RANDOM VARIATE DISTRIBUSI DISKRIT BAB 6 RANDOM VARIATE DISTRIBUSI DISKRIT

Discrete random varable dapat digunakan untuk berbagai random number yang diambil dalam bentuk integer. Pola kebutuhan inventori (persediaan) merupakan contoh yang sering digunakan dalam pengambilan random sampel. Dalam hal ini juga dapat dicontohkan program pengesetan sejumlah barang produksi yang rusak (defective) di dalam suatu lot size.

Dari kenyataan ini kita dapat mengemukakan dengan suatu teori, yaitu: Prob (X = k) = P Pk-1 = Ak-1 . Pk gk-1 = gk + Pk-1 Berarti kuantitas Ak-1 merupakan ketergantungan distribusi (tergantung dari distribusi). Dengan demikian untuk mengambil discrete variates kita akan menyusun/mengurutkan sebagai berikut :

Generate RN : R Set k = 0 Hitunglah P 0 dan q 0 = P0 Apabila R  qk, X = k Kalau tidak, hitunglah Ak-1 Hitunglah Pk-1 = Ak-1 . Pk Hitunglah gk-1 = gk + Pk-1 Hitunglah K = gk+1 Lanjutkan ke langkah 4

6.1 Distribusi Diskrit Uniform Dalam meninjau distribusi ini probabilitas untuk menyeleksi setiap bilangan integer diantara A dan B adalah sama saja (Equally likely) Dengan demikian fx (x = r) = p r = a, …… , b Dan didapat (b – a + 1)p = 1, maka :

Untuk mendapatkan X kita terlebih dahulu harus generate R (Random Number) dari komputer dan menyusunnya dalam bentuk : X = a + [R/p] = a + [R(b-a+1)] Yang dicetak tebal warna merah menunjukkan angka terbesar integer. Dengan demikian tahap-tahap ini akan menunjuk pada :

Hal ini menunjukkan probabilitas dari R berada dalam suatu interval khusus dari Pi sampai P(I + 1), dan ini adalah P, yang mana X adalah distribusi uniform pada permulaan bilangan integer. Contoh Soal

6.2 Distribusi Binomial Dinyatakan bahwa X mempunyai distribusi Binomial dengan PDF Nilai X dinyatakan terlebih dahulu dengan :

Dimana setiap Yi akan diambil sampelnya dari percobaan Bernaulli (Bernaulli Trial) dengan menyatakan: Agar dapat melihat hal ini kita harus mencatat Yi yang mempunyai Moment Generating Function (MGF): Myi (Z) = 1 – p + pZ

Karena yi adalah independen maka adanya MGF dari X adalah sebagai berikut: Myi (Z) = (1 – p + p)n Dimana hal ini adalah MGF dari suatu random variabel dari B(n, p) Untuk mengintegrasikan hasil dari pembangkitan Bernaulli variate, kita akan membangkitkan R Ri dan menyatakan:

Ri  : yi = 1  apabila Ri > p Dan : yi = 0  apabila Ri  p Sehingga dalam frekuensi yang panjang akan diperoleh yi = 1 = p Dan untuk melaksanakan pendekatan inverse transformation kita gunakan:

6.3. Metode Transformasi dan Distribusi Binomial. Salah satu metode transformasi ini dapat dipergunakan pada distribusi probabilitas binomial. Untuk ini gunakan fungsi probabilitas densitas binomial yang dinyatakan dengan: PDF binomial yang menyatakan f(j) dimana j = 0,1,2, ……, k dan F(x) = ∑f(j). Contoh soal

6.4. Distribusi Beta Binomial Kadangkala suatu penyelidikan menghasilkan berbagai kemungkinan untuk mengikuti suatu probabilitas p sebagai suatu random variabel. Hal ini dapat muncul apabila mekanisme dari sampling yang dilakukan pada percobaan individu berpusat pada random variasi.

Bila p adalah suatu beta variate dari beta (a, b) dimana a, b > 0, maka didapat: dan Dengan hasilnya

6.5. Distribusi Poisson Distribusi Poisson ini mempunyai fungsi densitas probabilitas sebagai berikut: Untuk x = 0,1,2, ……. Juga sering disimbolkan dengan P() dan secara teoritis dapat dilakukan dengan beberapa cara. Sebagai contoh:

Dapat dilakukan melalui batasan dan Distribusi Binomial dengan B(n,p), bila n mencapai nilai besar tidak terbatas dan juga P sangat kecil maka dapat dilakukan dengan Poisson Variate. Dapat melalui hubungan dengan distribusi eksponensial dengan ().  merupakan parameter eksponensial, apabila ada “Waktu diantara 2 event (kejadian) adalah independen”

Dengan demikian dari hubungan pada distribusi eksponensial akan dapat digunakan untuk menggenerate Random Variate x sebagai suatu Poisson variate yang dapat dirumuskan melalui pertambahan waktu t dengan batasan-batasan sebagai berikut.

Dengan diketahui ti adalah random variate dari distibusi eksponensial: Maka diperoleh:

Dikalikan dengan  didapat: Dengan pembuktian matematis akan didapat: Rumus ini merupakan penentu simulasi untuk mendapatkan jumlah kedatangan dari distribusi Poisson dengan Mean =  per unit waktu. Contoh Soal:

6.6. Distribusi Geometri Distribusi Geometri ini merupakan suatu distribusi probabilitas diskrit yang dapat menggunakan landasan pemikiran simulasi diskrit bilangan acak yang mempunyai random variate dengan rumus: Untuk : µi = Pembangkit Random Number. q = 1 - p p = parameter distr. Prob. Geometri Contoh Soal