Lingkaran

KETERCAPAIAN BELAJAR A. Menyusun persamaan lingkaran yang memenuhi kriteria tertentu B. Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dalam berbagai situasi

yang memenuhi kriteria tertentu Menentukan persamaan lingkaran yang memenuhi kriteria tertentu A.

Lingkaran adalah… tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Jarak yang sama itu disebut jari-jari dan titik tetap itu disebut pusat lingkaran

Pusat O(0,0) dan jari-jari r Persamaan Lingkaran Pusat O(0,0) dan jari-jari r r = jari-jari x y O P(x,y) r x x2 + y2 = r2

Soal 1 Persamaan lingkaran pusatnya di O(0,0) dan jari-jari: r = 5 adalah x2 + y2 = 25 r = 2½ adalah x2 + y2 = 6¼ r = 1,1 adalah x2 + y2 = 1,21 r = √3 adalah x2 + y2 = 3

Soal 2 Persamaan lingkaran pusat O(0,0) dan melalui titik (3,-1) adalah….

Penyelesaian Misal persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan jari-jari r adalah x2 + y2 = r2 melalui (3,-1) → 32 + (-1)2 = r2 r2 = 9 + 1 = 10 Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 10

Soal 3 Pusat dan jari-jari lingkaran: x2 + y2 = 16 adalah… jawab: pusat O(0,0) dan r = 4 b. x2 + y2 = 2¼ adalah… jawab: pusat O(0,0) dan r = 1½ c. x2 + y2 = 5 adalah… jawab: pusat O(0,0) dan r = √5

Soal 4 Persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 + y2 = 144 tetapi panjang jari-jarinya setengah dari panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah….

Penyelesaian Lingkaran x2 + y2 = 144 pusatnya O(0,0) dan jari-jarinya r = √144 = 12 → ½r = 6 Persamaan lingkaran yang r = 6 adalah x2 + y2 = 62 x2 + y2 = 36

Soal 5 Jika titik (2a, -5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 41 maka nilai a adalah….

Penyelesaian Titik (2a, -5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 41, berarti (2a)2 + (-5)2 = 41 4a2 + 25 = 41 4a2 = 41 – 25 = 16 a = 4 → a = 2 atau a = -2

Soal 6 Persamaan lingkaran yang koordinat ujung-ujung diameternya A(2,-1) dan B(-2,1) adalah….

Penyelesaian Diameter = panjang AB = B(-2,1) diameter A(2,-1)

Diameter = panjang AB = 2√5 Jari-jari = ½ x diameter = ½ x 2√5 = √5

B(-2,1) Pusat A(2,-1) Koordinat pusat = = (0,0)

Jadi, persamaan lingkarang yang jari-jari = √5 dan pusat (0,0) adalah x2 + y2 = (√5)2 x2 + y2 = 5

(x – a)2 + (y - b)2 = r2 Pusat lingkaran (a,b) , r = jari-jari Persamaan Lingkaran Pusat (a,b) dan jari-jari r y (a, b) b x a (0,0) (x – a)2 + (y - b)2 = r2 Pusat lingkaran (a,b) , r = jari-jari

Soal 1 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran (x – 3)2 + (y – 7)2 = 9 jawab: pusat di (3,7) dan jari-jari r = √9 = 3 b. (x – 8)2 + (y + 5)2 = 6 jawab: pusat di (8,-5) dan jari- jari r = √6

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran c. (x + 3)2 + (y – 5)2 = 24 jawab: pusat di (-3,5) dan jari-jari r = √24 = 2√6 d. x2 + (y + 6)2 = ¼ jawab: pusat di (0,-6) dan jari- jari r = √¼ = ½

Soal 2 Penyelesaian: Persamaan lingkaran, pusat di (1,5) dan jari-jarinya 3 adalah …. Penyelesaian: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ▪ Pusat (1,5) → a = 1 dan b = 5 ▪ Jari-jari r = 3 → r2 = 9 Persamaannya (x – 1)2 + (y – 5)2 = 9

Soal 3 Penyelesaian: Persamaan lingkaran, pusat di (-1,0) dan jari-jarinya 3√2 adalah …. Penyelesaian: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ▪ Pusat (-1,0) → a = -1 dan b = 0 ▪ Jari-jari r = 3√2 → r2 = (3√2)2 = 18 Persamaannya: (x + 1)2 + y2 = 18

Soal 4 Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-2,-7) dan melalui titik (10,2) adalah ….

