Bab 8B Estimasi 2

Bab 8B Bab 8B Estimasi 2 A. Estimasi Interval Lanjutan 1. Pendahuluan Seperti pada estimasi satu rerata, kita dapat juga mengestimasi besaran lainnya 2. Cakupan Estimasi selanjutnya dilakukan pada selisih dua rerata selisih dua proporsi koefisien korelasi linier koefisien regresi linier

Bab 8B B. Estimasi Interval pada Selisih Dua rerata 1. Dasar Hakikat estimasi interval pada parameter berdasarkan data dari sampel sudah dikemukakan di muka dengan mengambil contoh satu rerata Di sini, kita melakukan estimasi interval untuk parameter selisih dua rerata dengan menggunakan beberapa contoh Prosedur estimasi ini menggunakan sistematika enam langkah dengan memanfaatkan distribusi probabilitas pensampelan pada Bab 6A dan 6B Estimasi interval akan menghasilkan (X  Y) –  (X  Y)   X   Y  (X  Y) +  (X  Y)

Bab 8B Kasus Pada estimasi selisih dua rerata ini, ada sejumlah kasus dengan ciri masing-masing Kasus ini mencakup Populasi dapat independen atau dependen. Pada contoh disajikan populasi independen namun cara yang sama dapat diterapkan pada populasi dependen Variansi populasi dapat homogen atau tidak homogen. Ada kasus yang memerlukan informasi tentang homogenitas variansi Dalam hal diperlukan informasi tentang homogenitas variansi, terdapat dua tahap kegiatan. Tahap pertama adalah pengujian homogenitas variansi populasi. Tahap kedua adalah estimasi selisih dua rerata

Bab 8B Beberapa Contoh Contoh 1 Populasi X dan Y berdistribusi probabilitas normal dan independen. Simpangan baku populasi X dan Y adalah masing-masing 320 dan 375 Dari populasi X, sampel acak kecil sebesar 42 memberikan rerata sampel Dari populasi Y, sampel acak kecil sebesar 48 memberikan rerata sampel Pada interval keyakinan 0,95, estiamsi selisih rerata populasik X dan Y. Rumusan estimasi Pada interval keyakinan 0,95, estimasikan  X   Y Sampel n X = 42 X = 1360 n Y = 48 Y = 1320

Bab 8B Distribusi probabilitas pensampelan DP populasi : normal Simpangan baku populasi :  X = 1360  Y = 1320 DP pensampelan : normal Kekeliruan baku Interval keyakinan 1   = 0,95 ½  = 0,025 Nilai kritis Untuk batas bawah z 0,975 = 1,960 Untuk batas atas z 0,025 =  1,960

Bab 8B Bentangan estimasi (X  Y)   (X  Y) = (X  Y)  z (½  )  X – Y = (1360 – 1320) – (1,96)(73,27) =  103,60 (X  Y) +  (X  Y) = (X  Y) + z (½  )  X – Y = (1360 – 1320) + (1,96)(73,27) = 183,60 Interval estimasi Pada interval keyakinan 0,95, selisih rerata  103,60 ≤  X   Y ≤ 183,60

Bab 8B Contoh 2 Pada interval keyakinan 0,95 diestimasi selisih rerata populasi dari sesuatu di antara tahun 1970 (X) dan tahun 2004 (Y) Populasi X dan Y berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak kecil menunjukkan n X = 35, n Y = 40, X = 267, Y = 255, s X = 27, dan s Y = 30 Estimasi ini memerlukan dua tahap. Tahap pertama menguji apakah variansi populasi sama atau tidak sama. Tahap kedua mengestimasi selisih dua rerata Tahap pertama uji homogenitas variansi Rumusan hipotesis

Bab 8B Sampel n X = 35 s x = 27 s 2 X = 729 n Y = 40 s Y = 30 s 2 Y = 900 Distribusi probabilitas pensampelan DP pensampelan : DP F Fisher-Snedecor Derajat kebebasan : X = 34 Y = 39 Statistik uji

