Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN BINA INSAN MANDIRI BIM STKIP ALJABAR ABSTRAK Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi

SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP Materi Pokok ALJABAR ABSTRAK OPERASI BINER G R U P SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP SUB GRUP GRUP SIKLIK

Tujuan Instruksional Umum Setelah mempelajari materi ini, Anda dapat memahami tentang operasi biner, grup dan sifat-sifat sederhana dari grup, subgrup serta tentang grup siklik

Pertemuan Kedua G r u p 3. Contoh Soal 4. Latihan / Tugas 1. Definisi 2. Teorema Ke Materi Ketiga

Grup Siklik Pada sub pokok bahasan ini akan dijelaskan suatu orde dari suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan (positif atau negetif) atau perkalian dari suatu unsur tetap dari Grup tersebut. Grup yang seperti ini dinamakan Grup Siklik.

Definisi (Terhadap perkalian) Grup (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a ∈ G sedemikian hingga G ={an | n ∈ Z}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut. (Terhadap penjumlahan) Grup (G,+) disebut siklik, bila ada elemen a ∈ G sedemikian hingga G ={na | n ∈ Z}.

Definisi Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a ∈ G, maka generator a yang membangun suatu Subgrup [a] dinamakan Subgrup Siklik dari (G,*). Jadi yang dimaksud dengan Subgrup Siklik yaitu suatu Subgrup yang dibangkitkan oleh satu unsur. Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a ∈ G, maka generator a yang membangun suatu Subgrup [a] dimana [a] = G, maka Subgrup tersebut dinamakan Grup Siklik.

Dengan kata lain, Grup Siklik adalah Subgrup yang unsur-unsurnya merupakan unsur-unsur dari Grup itu sendiri. Suatu Grup Siklik bisa beranggotakan terhingga banyaknya unsur, bisa juga beranggotakan tak hingga unsur-unsur. Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur terhingga dinamakan Grup Siklik berhingga dan Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak hingga.

Contoh Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .). Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut. Penyelesaian : Generator dari G = {-1, 1} adalah -1 dan 1 [-1] = {(-1)n | n ∈ Z} = {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …} = {-1, 1}

[1] = {(1)n | n ∈ Z} = {(1)0, (1)1, (1)2, …} = {1} generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga : [-1] = {-1, 1} generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga : [1] = {1}.

Contoh Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Grup terhadap penjumlahan (G,+). Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut. Penyelesaian Generator dari G = {0, 1, 2, 3} adalah 0, 1, 2 dan 3 [0] = {n(0) | n ∈ Z} = {0} [1] = {n(1) | n ∈ Z} = {0.1, 1.1, 2.1, 3.1, …} = {0, 1, 2, 3}

Penyelesaian [2] = {n(2) | n ∈ Z} = {0. 2, 1. 2, 2. 2, 3 Penyelesaian [2] = {n(2) | n ∈ Z} = {0.2, 1.2, 2.2, 3.2, …} = {0, 2} [3] = {n(3) | n ∈ Z} = {0.3, 1.3, 2.3, 3.3, …} = {0, 3, 2, 1} generator 1 dan 3 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga : [1] = [3] = {0, 1, 2, 3} generator 0 dan 2 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga : [0] = {0} dan [2] = {0, 2}

Contoh Grup (Z,+) merupakan Grup Siklik tak hingga yang dibangun oleh 1. Penyelesaian : [1] = {…, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, …} = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} Jadi, 1 merupakan genertor yang membentuk Grup Siklik tak hingga.

Contoh Misalkan I4 = {1, -1, i, -i} adalah Grup bilangan kompleks terhadap perkalian (I4, .). Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut. Penyelesaian : Generator dari I4 = {1, -1, i, -i} adalah 1, -1, i dan -i [1] = {(1) n | n ∈ Z} = {(1)0, (1)1, (1)2 , …} = {1} [-1] = {(-1) n | n ∈ Z} = {(-1)0, (-1)1, (-1)2, …} = {-1, 1}

[i] = {(i) n | n ∈ Z} = {(i)0, (i)1, (i)2, (i)3, (i)4, …} = {1, i, -1, -i} [-i] = {(-i) n | n ∈ Z} = {…, (-i)-2, (-i)-1, (-i)0, (-i)1, (-i)2, …} = {1, -i, i, -1 } generator i dan -i adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga : [i] = [-i] = {1, -1, i,-i} generator 1 dan -1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga : [1] = {1} dan [-1] = {1, -1}

Definisi Setiap Grup Siklik adalah Grup Abelian. Bukti : Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G = {an | n ∈ Z}.

Ambil x, y ∈ G, sehingga x = am dan y = an, untuk m, n ∈ Z. x. y = am Ambil x, y ∈ G, sehingga x = am dan y = an, untuk m, n ∈ Z. x . y = am . an = am+n = an+m = an . am = y . x Jadi, (G, .) merupakan Grup Komutatif. Misalkan (G, +) merupakan Grup Siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G ={na | n ∈ Z}. Ambil x, y ∈ G, sehingga x = na dan y = ma, untuk m, n ∈ Z. x + y = na + ma = (n + m)a = (m +n)a = ma + na = y + x Jadi, (G, +) merupakan Grup Komutatif.

Latihan Diketahui matriks adalah suatu grup terhadap perkalian. Tunjukkan apakah (M, .) merupakan suatu grup siklik. 2. Diketahui matriks adalah suatu grup terhadap perkalian. Tunjukkan apakah (N, .) merupakan suatu grup siklik.

Latihan 3. Buktikan dengan contoh bahwa Subgrup dari Grup Siklik merupakan juga Grup Siklik.

Thank You ! Selamat Belajar