, karena Jadi, jika X adl p.a. Gauss dg  = 0, maka Y = X 2 berdistribusi Chi- square dg satu derajat kebebasan (n = 1). Contoh 5.3: Misalkan (5-17)

7 Dalam kasus ini, Utk y > 0, berlaku x > c dan Y(ξ) = X(ξ)  c shg Utk y > 0, berlaku x <  c dan Y(ξ) = X(ξ) + c shg Jadi (5-18) (5-19) (5-20) (5-21) (a) (c) (b) Fig. 5.2

8 (5-22) Fig. 5.3 (5-23) (5-24) (5-25) Contoh 5.4: Half-wave rectifier dimodelkan dengan Dalam kasus ini dan utk karena Jadi

9 PEDOMAN UMUM: Jika diketahui sket grafik dari y = g(x) dan tentukan daerah jangkauan y. Misalkan adl daerah jangkauan nilai2 y = g(x). Jelas untuk y b, F Y (y) = 1 sehingga 0 < F Y (y) < 1 hanya pada selang a < y < b. Langkah berikut- nya adl menentukan ada tidaknya titik diskontinyu pada daerah jangkauan y tsb. Jika y i adl salah satu di antara titik diskontinyu, hitung di titik ini. Pada titik-titik kontinyu dari y, gunakan perhitungan standard berikut spt biasa dan untuk setiap y, tentukan (peluang) kejadian2 terkait berdasarkan p.a. X. Ingat, F Y (y) harus didefinisikan pada dan bisa digunakan untuk mendapatkan

10 Tetapi, jika y = g(X) kontinyu, bisa dengan mudah dibuat prosedur langsung untuk mendapatkan f Y (y). Karena g(x) kontinyu dan tak pernah nol pada hampir seluruh garis bilangan, kecuali pada sebanyak hingga titik2, maka hanya ada sebanyak hingga titik max dan min dari g(x), dan untuk nilai2 x yang nominalnya cukup besar (| x |   ), fungsi g(x) menjadi monoton. Perhatikan suatu nilai y pada sb-Y dan satu geseran positif sebesar Δy (Fig. 5.4) Fig. 5.4 Akan ditentukan f Y (y) utk Y = g(X) di mana g adalah suatu fungsi kontinyu.

11 Dengan (3-28) kita bisa menulis Ttp kejadian juga dpt dinyatakan dalam p.a. X(ξ). Fig. 5.4 memberi ilustrasi suatu persamaan yg memberikan tiga solusi x 1, x 2 dan x 3 (untuk suatu pilihan nilai y). Sebagai akibatnya, jika, maka p.a. X memenuhi paling sedikit satu dari ketiga pertaksa- maan yang bersesuaian dg ketiga buah selang ME berikut: Jadi peluang kejadian (5-26) adl jumlah dari peluang masing-masing ketiga kejadian ME di atas, yaitu (5-26) (5-27)

12 Utk nilai2 yg kecil, dengan pendekatan (5-26) bisa diperoleh Dalam kasus ini, dan shg (5-28) bisa ditulis ulang sebagai dan apabila (5-29) dapat dinyatakan sebagai Indeks jumlah i dalam (5-30) tergantung y, dan untuk men- dapatkan banyak solusi untuk setiap nilai y, pers y = g(x i ) harus diselesaikan dan solusi sesungguhnya x 1, x 2, x 3, … harus dinyatakan dalam peubah y. (5-28) (5-29) (5-30)

13 (5-31) Fig. 5.5 Sebagai contoh, jika Y = X 2, maka utk setiap y > 0, x 1 = dan menyatakan dua solusi untuk y. Perhatikan bah- wa semua solusi x i dinyatakan dalam peubah y shg ruas kanan (5-30) adl fungsi dari y saja. Kembali ke contoh (Contoh 5.2: Y = X 2 ), untuk setiap y > 0, terdapat dua buah solusi yang dinyatakan oleh dan (serta utk ). Lebih jauh, dan dg menggunakan (5-30) diperoleh hasil yang sesuai dg (5-14).

14 Contoh 5.5: Find Solusi: Untuk setiap y, x 1 = 1/y adalah satu2-nya solusi dan Substitusi hasil ini ke (5-30), diperoleh Pada khususnya, apabila X adl p.a. Cauchy (mis. (3-39)) dg parameter sehingga Dari (5-33), FPM dari adalah (5-33) (5-32) (5-34) (5-35)

15 Ttp (5-35) adl FPM dari p.a. Cauchy dg parameter 1/α. Jadi jika X  C(α), maka 1/X  C ( 1/α ). Contoh 5.6: Apabila dan Tentukan Solusi: Krn X berpeluang nol terletak di luar selang (0, π), y = sin x berpeluang nol untuk berada di luar selang (0, 1). Jelas, di luar selang ini. Utk setiap y  (0, 1) dan dari Fig.5.6(b), pers y = sin x memiliki tak hingga banyak solusi x 1, x 2, x 3, … di mana x 1 = sin  1 y adalah solusi utama. Lebih jauh, dengan menggunakan sifat simetri, diperoleh x 2 = π  x 1, dst. Lebih jauh lagi, sehingga

16 Substitusi hasil ini ke (5-30), untuk diperoleh Tetapi dari Fig. 5.6(a), dalam kasus ini f X (x  1 ) = f X (x 3 ) = … = 0 (selain di titik f X (x 1 ) dan f X (x 2 ), sisanya bernilai nol). (5-36) (a) (b) Fig. 5.6

17 Jadi (Fig. 5.7) Contoh 5.7: Let Y = tan X di mana X  U(  π/2, π/2). Tentukan f Y (y)! Solusi: Ketika x bergerak dari  π/2 ke π/2, y bergerak dari  ke . Dari Fig.5.8(b), fungsi bersifat 1-1 dan untuk Utk setiap y, adalah solusi utama. Lebih jauh, (5-37) Fig. 5.7

18 shg dg menggunakan (5-30) yaitu FPM Cauchy dg parameter 1 (Fig. 5.9). (5-38) (a) Fig. 5.9 (b) Fig. 5.8

19 Fungsi dari Peubah Acak Jenis Diskrit Suppose X is a discrete-type r.v with and Clearly Y is also of discrete-type, and when and for those Example 5.8: Suppose  so that Define Find the p.m.f of Y. Solution: X takes the values so that Y only takes the value and (5-39) (5-40) (5-41) PILLAI

20 so that for (5-42) PILLAI