MODEL ANTRIAN (Waiting Lines) Konsep Model Antrian : Garis Tunggu/Antrian/Queues (Ada orang/barang/kertas yang kerja harus menunggu untuk mendapatkan jasa pelayanan). Fasilitas Pelayanan/Server (Biasanya relatif mahal sehingga tersedia dalam jumlah terbatas, karena berusaha menekan cost). Tujuan Model Antrian : Meminimumkan dua biaya : (1) Biaya Langsung dari penyedia Fasilitas/Produsen (2) Biaya Tidak Langsung, karena individu harus menunggu untuk dilayani. Model Antrian berusaha menciptakan suatu model antrian yang menguntungkan dari sisi penyedia pelayanan dan sekaligus mengurangi/menghilangkan antrian (waktu menunggu) bagi pihak yang dilayani/customer.

lanjutan Contoh Aplikasi : 3. Macam Model Antrian : Pembagian Terperinci : a. Single Channel – Single Phase b. Single Chanel – Multiphase c. Multichannel – Single Phase d. Multichannel - Multiphase Pembagian Lain: a. Single Channel Model (M/M/1) b. Multiple Channel Model (M/M/S) Contoh Aplikasi : Kasus 1. Manajer sebuah Restoran yang cukup sukses, akhir-akhir ini merasa prihatin dengan panjangnya antrian. Beberapa pelanggannya telah mengadu tentang waktu menunggu yang berlebihan, oleh karena itu manajer khawatir suatu saat akan kehilangan pelanggannya. Analisis dengan teori antrian diketahui, tingkat kedatangan rata-rata langganan selama periode puncak adalah 50 orang per jam (mengikuti distribusi Poisson). Sistem pelayanan satu per satu dengan waktu rata-rata 1 orang 1 menit.

a. Tingkat kegunaan bagian pelayanan restoran (p) ? lanjutan Pertanyaan : a. Tingkat kegunaan bagian pelayanan restoran (p) ? b. Jumlah rata-rata dalam antrian (nq) ? c. Jumlah rata-rata dalam sistem (nt) ? d. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian (tq) ? e. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem (tt) ? Kasus 2. Sama dengan kasus 1, hanya dalam pelayanan di restoran dalam satu kali pelayanan bisa dilayani 2 orang sekaligus (ada dua server/pelayanan). Pertanyaan, sama persis dengan pertanyaan di kasus 1.

Penyelesaian Kasus Antrian 1 dg Manual : lanjutan Penyelesaian Kasus Antrian 1 dg Manual : Diketahui: µ (miyu) = 60 orang/jam ג (Lamda) = 50 orang/jam a. Tingkat kegunaan bagian pelayanan restoran (p) ? p = ג / µ = 50 / 60 = 0,8333 = 83,33% b. Jumlah rata-rata dalam antrian (nq) ? ג2 50 2 n q = ----------------- = -------------------- = 4,1667 orang µ (µ - ג ) 60 (60-50) c. Jumlah rata-rata dalam sistem (nt) ? n t = ג / (µ - ג ) = 50 / (60-50) = 5 orang

d. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian (tq) ? lanjutan d. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian (tq) ? ג 50 t q = ----------------- = -------------------- = 0,0833 jam µ (µ - ג ) 60 (60-50) = 5 menit e. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem (tt) ? t t = 1 / (µ - ג ) = 1 / ( 60 – 50) = 0,1 jam = 6 menit

Latihan Teori Antrian No. 1. lanjutan Latihan Teori Antrian No. 1. Sebuah SPBU memiliki satu mesin pompa yang dapat melayani rata-rata 25 mobil / jam. Jika rata-rata kedatangan mobil per jamnya adalah adalah 20 kendaraan mempunyai pola distribusi Poisson, maka hitunglah : a.  Tingkat intensitas pelayanan pom bensin tersebut ? b.  Jumlah rata-rata kendaraan dalam antrian ? c.   Jumlah rata-rata kendaraan dalam sistem ? d.  Waktu rata-rata yang dibutuhkan kendaraan dalam antrian ? e.   Waktu rata-rata yang dibutuhkan kendaraan dalam sistem ?  Latihan Teori Antrian No. 2. Sama dengan kasus 1, hanya pola kedatangan kendaraan mempunyai pola distribusi deterministik (konstan). Pertanyaan, sama persis dengan pertanyaan di kasus 1.

