XI. MODEL POHON BINOMIAL MODEL BINOMIAL SATU-LANGKAH PENILAIAN RISIKO-NETRAL MODEL BINOMIAL DUA-LANGKAH CONTOH OPSI JUAL OPSI AMERIKA DELTA PENENTUAN u dan d OPSI-OPSI ATAS ASET-ASET LAIN.

MODEL BINOMIAL SATU LANGKAH (1) Pohon binomial: diagram yang menunjukkan jalan yang dimungkinkan berbeda yang diikuti dengan harga saham pada akhir berlakunya opsi. Ilustrasi model ini: S0 = $20, T = 3 bulan, ST = $22 (naik) dan $18 (turun), K = $21. Jika ST = $22, maka c = $1; jika ST = $18, maka c = 0. Asumsi yang digunakan dalam penilaian opsi: 1. Tidak ada peluang arbitrasi;

MODEL BINOMIAL SATU LANGKAH (2) 2. Tidak ada ketidakpastian tentang nilai portofolio di masa mendatang, sehingga pengembalian yang dihasilkan adalah Rf. Portofolio yang dibentuk: 1. Posisi beli dalam  lembar saham, dan 2. Posisi jual dalam satu opsi beli. Nilai  dihitung, yang membuat portofolio bebas risiko. Jika ST = $20  $22, nilai saham = 22 dan c = 1, sehingga nilai total portofolio = 22 -1.

MODEL BINOMIAL SATU LANGKAH (3) Jika ST = $20  $18, nilai saham = 18 dan c = 0, sehingga nilai total portofolio = 18. Portofolio tersebut bebas risiko jika nilai  dipilih sehingga nilai akhir portofolio sama untuk kedua alternatif. Ini berarti: 22 - 1 = 18 atau  = 0,25. Portofolio bebas risiko selanjutnya: 1. Beli 0,25 saham, dan 2. Jual 1 opsi. Jika ST = $20  $22, nilai portofolio: 22 x 0,25 –1 = 4,5.

MODEL BINOMIAL SATU LANGKAH (4) Jika ST = $20  $18, nilai portofolio: 18 x 0,25 = 4,5. Tanpa memandang harga saham naik/ turun, nilai portofolio selalu $4,5 pada akhir berlakunya opsi. Jika Rf = 12%, nilai sekarang portofolio: 4,5e-0,12x3/12 = 4,367. S0 = $20, harga opsi = f, maka nilai portofolio hari ini: 20 x 0,25 – f = 5 – f. Dengan: 5 – f = 4,367, maka f = 0,633.

MODEL BINOMIAL SATU LANGKAH (5) Dalam kondisi tidak ada peluang arbitrasi, nilai opsi harus = $0,633, jika  $0,633 maka akan memunculkan peluang arbitrasi. Generalisasi: S0  S0u (naik/ u>1); S0  S0d (turun/ d<1). Jika S0  S0u, hasil dari opsi: fu,dan jika S0  S0d, hasil dari opsi: fd. Nilai  dihitung, yang membuat portofolio bebas risiko.

MODEL BINOMIAL SATU LANGKAH (6) Jika ST naik, nilai portofolio pada akhir berlakunya opsi: S0u - fu. Jika ST turun, nilai portofolio pada akhir berlakunya opsi: S0d - fd. S0u - fu = S0d - fd.maka  = (fu– fd )/(S0u - S0d). Nilai sekarang portofolio: (S0u - fu)e-rT. Biaya membentuk portofolio: S0 - f. Dengan (S0u - fu)e-rT = S0 - f, maka: f = S0(1 – ue-rT) + fue-rT.

MODEL BINOMIAL SATU LANGKAH (7) Nilai opsi: f = e-rT[pfu+ (1-p)fd]. p = (erT- d)/(u – d). Formula penentuan harga opsi ini tidak memasukkan probabilitas atas pergerakan harga saham naik atau turun. Sifat untuk mengasumsikan bahwa probabilitas pergerakan naik dalam harga saham yang meningkat, nilai opsi beli atas saham meningkat dan nilai opsi jual atas saham turun.

