Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

KALKULUS II TEKNIK INTEGRASI

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "KALKULUS II TEKNIK INTEGRASI"β€” Transcript presentasi:

1 KALKULUS II TEKNIK INTEGRASI
Dosen Pengampu : GUNAWAN.ST.,MT

2 1. Integrasi Parsial Formula Integral Parsial : Tips : pilih 𝑒 yang turunannya lebih sederhana Contoh : Hitung Misal 𝑒 = π‘₯, maka 𝑑𝑒=𝑑π‘₯ sehingga

3 Integral parsial dapat dilakukan lebih dari satu kali
Contoh : Hitung Jawab Integral parsial (i) Misal 𝑑𝑒 = 2π‘₯𝑑π‘₯ 𝑑𝑣 = 𝑠𝑖𝑛π‘₯𝑑π‘₯ 𝑣=βˆ’π‘π‘œπ‘ π‘₯ (ii) Misal 𝑒 = π‘₯ 𝑑𝑒 = 𝑑π‘₯ 𝑑𝑣 = π‘π‘œπ‘ π‘₯ 𝑑π‘₯ 𝑣 = 𝑠𝑖𝑛π‘₯

4 Ada kemungkinan integran (𝑓(π‘₯)) muncul lagi diruas kanan
Contoh : Hitung Integral parsial Jawab : (i) Misal 𝑑𝑣=π‘π‘œπ‘ π‘₯𝑑π‘₯ 𝑣=𝑠𝑖𝑛π‘₯ (ii) Misal Integral yang dicari, bawa keruas kiri 𝑑𝑣 = 𝑠𝑖𝑛π‘₯ 𝑑π‘₯ 𝑣=βˆ’π‘π‘œπ‘ π‘₯

5 Soal latihan Hitung 1. 2. 3. π‘₯ 𝑒 βˆ’π‘₯ dx 4. π‘₯ 2 𝑒 βˆ’π‘₯ 𝑑π‘₯ 5. 𝑑 𝑒 4𝑑 𝑑𝑑 6.

6 Rumus-rumus reduksi untuk sinus dan cosinus
Misal n adalah bilangan bulat positif, dan 𝑛β‰₯2, maka dengan menggunakan integrasi parsial diperoleh : 𝑠𝑖𝑛 𝑛 π‘₯ 𝑑π‘₯=βˆ’ 1 𝑛 𝑠𝑖𝑛 π‘›βˆ’1 π‘₯ cos π‘₯ + π‘›βˆ’1 𝑛 𝑠𝑖𝑛 π‘›βˆ’2 π‘₯ 𝑑π‘₯ π‘π‘œπ‘  𝑛 π‘₯ 𝑑π‘₯= 1 𝑛 π‘π‘œπ‘  π‘›βˆ’1 π‘₯ sin π‘₯ + π‘›βˆ’1 𝑛 π‘π‘œπ‘  π‘›βˆ’2 π‘₯ 𝑑π‘₯ Cek kebenaran rumus tsb! Tuliskan π‘π‘œπ‘  𝑛 π‘₯= π‘π‘œπ‘  π‘›βˆ’1 π‘₯βˆ™ cos π‘₯

7 Contoh soal! π‘π‘œπ‘  3 π‘₯ 𝑑π‘₯ =… Jawab :
π‘π‘œπ‘  3 π‘₯ 𝑑π‘₯ = 1 3 π‘π‘œπ‘  2 π‘₯ sin π‘₯ cos π‘₯ 𝑑π‘₯ = 1 3 π‘π‘œπ‘  2 π‘₯ sin π‘₯ sin π‘₯ +𝐢 π‘π‘œπ‘  4 π‘₯ 𝑑π‘₯ =… 𝑠𝑖𝑛 3 π‘₯ 𝑑π‘₯ =…

8 2. Integral Fungsi Trigonometri
Metode menyelesaikan integral bentuk : 𝑠𝑖𝑛 π‘š π‘₯ π‘π‘œπ‘  𝑛 π‘₯ 𝑑π‘₯ dengan π‘š dan 𝑛 bilangan bulat tak negatif. Integral dengan bentuk 𝑠𝑖𝑛 π‘š π‘₯ 𝑑π‘₯ dan π‘π‘œπ‘  𝑛 π‘₯ 𝑑π‘₯ dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus reduksi.