TEORI PERMAINAN (GAME THEORY) Pengertian : Suatu pendekatan matematis untuk merumuskan situasi persaingan dan konflik antar berbagai kepentingan. Teori yang digunakan untuk menganalisa proses pengambilan keputusan dari situasi-situasi persaingan yang berbeda-beda dan melibatkan dua atau lebih kepentingan. Aplikasi Teori Permainan: Manajer pemasaran bersaing merebutkan bagian pasar Manajemen terlibat dalam berbagai penawaran kolektif Tentara dalam memenangkan perang Pemain catur dalam strategi memenangkan permainan. Model Teori Permainan dapat diklasifikasikan dari : Jumlah Pemain (2 pemain atau N pemain) Jumlah Keuntungan dan Kerugian (Zero Zum Game dan Non Zero Zum Game) Jumlah Strategi yang Digunakan dalam Permainan

lanjutan Contoh: Unsur-unsur dari teori permainan : Teori permainan dengan jumlah pemain 2 (dua) dan tipe permainan dengan jumlah nol (Zero Zum Game atau jumlah keuntungan/+ dan kerugian/- sama atau jumlah nol). Unsur-unsur dari teori permainan : 1. Matrik Permainan/ Matrik Pay Off/Matrik Hasil Permainan. Menunjukkan hasil (bisa berupa efektivitas uang, market share, kegunaan) dari suatu permainan dengan berbagai strategi-strategi yang berbeda. Permainan dengan Dua pemain terdiri dari Pemain Baris (Maximize Player/Maximize Keuntungan) dan Pemain Kolom (Minimize Player/Minimize Kerugian). 2. Strategi Permainan dari masing-masing pemain (dua atau lebih) 3. Aturan Permainan (Bisa Memilih Strategi dan permainan berulang). 4. Nilai Permainan (Adil/fair apabila nilainya nol atau tidak ada pemain yang menang dan Tidak Adil/ Unfair apabila nilainya bukan nol). Strategi Dominan, apabila setiap pay off dalam strategi superior terhadap pay off/nilai hasil yang berhubungan dalam suatu alternatif. Aturan dominan bisa untuk menurunkan ukuran matrik. Strategi Optimal atau mencari posisi yang menguntungkan Identifikasi strategi dan rencana optimal dari setiap pemain.

lanjutan Kegunaan Konsep Teori Permainan : Mengembangkan suatu kerangka untuk analisis pengambilan keputusan dalam situasi-situasi persaingan atau kerjasama. Menguraikan suatu metode kuantitatif yang sistematis yang memungkinkan para pemain yang terlibat dalam suatu persaingan untuk memilih strategi-strategi yang rasional dalam pencapaian tujuan mereka. Memberikan gambaran dan penjelasan phenomena situasi-situasi persaingan atau konflik seperti tawar menawar dan perumusan koalisi. KASUS PERMAINAN DUA PEMAIN JUMLAH NOL. Permainan model ini paling umum terjadi dalam dunia bisnis, di mana ada dua orang, dua kelompok atau dua organisasi yang saling berhadapan dan mempunyai kepentingan yang bersamaan. Permainan disebut Zero Zum Game atau jumlah nol karena keuntungan (kerugian) dari satu pemain adalah kerugian (keuntungan) dari pemain lainnya/lawannya.

lanjutan Permainan tipe ini dikenal ada dua strategi yaitu Permainan Strategi Murni/Strategi Tunggal (Pure Strategy Game) dan Permainan Strategi Campuran (Mixed Strategy Game). Untuk strategi murni, pemain baris (Maximizing Player atau pemain yang berusaha memaksimumkan keuntungan) akan mengidentifikasikan strategi optimalnya melalui kriteria Maksimin (Maximin) yaitu mencari nilai minimum-minimum baris dan dari nilai minimum-minimum baris kemudian dicari nilai maksimumnya. Pemain kolom (Minimizing Player atau pemain yang berusaha meminimumkan kerugian) akan menggunakan strategi optimalnya melalui kriteria Minimaks (Minimax), yaitu akan mencari nilai maksimum-maksimum kolom, dan dari nilai maksimum-maksimum kolom kemudian dicari nilai minimumnya. Apabila hasil dari penerapan kriteria Maximin (dari pemain baris) dan penerapan kriteria Minimax (dari pemain kolom), menghasilkan nilai yang sama, berarti permaian berakhir atau titik equlibrium telah tercapai dan titik ini disebut sebagai Titik Pelana/Saddle Point.

lanjutan Contoh 1: Diketahui Matrik Pay Off/Hasil Permainan dari 2 pemain, dengan Zero Zum Game. Pemain A dengan 2 strategi A1 dan A2 dan Pemain B dengan 3 strategi B1, B2 dan B3. Penyelesaian Permainan dengan Strategi Murni, sebagai berikut : P E M A I N B MINIMUM B1 B2 B3 BARIS PEMAIN A1 2 9 3 A A2 7 8 4 4 (MAKSIMIN) MAKSIMUM KOLOM (MINI MAKS)

