KASUS MINIMISASI Ir. Indrawani Sinoem, MS

KASUS MINIMISASI Dalam kasus minimisasi tanda pertidaksamaan fungsi pembatas adalah ≥ . Untuk mengubah tanda pertidaksamaan tersebut menjadi persamaan harus dikurangi dengan surplus variabel (S). Contoh : Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : (dalam Rp 10.000) Minimumkan Z = 40 X1 + 20 X2

(2). Fungsi Pembatas : 3 X1 + X2 ≥ 27 X1 + X2 ≥ 21 X1 + 2 X2 ≥ 30 X1, X2 ≥ 0 Model Simpleks : 1. Fungsi Tujuan : Minimumkan Z – 40X1 – 20X2 – 0S1 – 0S2 – 0S3 = 0

(2). Fungsi Pembatas : 3X1 + X2 – S1 = 27 X1 + X2 - S2 = 21 X1 + 2X2 - S3 = 30 X1, X2, S1, S2, S3 ≥ 0 Pada penyelesaian solusi awal variabel non basis (bukan variabel dasar), yaitu : X1 = X2 = 0, maka S1 = -27, S2 = -21, dan S3 = -30. Penyelesaian solusi awal semua variabel dasar, yaitu S1, S2, dan S3 harus non negatif.

Untuk mengatasi kendala non negatif ini maka diperlukan tambahan variabel yang disebut dgn variabel buatan (Artificial Variabel = A). Dengan tambahan variabel buatan A maka persamaan fungsi pembatas menjadi : 3X1 + X2 – S1 + A1 = 27 X1 + X2 – S2 + A2 = 21 X1 +2X2 – S3 + A3 = 30 X1, X2, S1, S2, S3, A1, A2, A3 ≥ 0

Ada 2 (dua) metode penyelesaian persoalan metode simpleks kasus minimisasi, yaitu : (1). Metode M (Metode Penalti) (2). Metode Dua Tahap. 3X1+X2 – S1+A1= 27 A1 = 27 - 3X1- X2 + S1 X1+X2 –S2 +A2 = 21 A2 = 21 – X1- X2 + S2 X1+2X2 –S3+A3= 30 A3 = 30 – X1- 2X2 + S3 Substitusikan ke dalam fungsi tujuan

M(21 – X1- X2 + S2) – M(30 – X1- 2X2 + S3) = 0 Z - 40 X1 - 20 X2 – MA1 – MA2 – MA3 = 0 Z – 40 X1 – 20 X2 – M(27 - 3X1- X2 + S1) – M(21 – X1- X2 + S2) – M(30 – X1- 2X2 + S3) = 0 Z – 40X1- 20X2 – 27M+3MX1+MX2 – MS1 – 21M+MX1+MX2 – MS2 – 30M+MX1+2MX2 – MS3 = 0 Z – (40-5M)X1 – (20 -4M)X2 – MS1 – MS2 – MS3 = 78 M

Menggunakan Matriks (Inner Product Rule) : Fungsi Tujuan : Z – 40X1 – 20X2 – 0S1 – 0S2 – 0S3 – MA1 –MA2 –MA3 = 0 Fungsi Pembatas : 3X1 + X2 – S1 + 0S2 + 0S3 + A1 + 0A2 + 0A3 = 27 X1 + X2 + 0S1 – S2 + 0S3 + 0A1 + A2 + 0A3 = 21 X1 + 2X2 + 0S1 + 0S2 – S3 + 0A1 + 0A2 + A3 = 30 Rumus : Cj = (v)(vj) – cj Keterangan : Cj = Koefisien variabel j pada persamaan Z v = Vektor baris koefisien fungsi tujuan variabel baris

cj = kpoefisien variabel j pada fungsi tujuan Jadi : vj = vektor kolom elemen di bawah variabel j cj = kpoefisien variabel j pada fungsi tujuan Jadi :

Z – (40-5M)X1 – (20 -4M)X2 – MS1 – MS2 – MS3 = 78 M Selanjutnya : Fungsi Tujuan : Z – (40-5M)X1 – (20 -4M)X2 – MS1 – MS2 – MS3 = 78 M

X1, X2, S1, S2, S3, A1, A2, A3 ≥ 0 Fungsi Pembatas :

