Bab 3B Statistika Deskriptif: Parameter Populasi 2

Bab 3B Bab 3B STATISTIKA DESKRIPTIF: PARAMETER POPULASI 2 A. Pendahuluan 1. Data Di sini kita berbicara tentang dua data, katakan, data X dan data Y Dua data itu, X dan Y, dalam keadaan berpasangan Banyaknya atau frekuensi data adalah banyaknya pasangan data

Bab 3B Skala Data Skala data pada pasangan data itu mencakup Interval dan interval Dikotomi dan interval Dikotomi dan dikotomi 3. Hubungan Data Dua data itu dapat saja tidak berhubungan atau berhubungan Tidak berhubungan dapat dianggap sebagai hubungan berukuran nol 4. Populasi dan Parameter Pada populasi pasangan data itu terdapat beberapa parameter berkenaan dengan hubungan di antara data itu

Bab 3B B. Parameter Kovariansi 1. Perkalian Simpangan Ada pasangan data, misalnya, pasangan data X dan data Y Dalam satu pasang, perkalian di antara simpangan pada X dan simpangan pada Y merupakan perkalian simpangan Jumlah dari perkalian simpangan pada semua pasang data menghasilkan jumlah perkalian simpangan Jumlah perkalian simpangan dapat memiliki nilai negatif, nol, atau positif Jumlah perkalian simpangan sering singkat menjadi jumlah perkalian (JP)

Bab 3B Kemungkinan perkalian simpangan XX YY XX YY XX YY XX YY X Y X Y X Y X Y (+)(+) = (+) (+)(–) = (–) (–)(+) = (–) (–)(–) = (+)    

Bab 3B Jika arah sama (dua-dua positif atau dua-dua negatif) maka perkalian simpangan adalah + Jika arah berlawanan (satu positif dan lainnya negatif) maka perkalian simpangan adalah – Perkalian simpangan menunjukkan jenis hubungan di antara X dan Y Searah menunjukkan hubungan positif Lawan arah menunjukkan hubungan negatif 2. Jumlah Perkalian Simpangan Jumlah semua perkalian simpangan dapat menghasilkan JP > 0 (hubungan positif) JP = 0 (tidak ada hubungan) JP < 0 (hubungan negatif)

Bab 3B Rumus JP Untuk N pasang data X dan Y Contoh 1 X Y XY JP = 66 – 66, = – 0,

Bab 3B Parameter Kovariansi JP bergantung kepada banyaknya data sehingga dapat berbeda karena banyaknya data berbeda Pengaruh banyaknya data ditiadakan melalui pembagian JP dengan banyaknya data N dan pembagian ini dikenal sebagai kovariansi Kovariansi di antara X dan Y diberi notasi  XY dan menunjukkan hubungan di antara X dan Y Rumus kovariansi

Bab 3B Contoh 2 X Y XY JP = – (500)(534)/ = – =  XY = 1500 / 10 =

Bab 3B Contoh 3 X Y XY JP =  XY =

Bab 3B C. Parameter Koefisien Korelasi Linier 1. Hakikat Dikenal juga sebagai koefisien korelasi Momen-Produk Pearson (Pearson Product Moment Correlation) Seperti halnya perkalian simpangan, jumlah perkalian simpangan, dan kovariansi, koefisien korelasi linier menunjukkan hubungan di antara dua data Notasi koefisien korelasi linier adalah  XY 2. Koefisien korelasi linier (a) Rumus

Bab 3B Koefisien korelasi linier dapat juga dihitung dafri rumus berikut atau dengan nilai yang sama yakni  1   XY  + 1

Bab 3B Contoh 4 X Y XY JP = – (500)(534)/ = – =  XY = 1500 / 10 =  X = 17,  Y = 18,69  XY = 150 / (17,18)(18,69) = 0,47

Bab 3B Contoh 5 X Y XY JP =  XY =  X =  Y =  XY =

Bab 3B (b). Perhitungan dengan kalkulator elektronik Perhitungan koefisien korelasi linier dapat dilakukan dengan bantuan kalkulator elektronik Cara pakai tercantum di dalam manual Sebagai contoh di sini digunakan kalkulator elektronik Casio fx 350 TL Mode 3 1 (masuk ke reg lin) Shift AC = AC (mengosongkan isi memori) 6 3, 8 7 DT (pasangan data dipisah oleh,) 5 0, 7 4 DT ……………………. Shift r (tampil nilai koefisien korelasi linier) Shift x  n (tampil nilai simpangan baku X) Shift y  n (tampil nilai simpangan baku Y) Mode 1 (kembali ke fungsi kalkulator) Kovariansi dapat dihitung menurut rumus

Bab 3B Contoh 6 Gunakan kalkulator, hitung koefisien korelasi linier, dilanjukan dengan simpangan baku, dan kovariansi untuk data berikut (a) X Y (b) X 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 Y 8,1 7,8 8,5 9,8 9,5 8,9 8,6 10,2 9,3 9,2 10,5 (c) X Y (d) X Y (e) X Y

