SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL) Tatap Muka 26 Maret 2012 BY NURUL SAILA

Sub Pokok Bahasan: Persamaan Linier Sistem Persamaan Linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan BY NURUL SAILA

“Persamaan Linier” Definisi: Persamaan linier adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu. Persamaan linier dalam n variable x1, x2, …, xn adalah sebuah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a1 x1+ a2 x2 + … + an xn = b dimana a1, a2, …, an, b adalah konstanta- konstanta riil.

“Menyelesaikan Pers. Linier” Pemecahan persamaan linier: a1 x1+ a2 x2 + … + an xn = b adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, …, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubstitusikan x1= s1, x2 = s2, …, xn = sn. Himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahannya.

contoh: Tentukan selesaian dari persamaan- persamaan berikut: 2x + 3 = -7 2x + 3y -2 = 10 2x + 3y + 5z + 10 = 15

“Sistem Persamaan Linier” Sebuah himpunan berhingga dari persamaan linier dalam variable-variabel x1, x2, …, xn dinamakan sebuah system persamaan linier atau sebuah system linier. Sistem persamaan linier yang terdiri dari m persamaan dalam n variable adalah:

Sebuah urutan bilangan-bilangan s1, s2, …, sn dinamakan sebuah pemecahan system tersebut jika x1= s1, x2 = s2, …, xn = sn.adalah sebuah pemecahan dari tiap-tiap persamaan di dalam system tersebut. Contoh: Perhatikan sistem persamaan linier berikut: 2x + 3y – 5z = -8 -x –y + 15z = 42 5x -2y + z = 11 Hp: {(x, y, z)/ x = 2, y = 1, z = 3}

“Metode Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier” Ada beberapa cara menentukan pemecahan system persamaan linier, yaitu: (1) Eliminasi Gauss (2) Eliminasi Gauss Jordan (3) Perkalian Matrik dan (4) Kaidah Cramer

“Eliminasi Gauss” Eliminasi Gauss adalah suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, yang meliputi langkah- langkah sbb: Mengubah system persamaan linier ke bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix), yaitu matriks yang entri-entrinya adalah koefisien dari variable dan konstanta dari persamaan dalam system; >>> BY NURUL SAILA

Mengubah matrik eselon baris ke bentuk sistem persamaan. Dengan menggunakan OBE, mengubah bentuk matriks yang diperbesar menjadi matriks bentuk eselon baris (row-echelon form). Mengubah matrik eselon baris ke bentuk sistem persamaan. Menyelesaikan tiap persamaan dalam sistem. BY NURUL SAILA

Operasi Baris Elementer(OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) adalah suatu operasi yang dikenakan pada suatu baris matriks, yaitu: Kalikan suatu baris dengan sebuah konstanta yang bukan 0. Pertukarkan sebarang dua baris. Tambahkan kelipatan dari suatu baris kpd baris yang lain.

Contoh: OBE 1: Kalikan baris 1 dengan 2 (2B1) OBE 2: Pertukarkan B1 dengan B2 (B1  B2) OBE 3: Tambahkan 3B1 kepada B2 (B2 + 3B1)

“Matrik Eselon Baris” (Row-echelon form) Sifat-sifat matriks bentuk eselon baris adalah sebagai berikut: Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka bilangan tak 0 pertama di dalam baris tersebut adalah 1(dinamakan 1 utama). Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya dari 0, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks. Di dalam sebarang dua baris yang berturutan, yang tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka 1 utama di dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan daripada 1 utama di dalam baris yang lebih tinggi. BY NURUL SAILA

Manakah yg merupakan matrik bentuk eselon baris? Contoh: Manakah yg merupakan matrik bentuk eselon baris? Dengan OBE, ubahlah matrik berikut menjadi matrik bentuk eselon baris. BY NURUL SAILA

Contoh: Tentukan selesaian dari sistem persamaan berikut menggunakan metode eliminasi Gauss.

“Eliminasi Gauss Jordan” Langkah-langkah yang ditempuh, yaitu: Mengubah system persamaan linier ke bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix), yaitu matriks yang entri-entrinya adalah koefisien dari variable dan konstanta dari persamaan dalam system; Dengan menggunakan OBE, mengubah bentuk matriks yang diperbesar menjadi matriks bentuk eselon baris yang direduksi (reduced row-echelon form)

Sifat-sifat matriks bentuk eselon baris yang direduksi adalah sebagai berikut: Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka bilangan tak 0 pertama di dalam baris tersebut adalah 1(dinamakan 1 utama). Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya dari 0, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks. Di dalam sebarang dua baris yang berturutan, yang tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka 1 utama di dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan daripada 1 utama di dalam baris yang lebih tinggi. Setiap kolom yang mengandung sebuah 1 utama mempunyai 0 ditempat lain.

Manakah yg merupakan matrik bentuk eselon baris yang direduksi? Contoh: Manakah yg merupakan matrik bentuk eselon baris yang direduksi? Dengan OBE, ubahlah matrik berikut menjadi matrik bentuk eselon baris yg direduksi. BY NURUL SAILA

Contoh: Tentukan selesaian dari sistem persamaan berikut menggunakan metode eliminasi Gauss.