Penyelesaian: Pusat (-2,-7) → a = -2, b = -7 Jari-jari = r = AP AP = Jadi, persamaan lingkarannya (x + 2)2 + (y + 7)2 = 225 → r2 = 225

Soal 5 Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4,-3) dan melalui titik pangkal adalah ….

Penyelesaian: Pusat (4,-3) → a = 4, b = -3 Jari-jari = r = OP OP = r = Jadi, persamaan lingkarannya (x - 4)2 + (y + 3)2 = 25 → r2 = 25

Soal 6 Persamaan lingkaran yang berpusat di garis x – y = 1, jari-jari √5 dan melalui titik pangkal adalah ….

Penyelesaian Misal persamaan lingkarannya (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ▪ melalui O(0,0) → x = 0, y = 0 dan jari-jari r = √5 → r2 = 5 disubstitusi ke (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (0 – a)2 + (0 – b)2 = 5 a2 + b2 = 5 …..(1)

▪ Pusat (a,b) pada garis x – y = 1 a – b = 1 → a = b + 1 disubstitusi ke a2 + b2 = 5 (b + 1)2 + b2 = 5 b2 + 2b + 1 + b2 = 5 2b2 + 2b – 4 = 0 → b2 + b – 2 = 0 (b + 2)(b – 1) = 0 b = -2 atau b = 1

▪ b = -2 → a = b + 1 = -2 + 1 = -1 diperoleh pusatnya (-1,-2), r = √5 Jadi, persamaan lingkarannya (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5 ▪ atau b = 1 → a = 1 + 1 = 2 diperoleh pusatnya (2,1), r = √5 (x – 2)2 + (y – 1)2 = 5

Soal 7 Persamaan lingkaran yang berpusat pada perpotongan garis y = x dengan garis x + 2y = 6 melalui titik O(0,0) adalah ….

Penyelesaian ▪ pusat pada perpotongan garis y = x dengan garis x + 2y = 6 substitusi y = x ke x + 2y = 6 x + 2x = 6 3x = 6 → x = 2 x = 2 → y = 2 → pusat (2,2)

▪ jari-jari = jarak pusat (2,2) ke O(0,0) Jadi, persamaan lingkarannya (x – 2)2 + (y – 2)2 = 8 x2 – 4x + 4 + y2 – 4x + 4 = 8 x2 + y2 – 4x – 4y = 0 → persamaan lingkaran dalam bentuk umum → r2 = 8

Persamaan Lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Pusat (-½A, -½B) r = dalam bentuk umum x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Pusat (-½A, -½B) r =

Soal 1 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = 0 jawab: A = -2, B = - 6, C = -15 pusat di (-½A,-½B) → (1, 3) jari-jari r = =

Tentukan pusat lingkaran Soal 2 Tentukan pusat lingkaran 3x2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0 jawab: x2 + y2 – x + 2y – 4 = 0 Pusat (-½( – ), -½.2) Pusat( , – 1)

Soal 3 Jika titik (-5,k) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0 maka nilai k adalah…

Penyelesaian (-5,k) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0  (-5)2 + k2 +2(-5) – 5k – 21 = 0 25 + k2 – 10 – 5k – 21 = 0 k2 – 5k – 6 = 0 (k – 6)(k + 1) = 0 Jadi, nilai k = 6 atau k = -1

Soal 4 Jarak terdekat antara titik (-7,2) ke lingkaran x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0 sama dengan….

Penyelesaian Titik T(-7,2) disubstitusi ke x2 + y2 – 10x – 14y – 151 (-7)2 + 22 – 10.(-7) – 14.2 – 151 49 + 4 + 70 – 28 – 151 = - 56 < 0 berarti titik T(-7,2) berada di dalam lingkaran

adalah P(-½(-10), -½(-14)) = P(5, 7) Pusat x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0 adalah P(-½(-10), -½(-14)) = P(5, 7) QT = PQ - PT = 15 – 13 = 2 Jadi, jarak terdekat adalah 2 Q T(-7,2) r P(5,7)

SELAMAT BELAJAR