Bab 8B Kriteria pengujian Uji pada dua ujung, nilai kritis Ujung bawah: F (0,025)(39)(34) = 0,52 Ujung atas: F (0,975)(39)(34) = 1,95 Tolak H 0 jika F 1,95 Terima H 0 jika 0,52 ≤ F ≤ 1,95 Keputusan Pada taraf signifikasi 0,05, terima H 0 yakni variansi populasi X dan Y adalah homogen atau variansi populasi X dan Y adalah sama

Bab 8B Tahap 2 mengestimasi selisih dua rerata Rumusan estimasi Pada interval keyakinan 0,95 estimasikan  X   Y Sampel n X = 35 X = 267 s X = 27 n Y = 40 Y = 255 s Y = 30 Distribusi probabilitas pensampelan DP populasi: DP t Student Variansi populasi: sama Sampel acak kecil

Bab 8B Kekeliruan baku Interval keyakinan 1   = 0,95 ½  = 0,025 Distribusi pensampelant Student Nilai kritis Untuk batas bawah t (0,975)(73) = 1,993 Untuk batas atas t (0,025)(73) =  1,993

Bab 8B Bentangan estimasi (X  Y)   (X  Y) = (X  Y)  t (½  )( )  X – Y = (267 – 255) – (1,993)(6,597) =  1,15 (X  Y) +  (X  Y) = (X  Y) + t (½  )( )  X – Y = (267 – 255) + (1,993)(6,597) = 25,15 Interval estimasi Pada interval keyakinan 0,95, selisih rerata  1,15 ≤  X   Y ≤ 25,15

Bab 8B Contoh 3 Pada interval keyakinan 0,85, estimasikan selisih rerata banyaknya jam tidur di antara mahasiswa (X) dan mahasiswi (Y). Populasi berdistribusi probabilitas normal dengan sampel kecil menunjukkan X Y ,5 5, ,5 9 6,5 4,5 8, , ,5 7, ,5 7, , ,5 6, ,5 7,5 9, , , ,5 6,5 8 7,

Bab 8B Tahap 1 uji homogenitas variansi Rumusan hipotesis Sampel Distribusi pensampelan

Bab 8B Statistik uji Kriteria pengujian Keputusan

Bab 8B Tahap 2 estimasi selisih rerata Rumusan estimasi Sampel Distribusi pensampelan

Bab 8B Interval keyakinan Bentangan estimasi Interval estimasi

Bab 8B C. Estimasi Interval pada Selisih Dua Proporsi 1. Dasar Hakikat estimasi interval pada parameter berdasarkan data dari sampel sudah dikemukakan di muka dengan mengambil contoh satu rerata Di sini, kita melakukan estimasi interval untuk parameter selisih dua proporsi dengan menggunakan beberapa contoh Prosedur estimasi ini menggunakan sistematika enam langkah dengan memanfaatkan distribusi probabilitas pensampelan pada Bab 6A dan 6B Estimasi interval akan menghasilkan (p X  p Y ) –  (Xp X  Y )   X   Y  (p X  p Y ) +  (p X  p Y )

Bab 8B Kasus Pada estimasi selisih dua proporsi, ada sejumlah kasus dengan ciri masing-masing Mereka mencakup Pada dasarnya proporsi menghasilkan distribusi probabilitas binomial. Namun pada sampel yang agak besar, dengan cepat, distribusi probabilitas mendekati distribusi probabilitas normal Di sini kita langsung mendekatkannya ke distribusi probabilitas normal Penentuan kekeliruan baku dilakukan melalui perhitungan dari proporsi pada sampel