9 2. Integral Fungsi Trigonometri
Terdapat metode alternatif lebih sederhana, yang memerlukan identitas trigonometri berikut : 𝑠𝑖𝑛 2 π‘₯= 1 2 (1βˆ’ cos 2π‘₯ ) π‘π‘œπ‘  2 π‘₯= 1 2 (1+ cos 2π‘₯ ) yang diperoleh dari rumus ganda cos 2π‘₯ =1βˆ’2 𝑠𝑖𝑛 2 π‘₯ dan cos 2π‘₯ =2 π‘π‘œπ‘  2 π‘₯βˆ’1

10 2. Integral Fungsi Trigonometri
Contoh : 𝑠𝑖𝑛 2 π‘₯ 𝑑π‘₯= (1βˆ’ cos 2π‘₯ ) 𝑑π‘₯= 1 2 π‘₯βˆ’ 1 4 sin 2π‘₯ +𝐢 π‘π‘œπ‘  2 π‘₯ 𝑑π‘₯= (1+ cos 2π‘₯ ) 𝑑π‘₯= 1 2 π‘₯ sin 2π‘₯ +𝐢

11 2. Integral Fungsi Trigonometri
Untuk π‘š dan 𝑛 bilangan bulat positif, maka integral 𝑠𝑖𝑛 π‘š π‘₯ π‘π‘œπ‘  𝑛 π‘₯ 𝑑π‘₯ dapat diselesaikan dengan salah satu dari prosedur berikut : * Untuk π‘š ganjil, π‘š=2π‘˜+1, π‘˜β‰₯0. Tuliskan : dan gunakan identitas terkait * Untuk 𝑛 ganjil, 𝑛=2𝑙+1, 𝑙β‰₯0 .Tuliskan : dan gunakan identitas

12 2. Integral Fungsi Trigonometri
* Untuk π‘š genap, π‘š=2π‘˜, π‘˜β‰₯0. Gunakan identitas terkait Untuk 𝑛 genap, 𝑛=2π‘˜, π‘˜β‰₯0.

13 Contoh 1 dengan menggunakan identitas terkait, diperoleh :
Hitung Jawab : π‘š=4 β†’π‘š π‘”π‘’π‘›π‘Žπ‘ 𝑠𝑖𝑛 4 π‘₯ 𝑑π‘₯= 𝑠𝑖𝑛 2 π‘₯ 2 𝑑π‘₯= (1βˆ’ cos 2π‘₯ ) 2 = βˆ’ 2 cos 2π‘₯ + π‘π‘œπ‘  2 2π‘₯ 𝑑π‘₯ dengan menggunakan identitas terkait, diperoleh : π‘π‘œπ‘  2 2π‘₯= cos 4π‘₯ = cos 4π‘₯ Jadi penyelesaiannya, 𝑠𝑖𝑛 4 π‘₯ 𝑑π‘₯= βˆ’2 cos 2π‘₯ cos 4π‘₯ 𝑑π‘₯= 3 8 π‘₯βˆ’ 1 4 sin 2π‘₯ sin 4π‘₯ +𝐢

14 Contoh 2 Hitung Jawab :

15 Pengintegralan Perpangkatan Sinus dan Cosinus
Bentuk Untuk 𝑛 atau π‘š ganjil, keluarkan sin⁑π‘₯ atau cos⁑π‘₯ dan gunakan identitas Untuk π‘š atau 𝑛 genap, tuliskan menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan identitas .

16 Contoh :

17 Bentuk Gunakan identitas Serta turunan tangen dan kotangen Contoh : a.
The hell

18 b.

19 Soal Latihan Hitung : 1. 2. 3. 4. 5.

20 Tugas (lihat papan tulis)


Download ppt "KALKULUS II TEKNIK INTEGRASI"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google