lanjutan Contoh 2: Diketahui Matrik Pay Off/Hasil Permainan dari 2 pemain, dengan Zero Zum Game. Pemain A dengan 3 strategi A1, A2 dan A3 dan Pemain B dengan 3 strategi B1, B2 dan B3. Penyelesaian Permainan dengan Strategi Murni, sebagai berikut : P E M A I N B MINIMUM B1 B2 B3 BARIS PEMAIN A1 2 9 3 A A2 A3 7 8 6 4 4 (MAKSIMIN) MAKSIMUM KOLOM (MINI MAKS)

lanjutan Dari Contoh 2 diketahui bahwa nilai Maksimin (dalam kasus ini = 4) tidak sama dengan nilai Minimaks (dalam kasus ini = 7), berarti Strategi Murni tidak dapat diterapkan dan permainan belum berakhir karena belum ditemukan titik pelana. Oleh karena itu kita perlu menerapkan Strategi Campuran, dengan menerapkan terlebih dulu aturan Dominan (bertujuan untuk mengurang ukuran Matrik). Dari Tabel pada contoh 2 diketahui bahwa Strategi B2 didominasi oleh B1, sehingga B2 bisa dihilangkan dari Matrik. Setelah kolom B2 dihilangkan diketahui juga bahwa Strategi A1 didominasi oleh Strategi A2 maupun A3, maka Strategi A1 dapat dihilangkan dari tabel. Dengan Aturan dominan sebenarnya kita telah dapat mengurangi ukuran Matrik dari 3 x 3 menjadi Matrik 2 x 2. Matrik Permainan yang baru menjadi Matrik ukuran 2 x 2 sering disebut sebagai Reduced Game Matrix, seperti dalam Tabel berikut :

lanjutan Tabel Reduced Game Matrix PEMA I N B MINIMUM B1 B3 BARIS Dari Tabel di atas, diketahui bahwa nilai Maksimin (4) tidak sama dengan nilai minimaks (7) atau tidak ada titik pelana, maka permainan belum selesai. Kasus ini dipecahkan dengan Strategi Campuran, tetapi tidak lagi digunakan aturan Dominan, melainkan dapat dilakukan dengan Metode Grafik atau Metode Analitis, atau Metode Aljabar Matrik atau Metode Linier Programming. Contoh kasus di atas jika digunakan metode analitis sbb: PEMA I N B MINIMUM B1 B3 BARIS PEMAIN A A2 7 4 4 (MAKSIMIN) A3 3 8 MAKSIMUM KOLOM (MINI MAKS)

lanjutan Penyelesaian : Untuk Pemain A, anggap menggunakan Strategi A2 dengan probabilitas p, maka untuk Strategi A3 probabilitasnya 1 – p. Sedangkan untuk Pemain B, anggap menggunakan Strategi B1, maka keuntungan yang diharapkan A adalah 7p + 3 (1 – p) atau = 7p + 3 – 3p = 3 + 4p. Bila Pemain B menggunakan Strategi B3, maka keuntungan yang diharapkan A adalah 4p + 8 (1-p) atau = 4p + 8 – 8p = 8 – 4p. Strategi Optimal Pemain A didapatkan dengan menyamakan kedua pay off/hasil yang diharapkan dari dua kemungkinan strategi yang diterapkan B, yaitu : 3 + 4p = 8 – 4p, atau 8p = 5, p = 5/8 = 0,625. Ini artinya Pemain A harus menggunakan Strategi A2 sebesar 62,5% dan menggunakan Strategi A3 sebesar 37,5%. Keuntungan yang diharapkan oleh Pemain A sebesar 7 (0,625) + 3 (0,375) = 4,375 + 1,125 = 5,500.

lanjutan Penyelesaian : Untuk Pemain B, anggap menggunakan Strategi B1 dengan probabilitas q, maka untuk Strategi B3 probabilitasnya 1 – q. Jika Pemain A, anggap menggunakan Strategi A2, maka kerugian yang diharapkan B adalah 7q + 4 (1 – q) atau = 7q + 4 – 4q = 4 + 3q. Bila Pemain A menggunakan Strategi A3, maka kerugian yang diharapkan B adalah 3q + 8 (1-q) atau = 3q + 8 – 8q = 8 – 5q. Strategi Optimal Pemain B didapatkan dengan menyamakan kedua pay off/hasil yang diharapkan dari dua kemungkinan strategi yang diterapkan A, yaitu : 4 + 3q = 8 – 5q, atau 8q = 4, q = 4/8 = 0,5. Ini artinya Pemain B harus menggunakan Strategi B1 sebesar 50% dan menggunakan Strategi B3 sebesar 50%. Kerugian yang diharapkan oleh Pemain B sebesar 7 (0,5) + 4(0,5) = 3,5 + 2 = 5,500. Dari kedua analisis di atas, dapat disimpulkan bahwa dengan strategi campuran dapat dicapai titik equlibrium yaitu 5,5. Catatan : Penyelesaian bisa menggunakan QM for Windows