Bab 8B Beberapa Contoh Contoh 4 Di antara sampel 600 pembeli mobil buatan dalam negeri (X), 483 merasa puas. Di antara sampel 450 pembeli mobil buatan luar negeri (Y), 352 merasa puas. Sampel cukup besar. Pada interval keyakinan 0,95, estimasi perbedaan di antara dua proporsi itu. Rumusan estimasi Pada interval keyakinan 0,95, estimasi  X   Y Sampel n X = 600 p X = 483 / 600 = 0,805 n Y = 450 p Y = 352 / 450 = 0,782

Bab 8B Distribusi propobabilitas pensampelan DP pensampelan didekatkan ke DP normal Kekeliruan baku Interval keyakinan 1   = 0,95 ½  = 0,025 DP pensampelanDP normal Nilai kritis Untuk batas bawah z 0,975 = 1,96 Untuk batas atas z 0,025 =  1,96

Bab 8B Bentangan estimasi (p X – p Y )   (p X – p Y ) = (p X – p Y )  z ½   pX-pY = (0,805 – 0,782)  (1,96)(0,025) =  0,026 (p X – p Y )   (p X – p Y ) = (p X – p Y ) + z ½   pX-pY = (0,805 – 0,782) + (1,96)(0,025) = 0,072 Interval estimasi Pada interval keyakinan 0,95, selisih proporsi  0,026 ≤  X   Y ≤ 0,072

Bab 8B Contoh 5 Dari sampel 250 wanita (X), 145 memperoleh beasiswa. Dari sampel 320 pria (Y), 150 memperoleh beasiswa. Pada interval keyakinan 0,95, estimasi selisih dua proporsi itu Rumusan estimasi Sampel Distribusi probabilitas pensampelan

Bab 8B Interval keyakinan Bentangan estimasi Interval estimasi

Bab 8B Contoh 6 Di wilayah X, sampel 600 siswa menunjukkan 90 siswa putus sekolah. Di wilayah Y, sampel 400 siswa menunjukkan 48 siswa putus sekolah. Sampel cukup besar. Pada interval keyakinan 0,98, estimasi selisih proporsi siswa putus sekolah Rumusan estimasi Sampel Distribusi probabilitas pensampelan

Bab 8B Interval keyakinan Bentangan estimasi Interval estimasi

Bab 8B D. Estimasi Interval pada Satu Koefisien Korelasi Linier 1. Dasar Hakikat estimasi interval pada parameter berdasarkan data dari sampel sudah dikemukakan di muka dengan mengambil contoh satu rerata Di sini, kita melakukan estimasi interval untuk parameter satu koefisien korelasi linier dengan menggunakan beberapa contoh Prosedur estimasi ini menggunakan sistematika enam langkah dengan memanfaatkan distribusi probabilitas pensampelan pada Bab 6A dan 6B Estimasi interval akan menghasilkan r XY –  r XY   XY  r XY +  r XY

Bab 8B Prosedur estimasi Agar distribusi probabilitas pensampelan diketahui maka di sini digunakan transformasi Fisher Melalui transformasi Fisher maka distribusi probabilitas pensampelan menjadi distribusi probabilitas normal Setelah estimasi dilakukan pada distribusi probabilitas normal, maka estimasi perlu dikembalikan ke distribusi probabilitas asal melalui kebalikan dari transformasi Fisher Transformasi Fisher dan kebalikannya Transformasi Fisher Z  = tanh -1  Kebalikan  = tanh Z 

Bab 8B Beberapa Contoh Contoh 7 Sampel hasil ujian matematika dan fisika pada 30 siswa menunjukkan r XY = 0,70. Pada interval keyakinan 0,95, estimasi koefisien korelasi linier  XY Rumusan estimasi Pada interval keyakinan 0,95 estimasi  XY Sampel n = 30 r XY = 0,70 Transformasi Fisher Z rXY = tanh -1 0,70 = 0,867

Bab 8B Distribusi probabilitas pensampelan Pada transformasi Fisher, DP pensampelan menjadi DP normal Kekeliruan baku Interval keyakinan 1   = 0,95 ½  = 0,025 DP normal sehingga nilai kritis Untuk batas bawah z 0,975 = 1,96 Untuk batas atas z 0,025 =  1,96

