GRUP SIKLIK
Diketahui (Z,+) grup dan 1 Z 1 Diketahui (Z,+) grup dan 1 Z 1. Tuliskan <1> dalam notasi pembentuk himpunan. 2. Tentukan semua anggota <1>. 3. Apakah <1>=Z? 4. Bagaimana dengan <-1>? 5. Bagaimana dengan <2>?
GRUP SIKLIK G disebut grup siklik jika a G G = {an|n Z}. Dikatakan bahwa a pembangun G Jika G grup siklik yang dibangun oleh a maka dapat ditulis bahwa G=<a>
PERTANYAAN KONSEP Diketahui (Z,+) grup. Himpunan <2> dibaca apa? Jelaskan “grup siklik yang dibangun oleh a” dan “subgrup siklik yang dibangun oleh b”? Bagaimana mengatakan suatu himpunan bukan grup siklik? Buatlah sebarang contoh grup siklik Buatlah non contoh grup siklik. Grup-grup yang bagaimana yang bukan grup siklik? ………………………….. ……………………………
Teorema 4.1 Jika G grup dan a G maka |a| infinite semua pangkat yang berbeda dari a menunjukkan elemen yang berbeda dari G. |a|=n <a>= {e,a1, a2,a3,…an-1} dan ai=aj jika dan hanya jika n|i-j Contoh Pada grup Z, karena |1| infinite(?) maka untuk i j menunjukkan 1i 1j Pada grup Z3, karena ……………..
Mencari pembangun yang lain jika salah satu pembangun diketahui Diketahui (Z8,+(mod 8)), 1 anggota Z8 dengan |1|=8 Apakah Z8 grup siklik? Sebutkan 1 pembangun Z8. Apakah ada pembangun yang lain? Apa hubungan pembangun yang lain dengan order 1?
Teorema 4.2 Misalkan G = <a> adalah grup siklik dengan order n. G = <ak> gcd(k,n) Suatu bilangan bulat k di Zn gcd (k,n) = 1
Teorema Fundamental Grup Siklik Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik. Lagipula jika |<a>| = n maka order dari sebarang subgrup <a> adalah pembagi n dan untuk setiap pembagi positif k dari n, grup <a> mempunyai tepat satu subgrup dengan order k katakan <an/k>
PR(dikumpulkan tgl 17 April ’09, kelompok) Buat contoh untuk memahami teorema fundamental grup siklik . Tulis kembali t.f.g.s.dalam notasi-notasi logika. Buktikan t.f.g.s. dengan terlebih dahulu membuat bagan / peta konsep. Buat contoh untuk memahami akibat t.f.g.s. Tulis kembali akibat teorema f.g.s.dalam notasi-notasi logika. Buktikan teorema akibat t.f.g.s.