5

4

3

2

1

TETHA ENVIROANA ARIN(1001125178) Kelompok Analisis Kompleks NAMA KELOMPOK 14: KUKUH SATRIO UTOMO(1001125090) RIFKY PUTRA PRATAMA(1001125153) TETHA ENVIROANA ARIN(1001125178)

Deret Laurent What do you know?

Deret laurent adalah generalisasi dari deret Taylor Deret laurent adalah generalisasi dari deret Taylor. Pada deret Laurent terdapat pangkat negatif yang tidak dimiliki pada deret Taylor. Bila fungsi f(z) tidak analitik di z = z0 maka f(z) tidak dapat diperderetkan dalam deret Taylor di z = z0. Agar f(z) dapat diperderetkan di z = z0 maka dilakukan dengan cara membuang titik singular z = z0 dari daerah | z – z0 | < R sehingga didapatkan daerah R1 < | z – z0 | < R2 ( cincin / anulus ) yang merupakan daerah keanalitikan fungsi f(z). Hal ini telah dilakukan oleh Laurent

Suku pertama di ruas kanan tidak lain adalah deret Taylor , dan suku keduanya yang berupa polinomial berpangkat negatif disebut sebagai bagian utama dari deret Laurent. Jadi secara umum deret Laurent terdiri dari dua bagian : deret Taylor dan bagian utamanya.

Lema 6.5.1 Diberikan C,K dua lintasan tertutup sederhana Int (C)Int (K), A = Ann (C,K). Jika f analitik pada A,maka untuk setiap z  A berlaku:

Bukti Diambil lintasan tertutup sederhana L, Sehingga z  Int (L)  A. Menurut teorema perluasan Annulus diperoleh: K A C

Sedangkan Terbukti bahwa

Teorema Laurent Diberikan C,L dua lintasan tertutup sederhana dengan C={t: |t-z0|=r} dan K = {t: |t-z0|=R}, dan A = Ann (C,K) = {t : r ≤ |t-z0| ≤ R }. Jika f analitik pada A, maka untuk setiap z  A berlaku dan

Bukti Menurut lema 6.5.1 untuk setiap z  A berlaku R Z0 C K r

Pada deret taylor, diperoleh dengan Akan dicari

oleh karena itu,diperoleh: dan

Akibatnya diperoleh Dengan

Terbukti bahwa dan

example Jadi deret laurent dari fungsi analitik 3 -3 3 -3

example Y 3 -2 1 2 6 X Untuk z=-2,diperoleh 1=-3A, A=-1/3 1 2 6 X Untuk z=-2,diperoleh 1=-3A, A=-1/3 Untuk z=1,diperoleh 1=3B, B=1/3 Diperoleh,

1 𝑧−1 = 1 𝑧−2 ∙ 1 𝑧−1 𝑧−2 = 1 𝑧−2 ∙ 1 𝑧−2+1 𝑧−2 = 1 𝑧−2 ∙ 1 1+ 1 𝑧−2 = 1 𝑧−2 𝑛=0 ∞ (−1) 𝑛 1 𝑧−2 𝑛 = 𝑛=0 ∞ (−1) 𝑛 1 (𝑧−2) 𝑛+1 ∙ 1 𝑧−2 = 1 𝑧−2+4 = 1 4 ∙ 1 1+ 𝑧−2 4 = 1 4 𝑛=0 ∞ (−1) 𝑛 𝑧−2 4 𝑛 = 𝑛=0 ∞ −1 𝑛 (𝑧−2) 2 4 𝑛+1

jadi uraian deret Laurent dari fungsi analitik 𝑓 𝑧 = 1 (𝑧+2)(𝑧−1) pada 1< 𝑧−2 <4 adalah 𝑓 𝑧 = 1 (𝑧+2)(𝑧−1) = 1 3 1 𝑧−1 − 1 𝑧+2 = 1 3 𝑛=0 ∞ (−1) 1 (𝑧−2) 𝑛+1 − 𝑛=0 ∞ (−1) 𝑛 ∙ 4 𝑛 (𝑧−2) 𝑛+1 = 1 3 𝑛=0 ∞ (−1) 𝑛 −1 𝑛 (1− 4 𝑛 ) (𝑧−2) 𝑛+1 , 𝑧−2 >4

𝑓 𝑧 = 𝑒 𝑧 −(𝑧+1) 𝑧 3 , 0< 𝑧 <∞ Karna 𝑒 𝑧 = 𝑛=0 ∞ 𝑧 𝑛 𝑛! =1+𝑧+ 𝑛=2 ∞ 𝑧 𝑛 𝑛! dan 𝑒 𝑧 − 𝑧+1 = 𝑛=2 𝑛=0 𝑧 𝑛 𝑛! , maka uraian deret Laurent dari fungsi analitik 𝑓 𝑧 = 𝑒 𝑧 −(𝑧+1) 𝑧 3 , 𝑝𝑎𝑑𝑎 0< 𝑧 <∞ adalah 𝑓 𝑧 = 𝑒 𝑧 −(𝑧+1) 𝑧 3 = 𝑛=2 ∞ 𝑧 𝑛−3 𝑛! = 𝑛=0 ∞ 𝑧 𝑛−1 (𝑛+2)!

Tentukan deret Laurent dari Latihan soal . Tentukan deret Laurent dari a. Deret laurent untuk b. Deret laurent untuk

Penyelesaian : . a. Deret Laurent untuk . . analitik untuk Jadi,

Penyelesaian : . b. Deret Laurent untuk . . analitik untuk Jadi,

Terima Kasih