Fungsi distribusi dari Y adalah : G(y)=Pr(Y≤y)=Pr(u(X ≤y)=Pr(X≤w(y))= Selanjutnya misalkan Y=u(X) adalah fungsi dari variabel random kontinu X dengan ruang A Misalkan y=u(x) adalah fungsi kontinu naik, sehingga inversnya juga x=w(y) juga merupakan fungsi kontinu naik Fungsi distribusi dari Y adalah : G(y)=Pr(Y≤y)=Pr(u(X ≤y)=Pr(X≤w(y))= dimana f(x) adalah pdf dari X Dengan menggunakan teorema dasar kalkulus diperoleh pdf dari Y : B

dimana B= {y: y=u(x), x ε A } Jika konvergen absolut, maka nilai ekpektasi dari Y adalah : Karena y=u(x), maka akan ditunjukkan bahwa : sehingga nantinya dapat ditulis :

Perhatikan Lakukan metode substitusi, dengan memisalkan y=u(x) atau x=w(y) dan dx/dy=w’(y) > 0, maka : Jadi dapat ditulis untuk kasus kontinu : dan kasus diskrit :

Sifat-sifat E(X) E(k) = k, k konstanta E(kV)= k E(V) E(k1V1+k2V2) = k1 E(V1) + k2 E(V2) E adalah operator linier

Beberapa ekpektasi khusus Misalkan X adalah variabel random yang mempunyai pdf f(x) Berikut ini adalah beberapa ekpektasi khusus : 1. μ = E(X), disebut nilai mean dari X 2. disebut nilai variansi dari X, sedangkan disebut standar deviasi dari X 3. disebut moment generating function MGF dari variabel random X kontinu

Untuk variabel random diskrit X, MGF nya adalah MGF dari variabel random X disebut juga MGF dari suatu distribusi, tetapi tidak setiap distribusi mempunyai MGF Apabila suatu distribusi mempunyai MGF maka MGF nya unik Jadi jika 2 var random mempunyai MGF yang sama, maka variabel-variabel random tersebut mempunyai distribusi yang sama

Karena suatu distribusi yang mempunyai MGF M(t) ditentukan secara lengkap oleh M(t), maka dapat ditentukan beberapa sifat distribusi secara langsung dari M(t) Maksudnya : Keberadaan M(t) untuk –h<t<h, menyebabkan turunan-turunannya ada di t=0 Jadi jika : maka :

Jika m bilangan bulat positif dan jika adalah turunan ke-m dari M(t) maka : disebut momen ke-m dari suatu distribusi Karena M(t) membangkitkan nilai-nilai dari M=1,2,3,… maka M(t) disebut momen generating function

Contoh Diketahui variabel random diskrit X memiliki pdf f(x) Hint : diketahui bahwa deret konvergen ke MGF dari distribusi ini jika ada, adalah : Dengan menggunakan uji rasio dapat ditunjukkan bahwa deret tersebut divergen jika t ≥0 Berarti tidak terdapat bilangan positif h sedemkian

sehingga M(t) ada untuk –h<t<h Ini menunjukkan bahwa distribusi tersebut tidak mempunyai MGF

Probabilitas Bersyarat Pada suatu percobaan random misalkan kita hanya tertarik menyelidiki hasil-hasil percobaan yang merupakan elemen-elemen dari suatu subset C1 dimana C1  C Ini berarti ruang sampel yang efektif adalah C1 Selanjutnya akan didefinisikan suatu fungsi himpunan probabilitas dengan C1 sebagai ruang sampel baru Misalkan fungsi himpunan probabilitas P(C) ditentukan terhadap ruang sampel C dan misalkan

Ambil C2 subset lain dari C C1  C sedemikian sehingga P(C1) >0 Ambil C2 subset lain dari C Relatif terhadap ruang sampel baru, akan didefinisikan probabilitas dari kejadian C2 Probabilitas ini disebut probabilitas bersyarat dari C2 relatif terhadap kejadian C1 atau probabilitas bersyarat dari C2 diberikan C1, dinotasikan P(C2|C1) Karena C1 merupakan ruang sampel baru, maka elemen-elemen C2 yang berhubungan dengan ini hanyalah elemen-elemen yang juga elemen-elemen dari C1, yaitu elemen-elemen dari C1 ∩ C2

P(C2|C1) didefinisikan sehingga P(C1|C1) = 1 dan P(C2|C1)= P(C1 ∩ C2|C1) Dalam hal ini : Berarti : Ini merupakan definisi dari probabilitas bersyarat kejadian C2 diberikan C1 dengan syarat P(C1)>0 Dapat ditunjukkan bahwa P(C2|C1) adalah fungsi himpunan probabilitas : 1. P(C2|C1) ≥ 0 2. 3. P(C1|C1) = 1

P(C2|C1) merupakan fungsi himpunan probabilitas yang didefinisikan untuk subset- subset dari C1, dan disebut sebagai fungsi himpunan probabilitas bersyarat relatif terhadap kejadian C1 atau fungsi himpunan probabilitas bersyarat diberikan C1 Contoh : 5 kartu diambil secara acak dan tanpa pengembalian dari setumpuk kartu permainan yang terdiri dari 52 kartu. Tentukan probabilitas bersyarat bahwa semua kartu yang diambil ialah sekop, relatif terhadap hipotesis bahwa paling sedikit ada 4 kartu sekop

