RING (GELANGGANG)

TUJUAN Mahasiswa akan dapat memberikan contoh ring, subring dan homomorfisma ring

Cakupan Ring Ring komutatif Ring dengan unsur kesatuan Ring Tanpa Pembagi Nol Ring Dengan Pembagi Nol Karakteristik Ring Subring Homomorfisma Ring

DEFINISI Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner “+” dan “”, (R,+,), disebut RING, jika: (R,+) grup komutatif (R,) semigrup Berlaku distributif kiri dan kanan a(b+c) = ab + ac (a+b)c = ac + bc,  a,b,c  R

Beberapa Definisi Suatu Ring (R,+,) disebut ring komutatif jika operasi “” bersifat komutatif. Suatu Ring (R,+,) disebut ring dengan unkes jika (R,) semigrup dengan unkes (monoid). Ring disebut ring tanpa pembagi nol (RTPN) bila berlaku “jika a0 dan b0 maka ab0”. Ring disebut ring dengan pembagi nol (RDPN), jika “ada a0 dan b0, tetapi ab=0”. Ring (R,+,) dikatakan berkarakteristik n, jika ada bil.bulat terkecil n, sehingga na = 0, untuks setiap aR (0 = unkes aditif). Ring (R,+,) dikatakan berkarakteristik tak hingga atau nol, jika tidak ada bilangan bulat n yang tersebut di atas.

(Z,+,), (Q,+,), (Q+,+,), (R,+,), (C,+,) Contoh: Periksa apakah ring/bukan, Bila ring, periksa komutatif/bukan, ada unkes/tidak, RTPN/RDPN, cari karakteristiknya (Z,+,), (Q,+,), (Q+,+,), (R,+,), (C,+,) Himpunan bil. Genap bulat dengan operasi + dan . Himpunan bil. Riil berbentuk m+n2, di mana m dan n adalah bilangan rasional; operasi + dan . Kumpulan bilangan bulat Gaussian berbentuk a+i.b, di mana a dan b bilangan bulat; operasi + dan .

SUB-RING Definisi: (R,+,) ring. Jika S  R, S  , (S, +, ) sendiri merupakan ring, maka S disebut subring dari R. Subring trivial (tak sejati) adalah R dan {0}; selain itu disebut subring sejati. Syarat perlu dan cukup agar subset tak kosong S merupakan subring dari R adalah: “untuk setiap a,bS berlaku (ab)  S dan (ab)  S. Irisan dua subring adalah subring lagi.

Contoh: 1. (Z,+,) ring. Bagaimana (2Z,+,)? (Z,+,) ring. Bagaimana dengan himp bilangan cacah dengan operasi-operasi yang sama? Bagaimana dengan himp bilangan asli? (C,+,) ring. Bagaimana dengan (R,+,)?

HOMOMORFISMA RING (R,+,) dan (R’,,) adalah ring-ring. Jika ada pemetaan f:RR’ yang bersifat f(a+b)=f(a)f(b) dan f(ab)=f(a)f(b), a,bR maka dikatakan f adalah homomorfisma dari R ke R’. Jika f bersifat 1-1 dan onto, dikatakan R isomorf dengan R’, ditulis RR’. Isomorfisma dari R ke R sendiri disebut automorfisma.

Sifat-sifat Homomorfisma Ring Bila 0=unkes aditif di R, 0’=unkes aditif di R’, maka f(0) =0’. Bila 1=unkes multiplikatif di R, 1’=unkes multiplikatif di R’, maka f(1) =1’. Jika f homomorfis, maka f(x) = f(x). Peta homomorf dari R merupakan subring dari R’.

Beberapa Contoh Periksa homomorf/bukan dan bila homomorf, tentukan jenisnya f:Z2Z yang didefinisikan f(x) = 2x; operasi + dan x. R={m+n2, m,n bulat} dengan operasi + dan x. Pemetaan f:RR sbb f(a+b2)=ab2. R={a,b,c,d} dengan + dan . R’={p,q,r,s} dengan  dan . Pemetaan f(a)=r, f(b)=q, f(c)=s, f(d)=p.

Penutup Ring: himpunan A dengan dua operasi + dan x, sehingga (A,+) grup Abelian, (A,x) semigrup, operasi x distributif terhadap + Ring komutatif: jika operasi x komutatif Ring dengan unsur kesatuan: jika operasi x punya unkes Ring Tanpa Pembagi Nol: tidak ada dua elemen tak nol yang produknya =0 Ring Dengan Pembagi Nol: ada dua elemen tak nol yang produknya = 0 Karakteristik Ring: bilangan n, sehingga n.a = 0 Subring: bagian dari ring yang juga merupakan ring Homomorfisma Ring: homomorfis antara dua ring