Bab 8B Bentangan estimasi Z rXY   Z rXY = Z rXY  z ½   Z = 0,867 – (1,96)(0,1925) = 0,490 r XY   r XY = tanh 0,490 = 0,45 Z rXY +  Z rXY = Z rXY + z ½   Z = 0,867 + (1,96)(0,1925) = 1,244 r XY   r XY = tanh 1,244 = 0,85 Interval estimasi Pada interval keyakinan 0,95, koefisien korelasi linier 0,45 ≤  XY ≤ 0,85

Bab 8B Contoh 8 Sampel X dan Y berukuran 40 menghasilkan koefisien korelasi linier r XY = 0,20. Pada interval keyakinan 0,95, estimasi koefisien korelasi linier  XY Rumusan estimasi Sampel Distribusi pensampelan

Bab 8B Interval keyakinan Bentangan estimasi Interval estimasi

Bab 8B E. Estimasi Interval pada Satu Koefisien Regresi Linier 1. Dasar Hakikat estimasi interval pada parameter berdasarkan data dari sampel sudah dikemukakan di muka dengan mengambil contoh satu rerata Di sini, kita melakukan estimasi interval untuk parameter satu koefisien regresi linier dengan menggunakan beberapa contoh Prosedur estimasi ini menggunakan sistematika enam langkah dengan memanfaatkan distribusi probabilitas pensampelan pada Bab 6A dan 6B Estimasi interval akan menghasilkan b –  b  B  b +  b

Bab 8B Koefisien yang Diestimasi Regresi linier memiliki dua koefisien regresi, masing-masing adalah A dan B dari Ŷ = A + BX Estimasi ini dilakukan pada koefisien regresi linier B namun cara yang sama dapat dilakukan pada koefisien regresi linier A, berupa a   a ≤ A ≤ a +  a Koefisiean A menunjukkan perpotongan fregresi dengan sumbu Y sehingga tidak banyak digunakan Koefisien B menunjukkan sudut garis regresi terhadap sumbu X dan banyak digunakan (ada kaitan dengan koefisien regresi linier)

Bab 8B Beberapa Contoh Contoh 9 Pada interval keyakinan 0,95, estimasi koefisien regresi linier B, apabila dari sampel berukuran 9 ditemukan b = 2,9303, s X = 1,2796, s Y = 2,7834, dan r XY = 0,9911 Rumusan estimasi Pada interval keyakinan 0,95, estimasi B Sampel n = 9 b = 2,9303 s X = 1,2796, s Y = 2,7834 r XY = 0,9911

Bab 8B Distribusi probabilitas pensampelan DP pensampelan : DP t Student Kekelriuan baku Interval keyakinan 1   = 0,95 ½  = 0,95 DP t Student Untuk batas bawah t (0,975)(7) = 2,365 Untuk batas atas t (0,025)(7) =  2,365

Bab 8B Bentangan estimasi b   b = b  t (½  )( )  b = 2,9303 – (2,365)(0,1487) = 2,5786 b +  b = b + t (½  )( )  b = 2, (2,365)(0,1487) = 3,2820 Interval estimasi Pada interval keyakinan 0,95, koefisien regresi linier 2,5786 ≤ B ≤ 3,2820

Bab 8B Contoh 10 Pada interval keyakinan 0,95, estimasi koefisien regresi linier B apabila sampel X dan Y menghasilkan X 26,8 25,4 28,9 23,6 27,7 23,9 24,7 Y 26,5 27,3 24,2 27,1 23,6 25,9 26,3 X 28,1 26,9 27,4 22,6 25,6 Y 22,5 21,7 21,4 25,8 24,9 Rumusan estimasi Sampel

Bab 8B Distribusi probabilitas pensampelan Interval keyakinan Bentangan estimasi Interval estimasi

Bab 8B