Pengertian Teori permainan adalah suatu pendekatan matematis untuk merumuskan situasi dan pertentangan (konfleks) antar berbagai kepen- tingan. Teori ini dikembangkan untuk meng- analisis proses pengambil keputusan dalam kondisi pertentangan yang melibatkan dua atau lebih kepentingan. Jenis Teori Permainan 1. Berdasarkan jumlah pemain : 1.1. Permainan dengan dua pemain 1.2. Permainan dengan N pemain

2. Berdasarkan jumlah keuntungan dan kerugian. 2.1. Permainan dengan jumlah nol 2.2. Permainan dengan jumlah tidak nol. Unsur-unsur Permainan 1. Pemain 2. Aturan 3. Hasil keluaran (outcomes) 4. Variabel-variabel 5. Kondisi informasi 6. Pemberian nilai

Permainan Dua Pemain dengan jumlah nol Permainan dua pemain dengan jumlah nol adalah model pertentangan yang paling umum dalam dunia bisnis. Permainan ini dimainkan oleh dua pemain/orang atau dua organisasi yang secara langsung mempunyai kepentingan yang berhadapan. Ada dua tipe permainan dua pemain dengan jumlah nol, yaitu : 1. Permainan strategi murni (pure strategy games), yaitu setiap pemain mempergunakan strategi tunggal 2. Permainan strategi campuran (mixed strategy games), yaitu kedua pemain memakai campuran dari beberapa strategi yang berbeda-beda.

1. Permainan Strategi Murni (Pure Strategy Games) Dalam permainan strategi murni, pemain baris meng- identifikasikan strategi optimalnya melalui aplikasi kriteria maksimin, sedangkan pemain kolom menggunakan kriteria minimaks untuk meng- identifikasikan strategi optimalnya. Nilai yang dicapai harus merupakan maksimum dari minimaks baris dan minimum dari dari maksimin kolom, Pada kasus terse- but suatu titik equibrilium telah tercapai dan titik ini disebut titik pelana (saddle point). Bila nilai maksimin tidak sama dengan nilai minimaks, titik pelana tidak dapat dicapai, sehingga permainan tidak dapat diselesaikan dengan mempergunakan strategi murni, tetapi dengan strategi campuran.

Contoh : Dua perusahaan sedang dalam proses penentuan stra- tegi periklanannya. Anggaplah bahwa perusahaan A mempunyai dua strategi dan perusahaan B mempunyai tiga strategi. Strategi tersebut dan pay off (misalnya kenaikan market share) disusun dalam bentuk permain- an dua pemain dengan jumlah nol sebagai berikut : Perusahaan A Perusahaan B B1 B2 B3 A1 1 9 2 A2 8 5 4

Penyelesaian : Nilai maksimin = nilai minimaks = 4, maka nilai strategi murni dengan titik pelana = 4. Perusahaan A Perusahaan B B1 B2 B3 Minimum Baris Maksimin A1 1 9 2 1 A2 8 5 4 4 Maksimum Kolom 8 9 4 Titik Pelana Minimaks

2. Permainan Strategi Campuran Permainan strategi campuran terjadi apabila nilai maksimin tidak sama dengan nilai minimaks (titik pelana tidak tercapai). Perusahaan A Perusahaan B B1 B2 Minimum Baris Maksimin A1 1 5 1 A2 3 2 2 Maksimum Kolom 3 5 ≠ Minimaks Minimaks 3

Penyelesain Strategi Campuran : Perusahaan A : f1 = X1.H(1,1) + X2.H(2,1) = X1.H(1,1) + (1-X1).H(2,1) f2 = X1.H(1,2) + X2.H(2,2) = X1.H(1,2) + (1-X1).H(2,2) f1= f2 = X1.H(1,1) + (1-X1).H(2,1) = X1.H(1,2) + (1-X1).H(2,2) X1.H(1,1) + H(2,1) - X1.H(2,1) = X1.H(1,2) + H(2,2) – X1H(2,2) Perusahaan A Perusahaan B B1 B2 A1 (X1) H(1,1) H(1,2) A2 (X2=1-X1) H(2,1) H(2,2)

X1{H(1,1) - H(2,1)} + H(2,1) = X1{H(1,2) - H(2,2)} + H(2,2) X1{H(1,1) - H(2,1)} - X1{H(1,2) - H(2,2)} = H(2,2) -H(2,1) X1{H(1,1) - H(2,1) - H(1,2) + H(2,2)} = H(2,2) -H(2,1)

Dengan cara yang sama untuk perusahaan B kita peroleh : Jadi : Nilai Permainan = X1.Y1.H(1,1)+X1.Y2.H(1,2)+ X2.Y1.H(2,1)+X2.Y2.H(2,2)

Penyelesaian : Perusahaan A : Perusahaan A Perusahaan B B1 =3/5 B2=2/5 1 5 A2 =4/5 3 2

Nilai Permainan = (1/5)(3/5)(1)+(1/5)(2/5)(5)+(4/5)(3/5) Perusahaan B : Nilai Permainan = (1/5)(3/5)(1)+(1/5)(2/5)(5)+(4/5)(3/5) (3)+(4/5)(2/5)(2)=65/25

3. Dominasi adalah teknik penyelesaian permainan yang lebih besar (lebih besar dari matriks 2 x 2). Tekniknya adalah dengan mengurangi atau memperkecil ukuran permain- an (mengurangi baris dan/atau kolom). Contoh : Perusahaan A Perusahaan B B1 B2 B3 A1 2 5 7 A2 -1 2 4 A3 6 1 9