Tabel Simpleks : Var Dasar X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK Z -(40-5M) 78M 3 1 -1 27 21 2 30

a. Iterasi Awal (Iterasi-0) Angka Kunci Var Dasar X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK Indeks Z -(40-5M) -(20-4M) -M 78M - 3 1 -1 27 9 21 2 30

b. Iterasi-1 Var Dasar X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK Indeks Z -M - 1 1/3 -20/3+7/3M -40/3+2/3M -M 40/3-5/3M 360+33M - 1 1/3 -1/3 9 27 2/3 -1 12 18 5/3 21 63/5

Var Dasar X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK Indeks Z -36/3+1/5M -M -4+2/5M 12-6/5M 4-7/5M 444+18/5M - 1 -2/5 1/5 2/5 -1/5 24/5 -1 -1/3 18/5 -3/5 3/5 63/5

Var Dasar X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK Indeks Z 1/5 -3/5 c. Iterasi-2 Var Dasar X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK Indeks Z -36/3+1/5M -M -4+2/5M 12-6/5M 4-7/5M 444+18/5M - 1 -2/5 1/5 2/5 -1/5 24/5 24 -1 -1/3 18/5 9 -3/5 3/5 63/5

Kesimpulan : X1 = 3 dan X2 = 18 dengan Zmin = 480.000.- d. Iterasi-3 Kesimpulan : X1 = 3 dan X2 = 18 dengan Zmin = 480.000.- Var Dasar X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK Indeks Z 10 --10 10-M -M 480 - 1 - ½ ½ 3 -5/2 5/2 -1 9 -3/2 3/2 18

(2). Metode Dua Tahap Satu kekurangan dari metode M dalam peme-cahan persoalan PL (metode simpleks) kasus minimisasi adalah kemungkinan salah perhitungan yang dapat dihasilkan dari pem-berian nilai M yang terlalu besar. Untuk me-ngatasi kekurangan ini maka dirancang suatu metode yang disebut : “Metode Dua Tahap”

Contoh : 1. Fungsi Tujuan : Minimumkan Z = 40 X1 + 20 X2 2. Fungsi Pembatas : 3X1 + X2 – S1 + A1 = 27 X1 + X2 - S2 + A2 = 21 X1 + 2X2 - S3 + A3= 30 X1, X2, S1, S2, S3, A1, A2, A3 ≥ 0

(a). Tahap I : Fungsi Tujuan : Minimumkan Z = A1 + A2 + A3 Fungsi Pembatas : 3X1+X2 – S1+A1 = 27; A1=27-3X1-2X2+S1 X1+X2 - S2 +A2 = 21; A2=21-X1-X2+S2 X1+ 2X2- S3+ A3= 30; A3=30-X1-2X2+S3 X1, X2, S1, S2, S3, A1, A2, A3 ≥ 0

Substitusikan fungsi pembatas ke dalam fungsi tujuan : Z = A1 + A2 + A3 = 27-3X1-2X2+S1 + 21-X1-X2+S2 + 30-X1- 2X2+S3 = 78 – 5X1 – 4X2 + S1 + S2 + S3 Jadi : persamaan fungsi tujuan : Z + 5X1 + 4X2 – S1 – S2 – S3 = 78

Tabel Simpleks Tahap I a. Iterasi-0 Var Dasar X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK Indeks Z 5 4 -1 78 - 3 1 27 21 2 30

Iterasi-1 Angka Kunci Var Dasar X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK Indeks Z 5 4 -1 78 - 3 1 27 9 21 2 30

Var Dasar X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK Indeks Z 7/3 -1 2/3 -5/3 33 - 1 1/3 -1/3 9 27 12 18 5/3 21 63/5 Iterasi-2 Var Dasar X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK Indeks Z 1/5 -1 2/5 -6/5 -7/5 18/5 - 1 -2/5 -1/5 24/5 24 18 -3/5 3/5 63/5

Berdasarkan Tabel solusi optimum tahap I diperoleh : Iterasi-3 Berdasarkan Tabel solusi optimum tahap I diperoleh : X1 – ½ S1 + ½ S2 = 3  X1 = ½ S1 – ¼ S2 …..(1) ½ S1 - 5/2 S2 +S3 = 9  S3 = - ½ S1 + 5/2 S2 …(2) X2 + ½ S1 – 3/2 S2 = 18  X2 = - ½ S1 +3/2 S2 …(3) Var Dasar X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK Indeks Z -1 18/5 - 1 - ½ ½ 3 1/2 -5/2 5/2 9 -3/2 -1/2 3/2 18

