GRUP dan SIFATNYA

TUJUAN Mahasiswa akan dapat membuktikan bahwa suatu sistem adalah grup, grup periodik grup siklis dan subgrup

Cakupan Grup Order Grup Sifat-sifat grup Pangkat dan order elemen grup Revisi untuk UTS

Order Grup Order grup adalah banyaknya elemen grup tersebut. Berapa order grup berikut ini. (Z,+), ({0,1,2,3}, +4), ({1,2,3}), x4) E=himpunan bilangan bulat genap dengan operasi penjumlahan Himpunan matriks bilangan bulat berorde mxn dengan operasi penjumlahan Himpunan matriks riil 2x2 dengan determinan tak nol dengan operasi perkalian matriks

Sifat-sifat Grup Dalam sebuah grup, berlaku hukum pencoretan kiri dan kanan. Dalam sebuah grup, setiap persamaan kiri dan setiap persamaan kanan dapat dipecahkan dan jawabnya tunggal. Jika G sebuah grup, maka a  G berlaku: (a-1)-1 = a. (a.b)-1 = b-1.a-1 (a1.a2.a3....an)-1=an-1.an-1-1.an-2-1 ....a3-1.a2-1.a1-1.

Catatan Grup merupakan sebuah loop. Mengapa ? Suatu loop yang asosiatif adalah grup. Mengapa? Suatu kuasigrup yang asosiatif adalah grup. Mengapa? Suatu semigrup adalah grup jika setiap persamaan kiri dan persamaan kanan dapat dipecahkan. Suatu semigrup berhingga yang memenuhi hukum pencoretan adalah grup.

Pangkat Elemen G sebuah grup dan a suatu unsur dari G. Maka untuk setiap bilangan asli m dan n, berlaku: I) am.an = am+n ii) (am)n = amn Untuk setiap bilangan asli n, a-n = (a-1)n dan a0 = e (e adalah unsur kesatuan dari grup tersebut) (an)-1 = a-n,  bilangan asli n. Buktikan. Untuk setiap bilangan bulat p dan q berlaku: (i) ap.aq = ap+q (ii) (ap)q = apq (iii) (ap)-1 = a-p

Order Elemen Jika G grup dan a  G, maka order dari a adalah bilangan bulat positif terkecil n, sedemikian rupa sehingga an = e. (e=unsur kesatuan). Jika bilangan bulat positif seperti itu tidak ada, dikatakan a berorder 0 atau berorder tak hingga. Notasi order dari a adalah o(a). Order dari e = o(e) = 1.

Contoh Cari order elemen-elemen grup berikut. Grup (R - {0}, x) adalah grup dengan unsur kesatuan 1. Grup I4 = {x / x  C, x4 = 1} dengan operasi perkalian biasa. Grup (R,+) adalah grup dengan unsur kesatuan 0. A={0,1,2,3,4,5} dengan operasi penjumlahan modulo 6. A={1,2,3,4} dengan operasi perkalian modulo 5. Carilah order tiap elemen.

Penutup Grup: sistem yang tertutup, asosiatif, punya unkes, dan tiap elemen punya invers Order Grup: banyak anggota grup Sifat-sifat grup: berlaku hukum pencoretan dan persamaan Pangkat elemen order elemen grup = n, jika an = unkes Revisi untuk UTS