Penyelesaian : Perusahaan A Perusahaan B B1 B2 B3 Minimum Baris Maksimin A1 2 5 7 2 A2 -1 2 4 -1 A3 6 1 9 1 Maksimum Kolom 6 5 9 ≠ Minimaks Minimaks 5

Kita perhatikan perusahaan A : baris A1 mendominasi A2 (2>1, 5>2, dan 7>4) sehingga A2 keluar dari matriks. Matriks strategi dominasi menjadi : Perusahaan A Perusahaan B B1 B2 B3 Minimum Baris Maksimin A1 2 5 7 2 A3 6 1 9 1 Maksimum Kolom 6 5 9 ≠ Minimaks Minimaks 5

Kita perhatikan perusahaan B : baris B3 mendominasi B2 (7>5, dan 9>1) sehingga B3 keluar dari matriks. Matriks strategi dominasi menjadi : Perusahaan A Perusahaan B B1 B2 Minimum Baris Maksimin A1 2 5 2 A3 6 1 1 Maksimum Kolom 6 5 ≠ Minimaks Minimaks 5

Perusahaan A : Perusahaan A Perusahaan B B1 =3/5 B2=2/5 A1=5/8 2 5 2 5 A2 =3/8 6 1

Nilai Permainan = (5/8)(1/2)(2)+(5/8)(1/2)(5)+(5/8)(0)(7) Perusahaan B : Nilai Permainan = (5/8)(1/2)(2)+(5/8)(1/2)(5)+(5/8)(0)(7) +(3/8)(0)(7)+(3/8)(1/2)(1)+(3/8)(0)(9)=56/16 = 3 ½

Hanya dapat diterapkan untuk permainan dimana setidaknya satu pemain hanya memiliki 2 strategi (2 x n). B A y1 y2 ….. yn X1 a11 a12 …. a1n X2 = 1- X1 a21 a22 … a2n Diasumsikan bahwa permainan ini tidak ada sadel Karena A memiliki 2 strategi, disimpulkan bahwa X2 = 1-X1; X1 > 0, X2 > 0 Hasil yg diperkirakan yg bersesuaian dg strategi murni dari B diketahui Strategi Murni B Hasil yg diperkirakan A 1 2 . n (a11-a21) X1 +a21 (a12-a22) x1 + a22 (a1n – a2n) X1 + a2n

B A 1 2 3 4 X1 -1 X2 6 Strategi Murni B Hasil yg diperkirakan A 1 2 3 4 -2X1 + 4 X1 + 3 X1 + 2 -7 X1 + 6 Ke empat persamaam ini digambarkan dalam grafik dengan nilai X1 antara 0 – 1 Karena strategi Murni B, digunakan untuk mengetahui hasil yg diperkirakan A, maka yg dicari adalah nilai maksimin

4 1 2 3 1 x1 Garis yg berpotongan menghasilkan titik minimax adalah garis 2,3 dan 4 Ambil pers grs 2 dan 4 menjadi -X1 +3 = -7X1 + 6, X1 = ½ Nilai maksimin atau v* = -1/2 + 3 = 5/2, atau ½ +2 = 5/2, atau -7(1/2) + 6 = 5/2 Artinya B, dapat mencapur ketiga startegi ini untuk mendapatkan pemecahan optimum

Dari tiga kombinasi garis (2,3) , (2,4) , dan (3,4), maka (2,4) harus dikeluarkan karena merupakan solusi yg tidak optimum. Sehingga untuk menentukan startegi A murni bagi perkiraan hasil B digunakan kombinasi pertama 2 dan 3, dengan demikian y1 = y4 = 0 Konsekuensinya y3 = 1-y2 Strategi Murni A Hasil yg diperkirakan B 1 2 -y2 + 3 y2 + 2 Dengan demikian –y2 + 3 = y2 + 2, sehingga y2 = ½ Nilai minimaks juga 5/2

Digunakan bagi permasalahan dengan matriks yang besar Contoh 1 2 3 -1 -3 -4 Karena nilai maksimin adalah -3, terdapat kemungkinan bahwa nilai permaininan ini adalah negatif atau nol. Tambahkan K, setidaknya dengan nilai yg sama dg nilai neg maksimin tetapi bernilai positif. K > 3. Jika diambil K = 5

Fungsi Tujuan : Minimumkan Z = X1 + X2 + X3 Fungsi Pembatas : Program Linear : Pemain I : Fungsi Tujuan : Minimumkan Z = X1 + X2 + X3 Fungsi Pembatas : 8X1 + 2X2 + X3 ≥ 1 4X1 + 8X2 + 2X3 ≥ 1 2X1 + 4X2 + 8X3 ≥ 1 X1,X2,X3 ≥ 1 Pemain B Pemain A B1=Y1 B2=Y2 B3=Y3 A1=X1 8 4 2 A2=X2 A3=X3 1

Pemain II : Fungsi Tujuan : Maksimumkan G = Y1 + Y2 + Y3 Fungsi Pembatas : 8Y1 + 4Y2 + 2Y3 ≤ 1 2Y1 + 8Y2 + 4Y3 ≤ 1 Y1 + 2Y2 + 8Y3 ≤ 1 Y1,Y2,Y3 ≥ 1

Solusi Optimum : Nilai Permainan = V = 1/G = 196/45 Var Dasar Y1 Y2 Y3 NK G 5/49 11/196 1/14 45/196 1 1/7 -1/14 -3/98 31/196 -1/4 -1/98 -31/98