PENILAIAN RISIKO-NETRAL Variabel p dalam formula penilaian opsi diinter-pretasikan sebagai probabilitas atas pergerakan naik dalam harga saham, sedangkan pergerakan turun adalah (1-p). Hasil dari opsi: pfu + (1-p)fd. E(ST) = pS0(u – d) + S0d, maka E(ST) = S0erT. Dalam dunia risiko-netral semua individu adalah indiferen terhadap risiko, sehingga tidak mensyaratkan kompensasi untuk risiko.

PENILAIAN RISIKO-NETRAL Prinsip penilaian risiko netral menyatakan: penilaian dapat mengabaikan asumsi dunia adalah risiko netral ketika menilai opsi. Harga yang dihasilkan adalah benar tidak hanya dalam dunia risiko-netral, tetapi dalam dunia yang lain sama baiknya. Contoh binomial satu langkah yang direvisi: S0 = $20  $22 (naik) atau $18 (turun), T = 3 bulan, K = $21, r = 12%.

PENILAIAN RISIKO-NETRAL p = probabilitas pergerakan meningkat dalam harga saham dalam dunia risiko-netral. p dapat dihitung: 22p + 18(1-p) = 20e0,12x3/12. 4p = 20e0,12x3/12 – 18, maka p = 0,6523. Dengan p = 0,6523, opsi beli tersebut mempunyai probabilitas 0,6523 bernilai 1 dan probabilitas 0,3477 bernilai nol. Nilai yang diharapkan: (0,6523x1) + (0,3477x0) = 0,6523.

PENILAIAN RISIKO-NETRAL Nilai sekarang opsi: 0,6523e-0,12x3/12 = $0,633. p adalah probabilitas pergerakan kenaikan dalam dunia risiko-netral dan ini  dalam dunia nyata. Dengan p = 0,6523, pengembalian yang diha-rapkan atas saham dan opsi adalah Rf = 12%. Misalkan, dalam dunia nyata pengembalian atas saham 16%, dan q adalah probabilitas kenaikan dalam dunia nyata: 22q + 18(1-q) = 20e0,16x3/12 atau q = 0,7041.

PENILAIAN RISIKO-NETRAL Dengan q = 0,704, maka hasil yang diharapkan dari opsi dalam dunia nyata = 0,7041. Posisi dalam opsi beli lebih berisiko daripada posisi dalam saham. Hasilnya tingkat diskonto yang diterapkan untuk hasil dari opsi beli > 16%.

MODEL BINOMIAL DUA-LANGKAH (1) Konsep model ini dapat diilustrasikan secara numerik: S0 = $20  ST: 10%; T = 3 bulan; r = 12%; K = $21. Tujuan analisis ini adalah menghitung harga opsi pada node awal pohon, yang dapat dikerjakan dengan mengulang prinsip-prinsip yang dikem-bangkan sebelumnya. Dengan bantuan gambar, pada setiap node harga saham di atas, sedangkan harga opsi di bawah.

MODEL BINOMIAL DUA-LANGKAH (2) Harga opsi pada node akhir merupakan hasil dari opsi. Pada node D, harga saham $24,2 dan harga opsi 24,2 – 21 = 3,2. Pada node E dan F opsi out of the money, sehingga nilainya nol. Pada node C juga bernilai nol. Pada node B, dengan u = 1,1; d = 0,9; r = 0,12; T = 0,25, sehingga p = 0,6523. Nilai opsi pada node B = e-1,12x3/12[(0,6523 x 3,2) + (0,3477 x 0)] = 2,0257.