Contoh 2: Sebuah mangkok berisi 8 kepingan ; 3 keping warna merah dan 5 keping berwarna biru. 2 keping diambil secara acak tanpa pengembalian. Tentukan probabilitas bahwa pengambilan pertama berwarna merah dan pengambilan kedua berwarna biru

Contoh 3 : Dari setumpuk kartu permainan, kartu-kartu diambil secara acak tanpa pengembalian. Misalkan : C1 : kejadian 2 sekop dalam 5 pengambilan pertama C2 : kejadian sebuah sekop pada pengambilan ke-6 Tentukan probabilitas bahwa sekop ketiga muncul pada pengambilan ke-6

Contoh 4 : 4 kartu diambil secara acak dan tanpa pengembalian dari setumpuk kartu Tentukan probabilitas untuk mendapatkan satu sekop, satu hati, satu berlian dan satu keriting

Teorema Bayes Misalkan kejadian – kejadian merupakan partisi dari C dan kejadian – kejadian mutually exclusive dan exhaustive sedemikian sehingga P(Ci )>0, i=1,2,3,…,k Kejadian tidak perlu equally likely Misalkan C suatu kejadian diC sedemikian sehingga dimana saling lepas atau mutually exclusive

Berarti berlaku : Sudah diketahui bahwa : Dengan demikian maka : Persamaan diatas disebut “law of total probability”

Selanjutnya misalkan P(C)>0 Selanjutnya misalkan P(C)>0. Berdasarkan definisi probabilitas bersyarat dan dengan menggunakan law of total probability diperoleh : Persamaan diatas disebut Teorema Bayes Contoh : Misalkan terdapat 2 mangkok C1 dan C2 yang berisi bola. Mangkok C1 berisi 3 bola merah dan 7 bola biru. Mangkok C2 berisi 8 bola merah dan 2 bola biru. Pemilihan mangkok C1 dan C2 tergantung dari hasil pelemparan sebuah dadu. Apabila dari hasil pelemparan dadu muncul muka 5

atau muka 6, maka mangkok C1 yang terpilih Kalau yang muncul muka yang lain, maka mangkok C2 yang terpilih. Setelah mangkok terpilih, dilakukan pengambilan secara acak sebuah bola dari mangkok tersebut. Misalkan yang terambil adalah bola merah. Tentukan probabilitas bersyarat mangkok C2 yang terpilih jika diberikan bahwa bola merah yang terambil. Jawab : P(C1) = 2/6, P(C2) = 4/6 Misalkan kejadian bola merah terambil dinotasikan C Ini berarti dan Probabilitas bersyarat mangkok C2 yang terpilih jika diberikan bahwa bola merah yang terambil =

Probabilitas P(C1) = 2/6 dan P(C2) = 4/6) disebut probabilitas prior Sedangkan disebut probabilitas posterior

BAB 2 : DISTRIBUSI MULTIVARIAT

Distribusi dari 2 variabel random Perhatikan ilustrasi berikut ini ; Misalkan sebuah koin dilemparkan sebanyak 3 kali Ruang sampelnya adalah : C = {c : Selanjutnya misalkan terdapat variabel random X1 dan variabel random X2 , dimana : X1 : jumlah Head pada 2 lemparan pertama X2 : jumlah Head pada seluruh lemparan

Berikut akan didefinisikan ruang A Berikut ini akan dibentuk pasangan terurut (x1,x2) dimana x1 = X1 (c) dan x2 = X2 (c) untuk c ε C Jadi pemetaannya adalah :C → A Jadi untuk kasus diatas : A = {(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)} Berikut akan didefinisikan ruang A Definisi : Diberikan sebuah percobaan random dengan ruang sampel C . Ditentukan 2 var random X1 dan variabel random X2 dimana pasangan fungsi tersebut memetakan setiap elemen c ε C ke satu dan hanya satu pasangan berurut (X1(c)=x1 , X2 (c) =x2)

Dengan demikian ruang dari (X1,X2) adalah himpunan pasangan berurut : A = {(x1,x2) : x1=X1(c), x2=X2 (c), c ε C } Misalkan A adalah ruang dari variabel random X1 dan variabel random X2 dan misalkan A Akan didefinisikan probabilitas dari kejadian A, dinotasikan dengan Pr((X1,X2 ) ε A ) Ambil C={c : c ε C dan (X1,X2 ) ε A }, maka Pr((X1,X2 ) ε A)=P(C) dimana adalah fungsi himpunan probabilitas yang didefinisikan pada C

Pr((X1,X2 ) ε A) ditulis sebagai atau P(A) P(A) juga merupakan fungsi himpunan probabilitas yang didefinisikan pada A Contoh : Dari ilustrasi sebelumnya diperoleh : A = {(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)} Misalkan A={(1,1),(1,2)} A } Jadi P(A) = Pr((X1,X2 ) ε A)=P(C) dimana

Berikut ini adalah tabel probabilitas untuk setiap elemen di A Tabel diatas merupakan distribusi probabilitas dari elemen-elemen pada A Sifat-sifat fungsi himpunan probabilitas pada 1 var random juga berlaku disini Misalkan f(x,y) didefinisikan pada A dan f(x,y)=0 untuk yang lainnya, maka berlaku : (x1 , x2 ) (0,0) (0,1) (1,1) (1,2) (2,2) (2,3) Pr(x1 , x2 ) 1/8 2/8

P(A ) = 1, yaitu : Contoh : Misalkan