Linear Programming (Pemrograman Linier) Program Studi Statistika Semester Ganjil 2011/2012 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Algoritma Simpleks untuk Minimization Problem Metode 1:Rubah fungsi obyektif: min z → max (-z) Selesaikan dengan algoritma simpleks Metode 2:Dengan menggunakan semua langkah pada algoritma simpleks, kecuali pada langkah 3, kebalikan dari kasus max Jika semua koefisien baris 0 <=0, BFS solusi optimal Selainnya, pilih koefisien paling positif untuk masuk ke dalam BV

Contoh Metode 1 Langkah 1: Bentuk standar dan merubah fs obyektif, Tableau 0 Tableau 0-zx1x2s1s2rhs Baris Baris Baris

Contoh Metode 1 Langkah 2: Menentukan BFS, BV, NBV Tableau 0-zx1x2s1s2rhs Baris Baris Baris BV -z=0 s1=4 s2=6 Langkah 3: BFS belum optimal Masih ada koefisien baris 0 yang negatif: x2 Menambah nilai x2 (menjadikan BV) akan menaikkan nilai z Lakukan ratio test untuk menentukan peubah yang digantikan oleh x2

Contoh Metode 1 Tableau 0-zx1x2s1s2rhsBV Baris z=0 Baris s1=4 Baris s2=6 Ratio test 4 tidak ada Baris pivot Kolom Pivot Pilih Entering Variable: pemenang ratio test Peubah NBV yang meningkatkan Z paling besar: x2, untuk menggantikan salah satu peubah di BV: s1 Langkah 4: Lakukan ERO untuk memperoleh bentuk kanonik yang baru

Contoh Metode 1 (ERO) Dengan ERO ingin diperoleh Tableau 1: baris 1 didahulukan (pivot row) Tableau 0-zx1x2s1s2rhsBV Baris z=0 Baris s1=4 Baris s2=6 Ratio test 4 tidak ada Tableau 1-zx1x2s1s2rhs Baris

Contoh Metode 1 (ERO) ERO untuk baris 0 dengan memanfaatkan baris 1 (pivot row) Tableau 0-zx1x2s1s2rhsBV Baris z=0 Baris s1=4 Baris s2=6 Ratio test 4 tidak ada Tableau 1-zx1x2s1s2rhs Baris Baris

Contoh Metode 1 (ERO) ERO untuk baris 2 dengan memanfaatkan baris 1 (pivot row) Tableau 0-zx1x2s1s2rhsBV Baris z=0 Baris s1=4 Baris s2=6 Ratio test 4 tidak ada Tableau 1-zx1x2s1s2rhs Baris Baris Baris BV -z=12 x2=4 s2=10

Contoh Metode 1, Tableau 1 Apakah BFS optimal? Tableau 1-zx1x2s1s2rhsBV Baris z=12 Baris x2=4 Baris s2=10 Tidak ada lagi koefisien <0 di baris nol. Tidak mungkin lagi meningkatkan nilai z. BFS sudah optimal. Dengan nilai peubah x1=0 dan x2=4, diperoleh nilai z minimum sebesar -12

Contoh Metode 2 Langkah 1: Bentuk standar dan Tableau 0 Tableau 0Zx1x2s1s2rhs Baris Baris Baris

Contoh Metode 2 Langkah 2: Menentukan BFS, BV, NBV Tableau 0Zx1x2s1s2rhs Baris Baris Baris BV z=0 s1=4 s2=6 Langkah 3: BFS belum optimal. Syarat optimal jika semua koef baris nol <=0 Masih ada koefisien baris 0 yang positif: x2 Menambah nilai x2 (menjadikan BV) akan menurunkan nilai z Lakukan ratio test untuk menentukan peubah yang digantikan oleh x2

Contoh Metode 2 Tableau 0zx1x2s1s2rhsBV Baris z=0 Baris s1=4 Baris s2=6 Ratio test 4 tidak ada Baris pivot Kolom Pivot Pilih Entering Variable: pemenang ratio test Peubah NBV yang menurunkan Z paling besar: x2, untuk menggantikan salah satu peubah di BV: s1 Langkah 4: Lakukan ERO untuk memperoleh bentuk kanonik yang baru