Tahap II : Substitusikan persamaan (1),(2), dan (3) dari solusi optimum tahap I ke persamaan fungsi tujuan : Z = 40 X1 + 20 X2 = 40 (½ S1 – ½ S2) + 20(- ½ S1 + 3/2 S2) = 20 S1 – 20 S2 – 10 S1 + 30 S2 Z = 10 S1 + 10 S2 Z – 10 S1 – 10 S2 = 0

Tabel Simpleks Tahap II : Dari Tabel optimum simpleks tahap II terlihat bhw koefisien fungsi tujuan tidak ada yang bernilai positif. Ini menunjukkan kondisi tabel simpleks tahap II sudah optimum. Var Dasar X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks Z -10 - 1 - ½ ½ 3 1/2 -5/2 9 -3/2 18

KASUS-KASUS KHUSUS Kasus-kasus khusus yang dapat terjadi dalam pe-nyelesaian persoalan PL dengan metode simpleks meliputi : (1). Degenerasi (2). Solusi Optimum Ganda (3). Solusi Tak terbatas (4). Solusi Tak Layak (Tidak Fisibel).

Contoh : (1). Degenerasi. Model PL. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 3X1 + 9X2 Fungsi Pembatas : X1 + 4 X2 ≤ 8 X1 + 2 X2 ≤ 4 X1, X2 ≥ 0

Tabel Simpleks : Iterasi-1 Iterasi-2 Var Dasar X1 X2 S1 S2 NK Indeks Z -3 -9 - 1 4 8 2 Iterasi-1 -3/4 9/4 18 ¼ ½ - ½ Iterasi-2 3/2 -1

Atau Kesimpulan : X1 = 0 ; X2 = 2 Z maks. = 18 Iterasi-1 Var Dasar X1 NK Indeks Z -3 -9 - 1 4 8 2 Iterasi-1 - 3/2 9/2 18 - 1 - 2 1/2 ½

(2). Solusi Optimum Ganda Model PL : Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 2X1+4X2 Fungsi Pembatas : X1 + 2X2 ≤ 5 X1 + X2 ≤ 4 X1, X2 ≥ 0

Kesimpulan : X1 = 1 ; X2 = 3; Z maks. = 10 Var Dasar X1 X2 S1 S2 NK Indeks Z -2 -4 - 1 2 5 5/2 4 Iterasi-1 10 ½ 1/2 - ½ 3/2 3 Iterasi-2 -1

(3). Solusi Tidak Terbatas Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 2X1 + X2 Fungsi Pembatas : X1 – X2 ≤ 10 2 X1 ≤ 40 X1, X2 ≥ 0

Tabel Simpleks : Iterasi-1 Var Dasar X1 X2 S1 S2 NK Indeks Z -2 -1 - 1 - 1 10 40 Iterasi-1 -3 2 20 - 1 30 Iterasi-2 3 110

Perhatikan solusi awal dari tabel simpleks di bawah kolom X2 adalah non positif, berarti X2 dapat naik tanpa batas dan tetap memenuhi semua pembatas. Tanpa perhitungan lebih lanjut dapat disimpulkan bahwa masalah tersebut di atas tidak memiliki batas solusi. (4). Solusi Tak Layak (Tak Fisibel) Solusi tak layak (tak fisibel) terjadi jika pembatas-pembatas tidak dapat dipenuhi secara serentak. Keadaan ini menunjukkan kemungkinan bahwa model tidak dirumuskan dengan benar.

Contoh : Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 3X1 + 2X2 Fungsi Pembatas : 2X1 + X2 ≤ 2 3X1 + 4X2 ≥ 12 X1, X2 ≥ 0

Model Simpleks : Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z – (3+3M)X1 – (2+4M)X2 +0S1 + MS2 = -12M Fungsi Pembatas : 2X1 + X2 + S1 = 2 3X1 + 4X2 - S2 + A1 = 12 X1, X2 ≥ 0

Tabel Simpleks : Var Dasar X1 X2 S1 S2 A1 NK Indeks Z -3-3M -2-4M M M -12M - 2 1 3 4 -1 12 Iterasi-1 1+5M 2+4M 4-4M -5 - 4