Himpunan

Obyek dalam himpunan disebut elemen atau anggota (member) Definisi: himpunan (set) adalah kumpulan obyek-obyek tidak urut (unordered) Obyek dalam himpunan disebut elemen atau anggota (member) Himpunan yang tidak berisi obyek disebut himpunan kosong (empty set), lambangnya { } atau Ø Universal set berisi semua obyek yang sedang dibahas Contoh : A = { a, e, i, o, u } S=U = himpunan semua huruf

Cara menyatakan/representasi himpunan: Diagram (Diagram Venn) Contoh di gambar berikutnya. 2. Menyebutkan unsur-unsurnya Contoh: A={Januari, februari, maret, …, Desember} B={1,2,3,4,…} Dengan kalimat/kata-kata contoh: A=himpunan binatang ternak yg berkaki 2 B=himp. Mhs upi dari papua, dst. A={xBil Bulat, x<7} Dengan Notasi 3

Diagram Venn Salah satu cara merepresentasikan himpunan U S a e u i o

Contoh (example 4): N = { 0, 1, 2, 3, …. } = himpunan bilangan natural Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. } = himpunan bilangan bulat (integer) Z+ = { 1, 2, 3, …. } = himpunan integer positif Q = { p/q | p  Z, q  Z, q  0 } = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan nyata (real numbers)

Definisi: A dan B merupakan himpunan A = B jika dan hanya jika elemen-elemen A sama dengan elemen-elemen B A  B jika dan hanya jika tiap elemen A adalah elemen B juga x (x  A  x B) catatan: { }  A dan A  A A  B jika A  B dan A  B |A| = n di mana A himpunan berhingga (finite set) (Himpunan A berisi n obyek yang berbeda) disebut banyaknya anggota (cardinality) dari A

The Power Set: The Cartesian Product (X): A adalah himpunan berhingga dengan n anggota Maka power set dari A -dinotasikan P(A)- adalah himpunan dari semua subset(himp bagian) dari A dan |P(A)| = 2n Contoh: A = { a, b, c} P(A) = { { }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} } The Cartesian Product (X): A dan B adalah himpunan, maka A  B = { (a, b) | a  A dan b  B}

Contoh: A = { 1, 2 } B = { p, q } A X B = { (1, p), (1, q), (2, p), (2, q) } ordered pairs Selanjutnya … A X A X A = { (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2) } ordered triples Secara umum: (a1, a2, a3, a4) ordered quadruple (a1, a2, a3, a4, ….an) ordered n-tuple

Contoh: Diketahui A={a,b,c,d}. Tentukan Banyaknya himpunan bagian dari A yang banyak anggotanya 3 M adalah himpunan huruf yang terdapat dari kata ‘CATATAN’, tentukan banyaknya himpunan bagian dari M yang tidak kosong H himpunan huruf yang terdapat dalam kata ‘PRAKIRAAN’, tentukan banyaknya himpunan bagian dari H yang anggotanya terdiri dari dua atau lebih unsur. 9

Operasi terhadap himpunan: A dan B himpunan 1. A  B = { x | x  A atau x  B }, dengan  => gabungan 2. A  B = { x | x  A dan x  B }, dengan  => irisan jika A  B = { } maka A dan B disebut disjoint = tidak ada unsur yang beirisan 3. A – B = { x | x  A dan x  B } 4. A’ = { x | x  A} = U – A, di mana U = universal set A’= komplemen 5. A  B = { x | x  A  x  B }  = xor 10

Diketahui: P={3,5}, Q={3,4,5} R={3,4,5,6,7} . Tentukan: (P Q) R dan (P Q) R 2. Diketahui himpunan A={x, 0≤x<1} dan B={y, y bilangan bulat lebih kecil dari 7}. Tentukan A B Diketahui: P={x, dan Q={x, } Tentukan P-Q 4. Jika P={x, dan Q={x, Tentukan P’  Q’ 11