MODEL BINOMIAL DUA-LANGKAH (3) Pada node A, nilai opsi: = e-1,12x3/12[(0,6523 x 2,0257) + (0,3477 x 0)] = 1,2823. Generalisasi: S0 u x dan  d x dari nilai nilai awalnya. Contoh: setelah dua kali naik, nilai opsi menjadi fuu. Lamanya langkah waktu sekarang t bukan T, maka: f = e-rt[pfu+ (1-p)fd]. p = (erT- d)/(u – d). Dengan kedua formula ini, f dan p, model binomial dua langkah dapat dihitung:

MODEL BINOMIAL DUA-LANGKAH (4) f = e-2rt[p2fuu+ 2p(1-p)fud + (1-p)2fdd]. Variabel-variabel p2, 2p(1-p), dan (1-p)2 : probabilitas bahwa atas, menengah, dan rendah node terakhir akan dicapai. Harga opsi = hasil yang diharapkan dalam dunia risiko netral yang didikonto pada tingkat bunga bebas risiko.

CONTOH OPSI JUAL Opsi jual Eropa dua-tahun: K = $52; S0 = $50; langkah dua kali atas satu tahun (t = 1), dan setiap kali langkah S0  atau  20% (u = 1,2 dan d = 0,9); r = 5%; ST = $72 (fu = 0), $48 (fud = 4), atau $32 (fdd = 20). f = e-2x0,05x1[(0,62822 x 0) + (2 x 0,6282 x 0,3718 x 4) + (0,3718 x 20)] = 4,1923. Nilai opsi jual: $4,1923.

OPSI-OPSI AMERIKA (1) Nilai opsi Amerika pada node akhir = untuk op-si Eropa. Pada node lebih awal, nilai opsi lebih besar dari: 1. nilai f dan 2. hasil dari ekskusi lebih awal. Untuk bahan analisis, bandingkan gambar 11.8 dengan 11.7. Harga saham dan probabilitasnya tidak berubah, nilai opsi pada node akhir juga tidak berubah.

OPSI-OPSI AMERIKA (2) Pada node B, dengan formula yang ada, memberikan nilai opsi 1,4147, di mana hasil dari ekskusi awal adalah negatif (=-8). Pada node C, dengan formula yang ada, membe-rikan nilai opsi 9,4636, di mana hasil dari ekskusi awal adalah 12 (ekskusi optimal). Pada node awal A, nilai opsi dihitung dengan: f = e-0,05x1[(0,6282 x 1,4147) + (0,3718 x 12,0)] = 5,0894 (ekskusi tidak optimal). Nilai opsi jual Amerika: $5,0894.

DELTA (1) Delta merupakan parameter penting dalam penentuan harga dan lindung nilai opsi. Delta opsi saham adalah rasio perubahan dalam harga opsi saham terhadap perubahan dalam harga saham dasarnya. Itu adalah jumlah unit saham (=) akan dipegang untuk setiap opsi yang dijual dalam hubungannya untuk menciptakan lindung nilai bebas risiko.

DELTA (2) Bentuk lindung nilai bebas risiko sering disebut sebagai lindung nilai delta. Delta opsi beli adalah positif, sedangkan delta opsi jual adalah negatif. Contoh dua langkah memperlihatkan bahwa delta berubah setiap waktu. Jadi, untuk mempertahankan lindung nilai bebas risiko menggunakan suatu opsi dan saham dasarnya, dan dibutuhkan penyesuaian dalam memegang saham secara periodik.

PENENTUAN u dan d Dalam praktik, u dan d ditentukan dari gejolak harga saham, , dengan formula: u = et. d = 1/u. p = (a – d)/(u – d). a = ert.

OPSI-OPSI ATAS ASET-ASET LAIN Penerapan model pohon binomial untuk opsi-opsi ini = opsi atas saham, kecuali: Untuk opsi indeks, a = e(r-q)t, dengan q = yield dividen rata-rata atas indeks selama berlakunya opsi. Untuk opsi mata uang, a = e(r-rf)t, dengan rf = tingkat bunga bebas risiko dalam mata uang tersebut. Untuk opsi indeks, a = 1.

TUGAS TERSTRUKTUR Halaman 261, Questions and Problems Nomor: 11.9, 11.10, 11.11, 11.12, 11.15. Selamat mengerjakan dan menikmati oleh-oleh kuliah ini di rumah. Terima kasih dan wasalam.