Contoh Metode 2 (ERO) Dengan ERO ingin diperoleh Tableau 1: baris 1 didahulukan (pivot row) Tableau 0zx1x2s1s2rhsBV Baris z=0 Baris s1=4 Baris s2=6 Ratio test 4 tidak ada Tableau 1zx1x2s1s2rhs Baris

Contoh Metode 2 (ERO) ERO untuk baris 0 dengan memanfaatkan baris 1 (pivot row) Tableau 0zx1x2s1s2rhsBV Baris z=0 Baris s1=4 Baris s2=6 Ratio test 4 tidak ada Tableau 1-zx1x2s1s2rhs Baris Baris

Contoh Metode 2 (ERO) ERO untuk baris 2 dengan memanfaatkan baris 1 (pivot row) Tableau 0zx1x2s1s2rhsBV Baris z=0 Baris s1=4 Baris s2=6 Ratio test 4 tidak ada Tableau 1zx1x2s1s2rhs Baris Baris Baris BV z=-12 x2=4 s2=10

Contoh Metode 2, Tableau 1 Apakah BFS optimal? Tableau 1zx1x2s1s2rhsBV Baris z=-12 Baris x2=4 Baris s2=10 Tidak ada lagi koef >0 di baris nol. Tidak mungkin lagi menurunkan nilai z. BFS sudah optimal. Dengan nilai peubah x1=0 dan x2=4, diperoleh nilai z minimum sebesar -12

Metode BIG M Digunakan pada kasus LP dengan kendala >= dan = Pada kendala-kendala tersebut diperlukan peubah dummy Prinsip metode BIG M: ◦ Memberikan penalti sebesar-besarnya bagi peubah dummy

Contoh Kasus dengan Metode Big M Bevco memproduksi soft drink rasa jeruk ORANJ dari campuran soda rasa jeruk dan jus jeruk per botol berisi 10 oz. Setiap bahan tsb mengandung gula dan vitamin C, di mana produk ORANJ harus memenuhi kriteria batas maksimum kandungan gula dan batas minimum vitamin C.

Contoh Kasus dengan Metode Big M Dibutuhkan biaya tertentu untuk membeli setiap bahan. Ingin diputuskan komposisi bahan di dalam 10 oz ORANJ yang memenuhi kriteria kandungan gula dan vitamin C, dengan biaya minimum.

Tabel Komposisi Bahan dan Kriteria, Biaya Produksi ORANJ # oz Soda/botol ORANJ #oz Jus/Botol ORANJ Kriteria Kandungan Gula (ons)0,50,25Paling banyak 4 ons Vit C (mg)13Paling sedikit 20 mg Per Botol1110 oz Biaya (cent)23 Apa peubah keputusannya? Fungsi Obyektif?

Tabel Komposisi Bahan dan Kriteria, Biaya Produksi ORANJ # oz Soda/botol ORANJ #oz Jus/Botol ORANJ Kriteria Kandungan Gula (ons)0,50,25Paling banyak 4 ons Vit C (mg)13Paling sedikit 20 mg Per Botol1110 oz Biaya (cent)23 Apa kendala untuk kandungan Gula? Apa kendala untuk kandungan Vitamin C? Apa kendala untuk volume per botol ORANJ?

LP bagi BEVCO untuk Produksi ORANJ Bentuk standar?

LP dalam Tableau Penambahan peubah dummy a 2, a 3, untuk menciptakan bentuk kanonik dari tableau awal s.t. Tableau 0zx1x2s1e2a2a3rhs Baris Baris 100,50, Baris Baris BV z=0 s1=4 a2=20 a3=10

LP dalam Tableau dengan BIG M Peubah dummy a 2, a 3, tidak mempunyai interpretasi/arti di dalam model Di dalam solusi optimal a 2, a 3, tidak boleh sebagai BV Pada fs obyektif, ditambahkan (dikurangkan) a 2, a 3 dengan penalti/bobot sebesar-besarnya (angka besar M) a 2, a 3 agar tidak terpilih sebagai solusi Penalti M pada kasus min (maks)