Bab 3B Koefisien Determinasi Koefisien diterminasi terdapat di antara dua data, misalkan, di antara data X dan Y Koefisien diterminasi menunjukkan berapa besar variansi pada Y ditentukan (diperoleh melalui kontribusi) oleh X dan sebaliknya yakni berapa besar X dapat menjelaskan Y atau sebaliknya Koefisien determinasi sama dengan kuadrat dari koefisien korelasi linier d =  2 d XY

Bab 3B Contoh 7 Koefisien korelasi linier di antara data X dan Y adalah  XY = 0,7 Koefisien determinasi di antara data X dan Y adalah d =  2 XY = (0,7) 2 = 0,49 Ini berarti bahwa 49% variansi pada Y ditentukan oleh variansi pada X Dengan demikian sebagian informasi pada data Y terdapat pada data X Contoh 8 Jika 50% variansi pada data Y ditentukan oleh data X, maka koefisien korelasi di antara X dan Y adalah  XY = √0,50 = 0,707

Bab 3B Parameter Koefisien Korelasi Biserial Titik Jika salah satu data adalah dikotomi sedangkan data lainnya adalah politomi, maka hubungan mereka dinyatakan melalui koefisien korelasi biserial titik Misalkan data X dikotomi dan data Y politomi, maka rumus koefisien biserial titik dengan  Y1 = rerata Y yang berpasangan dengan nilai 1 pada X,  Y0 = rerata Y yang berpasangan dengan nilai 0 pada X  = proporsi nilai 1 pada X

Bab 3B Contoh 9 X Y Y 1 Y  = 6 / 10 = 0,  Y1 = 35,  Y0 = 20,  Y = 13,

Bab 3B Contoh 10 Koefisien korelasi biserial titik untuk data X Y Y 1 Y  =  Y1 =  Y0 =  Y =  bt =

Bab 3B Contoh 11 Koefisien korelasi biserial titik untuk data X Y Y 1 Y  =  Y1 =  Y0 =  Y =  bt = 0 60

Bab 3B Koefisien Phi Apabila dua data misalnya X dan Y adalah kedua-duanya dikotomi, maka rumus koefisien korelasi liniernya dapat disederhanakan A B C D X Y Koefisien korelasi linier di antara dua data dikotomi dikenal sebagai koefisien phi (  ) + – + A B A+B – C D C+D A+C B+D Rumus koefisien phi (frekuensi)

Bab 3B Dalam bentuk proporsi + – + p A p B p A + p B – p C p D p C + p D p A + p C p B + p D Rumus koefisien phi (proporsi) Dalam bentuk frekuensi atau proporsi, A dan D adalah komponen sama B dan C adalah komponen berbeda di antara dua data itu

Bab 3B Contoh 12 Pada jajak pendapat, hasilnya adalah Pria Wanita wanita tidak ya ya pria tidak Di sini A = 4, D = 3 (sama ya sama tidak) B = 2 C = 1 (satu ya lainnya tidak) Koefisien phi

Bab 3B Contoh 13 Data X – – 5 1 ρ Φ = Contoh 14 Data X – – ρ Φ = Data Y

Bab 3B Contoh 15 Data X – – ρ Φ = Contoh 16 Data X – – ρ Φ = Data Y

Bab 3B Contoh 17 Data X – – ρ Φ = Contoh 18 Data X – – ρ Φ = Data Y

Bab 3B Contoh 19 X Y ρ Φ = Contoh 20 X Y ρ Φ =

Bab 3B Contoh 21 Pendapat terhadap suatu hal Pria yang setuju : 20 orang Pria tidak setuju : 10 orang Wanita yang setuju : 30 orang Wanita tidak setuju : 40 orang ρ Φ = Contoh 22 Pada suatu peristiwa Bujangan mengalami : 21 orang Bujangan tidak mengalami : 34 orang Kawin mengalami : 44 orang Kawin tiadak mengalami : 16 orang ρ Φ =

Bab 3B Parameter Koefisien Korelasi Biserial dan Tetrakorik Dua data yang berhubungan, katakan data X dan data Y, kedua-duanya politomi Salah satu data dipecah menjadi dua bagian (dikotomi buatan) dan lainnya tetap politomi. Korelasi ini dikenal sebagai korelasi biserial Kedua-dua data masing-masing dipecah menjadi dua bagian (dikotomi buatan). Korelasi ini dikenal sebagai korelasi tetrakorik Koefisien korelasi biserial dan koefisien korelasi tetrakorik kedua-duanya memerlukan fungsi densitas distribusi probabilitas normal sehingga akan dibicarakan di Bab 5B

Bab 3B D. Parameter Koefisien Regresi Linier 1. Diagram Pencar Selain melalui korelasi, hubungan di antara data (misalnya di antara X dan Y) dapat dilukis melalui diagram pencar Pada diagram pencar, data X diletakkan di absisa dan data Y diletakkan di ordinat Setiap pasangan data ditampilkan sebagai satu titik di diagram pencar Ini berarti bahwa data X memiliki sebagian informasi dari data Y, dan sebaliknya, data Y memiliki sebagian informasi dari data X