Identitas himpunan: lihat tabel di halaman 89 Contoh: Buktikan hukum De Morgan A  B = A  B Bukti: A  B = { x | x  (A  B) } = { x |  ( x  (A  B) ) } = { x |  ( (x  A)  (x  B) ) } = { x | (x  A)  (x  B) } = { x | (x  A)  (x  B) } = { x | x  ( A  B ) }

Representasi komputer untuk himpunan: U = universal set berhingga S = himpunan Maka x  S dinyatakan dengan bit “1” dan x  S dinyatakan dengan bit “0” Contoh: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } S = { 1, 3, 5, 7, 9 } S direpresentasikan dengan 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Contoh: U = { semua huruf kecil } S = { a, e, i, o, u } Representasinya: 10001 00010 00001 00000 10000 0

Prinsip inklusi-eksklusi Sub-bab 6.5

Prinsip inklusi-eksklusi: |A  B| = |A| + |B| – |A  B| |A  B  C| = |A| + |B| + |C| – |A  B| – |A  C| – |B  C| + |A  B  C| |A  B  C  D| = |A| + |B| + |C| + |D| – |A  B| – |A  C| – |A  D| – |B  C| – |B  D| – |C  D| + |A  B  C| + |A  B  D| + |A  C  D| + |B  C  D| – |A  B  C  D|

Contoh: Dari survei terhadap 50 mhs PP+RTU UPI 2010 didapatkan hasil sbb.: 20 mhs menyenangi Matematika, 30 mhs menyenangi Fisika, 10 mhs tdk menyenangi keduanya, Berapa orang mhs yang menyenangi keduanya?

A = {mhs yang suka Matematika} B = {mhs yang suka Fisika} |S| = 50 |A|=30 |B|=20 |A  B|= |S|-10= 50-10=40 |A  B| = |A| + |B| – |A  B| 40 =30+20- |A  B| =50- |A  B| Jadi mereka yang suka kedua pemrograman tersebut ada sebanyak 50-40 = 10 orang

Contoh: Rosen halaman 456 no. 7 Dari survei terhadap 270 orang didapatkan hasil sbb.: 64 suka mie bakso, 94 suka mie ayam, 58 suka pecel, 26 suka mie bakso dan mie ayam, 28 suka mie bakso dan pecel, 22 suka mie ayam dan pecel, 14 suka ketiga jenis makanan tersebut. Berapa orang yang tidak suka semua makanan yang di atas ?

A = {orang yang suka mie bakso } B = {orang yang suka mie ayam } C = {orang yang suka pecel } |A  B  C| = |A| + |B| + |C| – |A  B| – |A  C| – |B  C| + |A  B  C| = 64 + 94 + 58 – 26 – 28 – 22 + 14 = 154 Jadi mereka yang tidak suka ketiga jenis makanan tersebut ada sebanyak 270 – 154 = 116 orang

Mie baso Mie ayam b c a e f d g Pecel 64 suka mie bakso, 94 suka mie ayam, 58 suka pecel, 26 suka mie bakso & mie ayam, 28 suka mie bakso & pecel, 22 suka mie ayam 14 suka ketiga jenis makanatsb b c a e f d g Pecel

Mie bakso Mie ayam e = 14 pecel b = 12 a = 24 c = 60 f = 8 d = 14 64 suka mie bakso, 94 suka mie ayam, 58 suka pecel, 26 suka mie bakso & mie ayam, 28 suka mie bakso & pecel, 22 suka mie ayam 14 suka ketiga jenis sayur tsb a + b + d + e = 64 b + c + e + f = 94 d + e + f + g = 58 b + e = 26 d + e = 28 e + f = 22 e = 14 b = 12 a = 24 c = 60 e = 14 f = 8 d = 14 g = 22 pecel yang tidak makanan tsb = 270-24-12-60-14-14-8-22 = 116