Beberapa Sebaran Peluang Diskret (2) Statistik 2/pertemuan V/2009-2010

Sebaran Hipergeometrik Percobaan hipergeometrik bercirikan 2 sifat berikut: Suatu contoh acak berukuran n diambil dari populasi yang berukuran N k dari N benda diklasifikasikan sebagai berhasil dan N – k benda diklasifikasikan sebagai gagal. Banyaknya keberhasilan X dalam suatu percobaan hipergeometrik disebut peubah acak hipergeometrik. Dengan demikian, sebaran peluang bagi peubah acak hipergeometrik disebut sebaran hipergeometrik dan nilai-nilainya akan dilambangkan dengan h(x;N,n,k), karena nilai-nilai itu bergantung pada banyaknya keberhasilan k diantara n benda yang diambil dari populasi N benda.

contoh Sebuah panitia yang terdiri atas 5 orang diambil secara acak dari 3 perempuan dan 5 laki-laki. Carilah sebaran peluang bagi banyaknya perempuan dalam panitia itu. Jawab. Misalkan X adalah banyaknya perempuan yang duduk dalam panitia itu. Kedua sifat percobaan hipergeometrik dipenuhi. Maka :

Definisi Sebaran Hipergeometrik Bila dalam populasi N benda, k benda di antaranya diberi label “berhasil” dan N – k benda lainnya diberi label “ gagal” maka sebaran peluang bagi peubah acak hipergeometrik X, yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n adalah

Contoh (2) Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge, berapa peluang diperoleh 3 kartu hati? Jawab Dengan menggunakan sebaran hipergeometrik untuk n=5, N=52, k=13, dan x=3, maka peluang memperoleh 3 kartu hati adalah

Nilai mean dan variansi bagi sebaran hipergeometrik h(x;N,n,k) Nilai mean dan variansi bagi sebaran hipergeometrik h(x;N,n,k) adalah

Contoh (3) Dengan menghitung nilai mean dan variansi bagi sebaran peluang pada contoh (1). Verifikasikanlah rumus-rumus dalam nilai mean dan variansi dalam sebaran hipergeometrik Jawab Untuk sebaran hipergeometrik pada contoh (2) dengan N = 8, n = 5, dan k = 3 :

Contoh (4) Dengan menggunakan dalil Chebyshev, cari dan tafsirkan selang µ ± α bagi contoh (2) Jawab: Karena contoh (2) merupakan suatu percobaan hipergeometrik dengan N = 52, n = 5 dan k = 13, maka

Dengan mengakarkan 0. 8640 kita memperoleh σ = 0. 93 Dengan mengakarkan 0.8640 kita memperoleh σ = 0.93. Maka selang yang diminta adalah 1.25 ± (2) (0.93), atau – 0.61 sampai 3.11. Dalil Chebyshev mengatakan bahwa banyaknya kartu hati yang diperoleh bila 5 kartu diambil secara acak tanpa pemulihan akan terletak antara -0.61 dan 3.11 dengan peluang sekurang-kurangnya ¾; jadi bila pengambilan 5 kartu ini di ulang-ulang, maka ¾ nya akan mengandung kurang dari 4 kartu hati. Bila n relatif kecil dibandingkan dengan N , maka peluang pada setipa pengambilan akan berubah kecil sekali. Nilai tengah dan ragamnya juga dapat dihampiri melalui rumus

Contoh (5) Perusahaan tilpun melaporkan bahwa di antara 5000 pemasang tilpun baru, 4000 menggunakan tilpun “tombol”. Bila 10 diantara pemasang baru tersebut diambil secara acak. Berapa peluang tepat ada 3 orang yang menggunakan tipe “putar”? Jawab Karena ukuran populasi N = 5000 relatif sangat besar dibandingkan dengan ukuran contoh n = 10, maka kita akan menghampiri peluang yang ditanyakan dengan mengunakan sebaran binom. Peluang orang menggunakan tipe “putar” adalah 0.2 maka peluang tepat ada 3 orang yang menggunakan tipe “putar” diantara 10 orang contoh tersebut adalah:

Sebaran Hipergeometrika Peubah Ganda Definisi Sebaran Hipergeometrik Peubah Ganda. Bila suatu populasi berukuran N disekat menjadi k sel A1, A2,……Ak masing-masing dengan a1,a2,…ak unsur, maka sebaran peluang bagi peubah acak X1, X2,…..Xk, yang menyatakan banyaknya unsur yang terambil dari sel-sel A1,A2,…Ak bila dari populasi itu diambil contoh acak berukuran n adalah

Sebaran Binom Negatif dan Sebaran Geometrik Definisi Sebaran Binom Negatif. Bila ulangan yang bebas dan berulang-ulang dapat menghasilkan keberhasilan dengan peluang p dan kegagalan dengan peluang q = 1 – p , maka sebaran peluang bagi peubah acak X, yaitu banyaknya ulangan sampai terjadinya k keberhasilan, diberikan menurut rumus

Contoh (6) Hitunglah peluang seseorang yang melemparkan 3 uang logam akan mendapatkan semua sisi gambar atau semua sisi angka untuk yang kedua kalinya pada lemparan ke lima. Jawab Dengan mengunakan sebaran binom negatif dengan x = 5, k = 2 dan p = ¼ kita mendapatkan

Definisi Sebaran Geometrik Bila tindakan yang bebas dan berulang-ulang dapat menghasilkan keberhasilan dengan peluang p dan kegagalan dengan peluang q = 1 – p, maka sebaran peluang bagi peubah acak X, yaitu banyaknya ulangan sampai munculnya keberhasilan yang pertama, diberikan menurut rumus

Contoh (7) Hitunglah peluang bahwa seseorang yang melemparkan sekeping uang logam yang setimpang, memerlukan 4 lemparan sampai diperoleh sisi gambar. Jawab Dengan mengunakan sebaran geometrik dengan x = 4 dan p = ½, kita memperoleh

Sebaran Poisson Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut: Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah. Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut, dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut dapat diabaikan. Bilangan X yang menyatakan hasil percobaan dalam suatu percobaan Poisson disebut Peubah acak Poisson dan sebaran peluangnya disebut Sebaran Poisson.

Definisi Sebaran Poisson Definisi Sebaran Poisson, sebaran peluang bagi peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu, adalah Sedangkan dalam hal ini µ adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakan dan e = 2.71828

Contoh (8) Rata-rata jumlah hari sekolah ditutup karna salju selama musim dingin di suatu kota di bagian timur Amerika Serikat adalah 4. Berapa peluang bahwa sekolah-sekolah di kota ini akan ditutup selama 6 hari dalam suatu musim dingin? Jawab Dengan mengunakan sebarab Poisson dengan x = 6 dan µ = 4 diperoleh bahwa

Contoh (9) Rata-rata banyaknya tikus per acre dalam suatu ladang gandum seluas 5 acre diduga sebesar 10. Hitung peluang bahwa dalam suatu luasan 1 acre terdapat lebih dari 15 tikus. Jawab Misalkan X adalah banyaknya tikus per acre. Maka

Contoh (10) Misalkan bahwa rata-rata 1 orang diantara 1000 orang adalah pecandu alkohol. Hitung peluang bahwa dalam suatu contoh acak 8000 orang terdapat kurang dari 7 pecandu alkohol. Jawab Sesungguhnya ini merupakanpercobaan binom dengan n = 8000 dan p = 0.001. Karena p sangat dekat dengan nol dan n sangat besar, akan dihampiri dengan sebaran Poisson dengan µ = (8000)(0.001) = 8 . Oleh karena itu, bila X menyatakan banyaknya pecandu alkohol, diperoleh