Bab 3B Pasangan data X dan Y adalah sebagai berikut X : Y :               Y X

Bab 3B Fungsi dan Regresi Fungsi linier Fungsi nonlinier Y X     Semua titik di garis Y X     

Bab 3B Garis regresi linier (terdekat pada semua titik) X : Y :               Y X Kebanyakan titik tidak di garis

Bab 3B Garis regresi digunakan untuk prediksi Jika X diketahui maka Y dapat diprediksi melalui garis regresi Data X 1 memprediksi data Ŷ 1, data X 2 memprediksi data Ŷ 2 X Y X1X1 X2X2 Ŷ1Ŷ1 Ŷ2Ŷ2

Bab 3B Residu Kalau titik tidak terletak di garis, maka ada beda di antara Y dengan prediksi Ŷ Selisih Y – Ŷ merupakan kekeliruan yang dikenal sebagai residu (negatif atau positif)   X1X1 X2X2 X Y Y2Y2 Ŷ2Ŷ2 Ŷ1Ŷ1 Y1Y1 residu

Bab 3B Regresi dan jumlah residu kuadrat terkecil Residu bernilai negatif dan positif sehingga jumlah mereka dapat saling meniadakan Agar tidak saling meniadakan, residu dikuadratkan dan dijumlahkan Garis regresi linier diperoleh dengan mencari garis dengan jumlah residu kuadrat terkecil, Σ ( Y – Ŷ ) 2 minimum sehingga menghasilkan Ŷ = A + BX A dan B merupakan koefisien regresi

Bab 3B Perhitungan Koefisien Regresi Linier (a) Rumus Koefisien regresi dapat juga dihitung dari rumus berikut atau dengan rumus

Bab 3B Contoh 23 Dengan data dari contoh 36, X Y XY  XY = 0,  X = 50,  Y = 53,  X = 17,  Y = 18, B = (0,47) (18,69 / 17,18) = 0, A = 53,40 – (0,51)(50,00) = 27,90 Regresi linier Ŷ = 27,90 + 0,51 X

Bab 3B Contoh 24 Dengan data dari contoh 37, X Y  XY =  X =  Y =  X =  Y = B = A = Ŷ =

Bab 3B (b) Perhitungan koefisien regresi dengan kalkulator Koefisien regresi B dan A dapat langsung dihitung dengan bantuan kalkulator elektronik Cara memasukkan data sama dengan cara memasukkan data pada perhitungan koefisien korelasi linier Setelah data dimasukkan, tekan Shift B (tampilkan nilai koefisien B) Shift A (tampilkan nilai koefisien A) Contoh 25 X Y Dengan kalkulator B = A = Ŷ =

Bab 3B Contoh 26 Gunakan kalkulator, hitung koefisien regresi linier B dan A, dilanjutkan dengan menentukan regresi linier Ŷ untuk data berikut (a) X Y (b) X 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 Y 8,1 7,8 8,5 9,8 9,5 8,9 8,6 10,2 9,3 9,2 10,5 (c) X Y (d) X Y (e) X Y

Bab 3B Ciri Koefisien Regresi Linier Koefisien regresi linier A Dari Ŷ = A + BX, ketika X = 0, maka Ŷ = A yakni perpotongan garis regresi dengan sumbu Y Koefisien regresi linier B Dari Ŷ = A + BX, maka B merupakan koefisien arah yang berkaitan dengan sudut garis regresi Makin besar B, makin besar sudut, sehingga makin curam garis regresi Y X Ŷ = A + BX Asudut

Bab 3B Koefisien regresi dan korelasi linier Koefisien regresi linier B dan koefisien korelasi linier  XY sama-sama menunjukkan hubungan di antara data X dan data Y B dan  XY menunjukkan hubungan yang sama tetapi dinyatakan dalam skala yang berbeda Pada nilai baku (  = 0 dan  =1) mereka menjadi sama yakni koefisien regresi linier dan koefisien korelasi linier menjadi B =  XY z Ŷ = Bz X atau z Ŷ =  XY z X

Bab 3B Dalam bentuk nilai baku Karena  = 0, maka garis regresi selalu melalui titik asal 0, 0 dan A = 0 Karena  X =  Y = 1, maka B =  XY Regresi liner pada nilai baku z Ŷ = B z X =  XY z X sehingga B =  XY zYzY zXzX z Ŷ = B z X =  XY z X

Bab 3B Contoh 27 Pada suatu regresi linier diketahui  X = 10  Y = 20  XY = 0,80  X = 2  Y = 3 maka dari hubungan z Ŷ =  XY z X diperoleh

Bab 3B Contoh 28 Pada suatu regresi linier diketahui  X = 50  Y = 100  XY = 0,85  X = 10  Y = 16 maka regresi linier itu adalah Ŷ = Contoh 29 Suatu regresi linier berbentuk Ŷ = ,5 X dan  X = 2  Y = 4 sehingga  XY =