LP dalam Tableau dengan BIG M Untuk memperoleh a 2, a 3 sebagai BV di tableau 0, koefisien –M pada baris nol (untuk a 2, a 3 )harus dibuat jadi nol dengan ERO Tableau 0zx1x2s1e2a2a3rhs Baris M 0 Baris 100,50, Baris Baris Tableau 0zx1x2s1e2a2a3rhs Baris 0’1-2+2M-3+4M0-M0030M30M Baris 100,50, Baris Baris BV z=30M s1=4 a2=20 a3=10

LP dalam Tableau dengan BIG M Tableau 0zx1x2s1e2a2a3rhs Baris M-3+4M0-M0030M30M Baris 100,50, Baris Baris BV z=30M s1=4 a2=20 a3=10 Ratio test 4/0.25=16 20/3 * 10/1=10 M: bilangan besar positif. BFS belum optimal karena masih ada koefisien > 0 di baris nol (kasus min). x2 dapat menurunkan z paling besar (koef paling +), dapat dimasukkan dalam BV. x2 -3+4M 0, Kolom pivot x2 menggantikan salah satu BV pemenang ratio test. Baris Baris pivot

ERO untuk Tableau 1 Tableau 0zx1x2s1e2a2a3rhs Baris M-3+4M0-M0030M30M Baris 100,50, Baris Baris Pada baris pivot terlebih dahulu: Tableau 1zx1x2s1e2a2a3rhs Baris 201/310-1/31/3020/3

ERO untuk Tableau 1 Tableau 0zx1x2s1e2a2a3rhs Baris M-3+4M0-M0030M30M Baris 100,50, Baris Baris Tableau 1zx1x2s1e2a2a3rhs ERO baris 0, memanfaatkan Baris 2 (1): Baris 01(2M-3)/300(M-3)/3(3-4M)/30(60+10M)/3 Baris 201/310-1/31/3020/3

ERO untuk Tableau 1 Tableau 0zx1x2s1e2a2a3rhs Baris M-3+4M0-M0030M30M Baris 100,50, Baris Baris Tableau 1zx1x2s1e2a2a3rhs ERO baris 1, memanfaatkan Baris 2 (1): Baris 01(2M-3)/300(M-3)/3(3-4M)/30(60+10M)/3 Baris 201/310-1/31/3020/3 Baris 115/12011/12-1/1207/3

ERO untuk Tableau 1 Tableau 0zx1x2s1e2a2a3rhs Baris M-3+4M0-M0030M30M Baris 100,50, Baris Baris Tableau 1zx1x2s1e2a2a3rhs ERO baris 3, memanfaatkan Baris 2 (1): Baris 01(2M-3)/300(M-3)/3(3-4M)/30(60+10M)/3 Baris 201/310-1/31/3020/3 Baris 115/12011/12-1/1207/3 Baris 302/3001/3-1/3110/3

Tableau 1 untuk Bevco LP Tableau 1zx1x2s1e2a2a3rhs Baris 01(2M-3)/300(M-3)/3(3-4M)/30(60+10M)/3 Baris 105/12011/12-1/1207/3 Baris 201/310-1/31/3020/3 Baris 302/3001/3-1/3110/3 BV z=(60+10M)/3 S1=7/3 x2=20/3 a3=10/3 Tableau 1 belum optimal karena masih ada koefisien + di baris nol: x1 dan e2 Dilakukan kembali ratio test dan ERO sehingga diperoleh tableau 2 berikut: Tableau 2zx1x2s1e2a2a3rhs Baris /2(1-2M)/2(3-2M)/225 Baris /81/8-5/8¼ Baris /21/21/2 5 Baris /2-1/23/25 BV z=25 S1=1/4 x2=5 x1=5

Solusi Optimal untuk LP Bevco Tableau 2zx1x2s1e2a2a3rhs Baris /2(1-2M)/2(3-2M)/225 Baris /81/8-5/8¼ Baris /21/21/2 5 Baris /2-1/23/25 BV z=25 s1=1/4 x2=5 x1=5 Untuk mencapai biaya produksi minimum sebesar 25 cent / botol ORANJ, harus digunakan campuran 5 oz soda jeruk dan 5 oz jus jeruk.